高中数学必修二 期中模拟试题（三）（含答案）

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题（三）

一.选择题

I.己知4一2,1),4(3,—2)两点，且入户=4尸百，则点尸的坐标为

A・(2/B.(m，2)C.(2,--)D.(--,2)

【答案】C

【解析】设P(x,y)，则4户=(%+2,)，一1),PB=(3-x-2-y)t

AP=4PB,

(x+2,y-1)=4(-3-x,-2-y),即(x+2,y-l)=(12-4x,-8-4y)>

[x+2=12-4x

故〈c，

y-1=-8-4y

解得x=2,y=--,

5

所以P(2,—N).

故选c.

2.设复数z满足(1—i)z=l+i,则z等于

A.-iB.iC.-2zD.2i

【答案】B

、4H(

r【解析i】r由ii(ril-z)z=1l+/.,得2=——l+i=-(I-+-i-)-1-+-i)=—1+2/+—=—2z=z.,

\-i(!-/)(1+/)l2+l22

改选B.

3.若复数Z满足z(l—i)=l+"i为虚数单位，则2如9二

A.-2/B.iC.-iD.2i

【答案】C

【解析】由z(l—i)=l+i,得z*=("=i,

1-/(1-/)(!+z)

・.・Z2019_-I-2019_-l^1x504+3_——I•.

故选c.

［产

4.设复数z=----------，则z的虚部是

2-i

A.2CD

5-I-5

【答案】A

I+产_1+i_(1+i)(2+i)_I3

【解析】复数z

2-i~2^i~(2-i)(2+i)~55

..z的虚部是？.

5

故选A.

5.若单位向量心5满足|2不+b|=2夜，则向量式,5夹角的余弦值为

A-IB-iD--I

【答案】A

【解析】根据题意，设向量万，〃夹角为夕,

若单位向量b满足|2d+〃|=2&,

则有(2d+5尸=4黯+52+4〃5=5+4COS0=8,

7

则有cos。=2,

4

故选A.

6.已知矩形ABCD中，AB=3,A£>=4,E为AB上的点，且3启=2以，/为BC的中点，则A7•DE?=

A.-2B.-5C.-6D.-8

【答案】B

【解析】以点8为坐标原点，BC所在直线为x轴，84所在直线为），轴，距离如图所示的直角坐标系,

则8(0,0),A(0,3),。(4,3),E(0,2),F(2,0),AF=(2,-3),。左=(-4,-1),

则AFDE=2x(-4)+(-3)x(-1)=-5.

故选B.

•VrI

7.己知。，力是两条直线，a,夕，y是三个平面，则下列命题正确的是

A.若blip,a//b,则B.若a工0,aJLa,则a//夕

C.若a_L/7,a_Ly,/?Q/=«,则D.若o//〃，alia,则a///

【答案】C

【解析】A.若a//a,blIp>a//b>则a/〃？，不正确，可能相交；

B.若a10,a_L。，则。//3或au/?,因此不正确；

C.若a_L/?,a_Ly,Z?Q/=a,则a_La，正确；

证明：设a0|〃取Pea，过点P分别作〃>Lc,

则〃?_L夕，〃_Ly,/.mka^n±a,XmQn=P,aA.a.

D.若a///7,allay则a//夕或au/7.

8.在四面体PABC中，PA上PB,PA=PB=3,AC=2瓜BC=娓,则该四面体外接球的表面积

为

A.124B.14%C.16乃D.184

【答案】D

【解析】由必_LPA，Q4=P8=3,可知A8=3右.

因为AC=2X/5,BC=瓜,所以即AC_L8C.

设钻的中点为O,则OA=OB=OC=OP=逑，

2

即四面体的外接球半径为九2,外接球表面积为18万.

2

故选D.

二.多选题

9.己知向量2=(2,1),^=(-3,1),则

A.(a+b)//a

B.向量值在向量/；上的投影向量为-

2

c.4与伍-母的夹角余弦值为平

D.若3=(舍,一半)，则4_L^

【答案】BCD

【解析】对于A,向量M=(2,1),b=(-3,1),所以4+5=(-1,2),且—1X1-2X2=-5H0,所以1+6与d

不平行，A错误；

对丁-B，向量1在向量b上的投影向量为|d|cos，/=Mg・B=Qz=-L5,所以区正确；

⑸⑸2102

对于C,因为日一万二(5,0),所以cosed,"/；＞=-g=述,所以C正确；

\d\x\d-b\\/5x55

对于C,因为不=((「¥),所以H=2x[+lx(-半)=0,所以不^^,选项。正确.

故选BCD.

10.在AA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4cosA=〃cos3,.且c=2,sinC=—,

5

则A4BC的面枳为

21

A.3B.-C.-D.6

33

【答案】AC

【解析】由acosA=6cos8,利用正弦定理可得sinAcosA=sin8cosB,

即sin2A=sin2B，

•「A,Be(0,TV},

，A=4或4+B=—,

2

又sin。、，=

5

当。为锐角时，••・sinC=±,

5

4

c-

5一-

cJ色

Jns---

21o»

cc

cc・

c2-2-

sl・

--

sln---

2ab

.,・△43C中AB边上的高为3,

：•S=-x2x3=3；

2

当。为钝角时，

4c3

--

52vlo

10

£c

c22-巫

由•-

n-==-

SI24〃3

，MBC中4?边上的高为L

故选AC.

11.如图，在长方体4BC£>—A4GR中,AA}=AB=4,BC=2,M,N分别为棱G。，CG的中点，

A.A、M、N、区四点共面B.直线BN与B|M所成角的为60。

C.BN//平面4WD.平面4W_L平面COZ)C

【答案】

【解析】对于A，4、B、M在平面A8G。内，N在平面A8GA外，故A错误；

对于4,如图，取CO中点E，连接BE,NE,可得BE//BM,NEBN为直线BN与以M所成角,

由题意可得AB£N为边长为2&的等边三角形，则NEBN=60。.故“正确；

对于C,若8N//平面ADW,乂3C〃平面则平面以工；旦//平面AZW,

而平面BCGBJ/平面人ORA，矛盾，故C错误；

对于D,在长方体ABC。-AMGA中，A£)_L平面CDD£，AZ)u平面ADM,平面ADM_L平面CDDg,

故。正确.

故选：BD.

12.在棱长为2的正方体48CO-48IG2中，E,尸分别为AB,的中点，则

A.BDIB、C

B.律//平面

C.4GJL平面B℃

D.过直线印且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为应

【答案】BC

【解析】对于A,•••4C〃A。，•••NADB是班＞与4c所成角(或所成角)的补角,

••./人。4=60。，/.9与dC不垂直，故A错误；

对于3，取4)中点G,连接尸G，EG,则EG//BD,FGHBB、,

EG^\FG=G,3Dng=8,平面打'G//平面08#,

•.•EFu平面及G,.•.£尸〃平面。48,故3正确；

对于C，•••AC上BiQ,AA,18,0,,AGr)AA=A，

AC、A4,u平面AAG，

：.BQ_L平面A\CX，AC,u平面A4,C,，/.ACX±BQ,

同理4GJL8C，

BQp|B|C=B、,BQ、BCu平面BRC，

J■平面BQC，故C正确；

对于。，取A片中点H,连接FH、EH,

则"///HQ,GFIIBB,,

-FH[\GF=F,8|00|84=与，:.平面EHFG//平面8B°D,

•••8%u平面88Q。，痔u平面E”PG，

.•过直线EF且与直线8。平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG,

vGF=2,GE=-BD=-x/4+4=x/2.

22

过直线EF且与直线32平行的平面截该正方体所得截面面积为S=2夜，故。错误.

故选BC.

三.填空题

13.已知i为虚数单位，若复数z=n}(〃£R)为纯虚数，则。=

【答案】-2

a-i_(a-z)(l+2Z)_(a+2)+(2«-1)/

【解析】

l-2/-(l-2f)(l+2/)-5-

因为z为纯虚数，所以a+2=0,得。=一2.

故答案为：—2.

14.已知向量〃=(2,-1),b=(-3,/w),若日//〃，则|-+25|=.

【答案】2石

【解析】vdllb,.,.2m-3=0,解得〃?=二，则〃=(—3,—),

22

:.a+2h=(-4,2).

,\a+2b\=y](-4)2+22=2y/5.

故答案为：2x/5.

15.已知单位向量1、方的夹角为120。，应Z+/；与垂直，则左=.

【答案】-

5

【解析】根据题意，单位向量不、8的夹角为120。，则①5=-~1,

2

若〃"+b与2d—〃垂直，则(@+/；)•(2万-/?)=2A:-1+--1=0,

2

解可得：k=14,

故答案为：

5

16.直三棱柱/WC-ABC的各顶点都在球O的球面上，且AB=4C=1,5C=百，若球O的表面积为20乃,

则这个三棱柱的体积为—.

【答案】73

【解析】设AA8C和的外心分别为。2，连接日。2，

可得外接球的球心。为qo?的中点，连接04、OB、OC.。小、@8、OC,

MBC中，cosA=---------------=——

2ABAC2

•.•Ac(0,幻，4=—.

3

根据正弦定理'得M8C外接圆半径卅二篇=1

•.•球O的表面枳为20乃，4万/?2=204，火=石，

22

白△ROA中，OiO=ylOA-O]A=2,可得aa=2Q1O=4,

直三棱柱八8。一/\86的底面积入^=4484。由1生="

234

.­•直三棱柱ABC-4与0的体积为SMBCxQU=6.

17.已知复数z为纯虚数，旦三Z为实数.

1+Z

(1)求复数z；

(2)设小eR,若复数(，〃+z)2在复平面内对应的点位于第四象限，求〃?的取值范围.

【答案】(1)z=4；(2)(2,go).

z-2_-2+bi_b-2+(2-^b)i

［解析］(1)设Z=4，。H0,则

7+7-1+/2~

三心为实数，.“=一2,B|JZ=-2Z

1+;

(2)(m+z)2=(m-2/)2=nr-4-4mi,

由题知病-4>0且SvO,

解得m>2.

.一〃的取值范围是(2,一).

18.z=(m2-8m+15)+(.m2-5m+6)/,其中i是虚数单位，m为实数.

(1)当z为纯虚数时，求机的值；

(2)当复数z・i在复平面内对应的点位于第二象限时，求，〃的取值范围.

【答案】(1)771=5：(2)(-co,2)LJ(5,-KO).

【解析】(1)TZ为纯虚数，

,苏―0,解得正5；

m~-5m+67to

(2),/z»i=-{nr-5m+6)+(nr-Sm+15)z在复平面内对应的点位于第二象限,

-nr+5m-6<0

解得〃?<2或〃?>5.

m2-即〃+15>0

的取值范围是(70,2)D[5,+00).

19.平面内给定两个向量d=(3,l)石=(-1,2)

(1)求|3d+2b|；

(2)若0+妨)〃(2万一5),求实数一的值.

【答案】(1)772；(2)k=--.

2

【解析】(1)由条件知:31+26=(7,7),

一|3万+2/|=8+7。=7忘.

(2)♦+防=(3,1)+&(-1,2)=(3-。)+2外,2a-b=(1,0).

(d+kh)//(2d-b),

.•.(3-Q・0-7(l+2Q=0,

解得&=」.

2

20.如图，在四边形ABCD中，AB=2,PD=DC=BC=1,ABI/DC46=90。,尸为4r上的点且

AF=~,若尸力，平面A8CD，石为尸。的中点.

2

(1)求证：所〃平面E4Z)；

(2)求四棱锥P-ABCZ)的侧面积.

【解析】(1)证明：取8的中点为〃，连结£77,FH,

因为£为夕。的中点，所以EH//PD,

又因为PDu平面BA。，硝0平面所以E77//平面%£），

又因为CO=1,AB//DC,AF=-,所以DH//AF,DH=AF=-,

22

所以四边形A/D是平行四边形，所以切〃人。，

又因为AOu平面皿＞,平面小。，所以"///平面2D,

乂七=EH,卜”u平面上△”，所以平面/:4。//平面上六”，

又因为比'u平面目77,所以即〃平面BAD：

（2）解：因为N8C£）=90°,所以C0J.3C,

又因为尸DL平面A8CO,所以PD上BC,

又POnCD=。，PD,COu平面9C,所以4C_L平面PDC,

乂PCu平面PDC，所以PC_L8C,

所以“DC,APD4,APC3为直角三角形，

因为A5=2,DC=4C=1,AB//DC,N4CD=90°,

柝以PC=RAD=6、PA=£、PB=6

所以S\PBC=W'S少0c=—,S"DA=W，Sw&B=&»

所以四棱锥P-ABC。的侧面积为也+』+也+0=逑里

2222

21.在A48C中，内角A、B、C对应的边长分别为a、/八c,且满足一一劭

4cosB+5sin/\sinBcosC

（1）求cosA；

（2）若a=3,求。+c•的最大值.

【答案】（1）cosA=--：（2）Vio.

5

［解析］（1）因为一5"8SB-劭

4cosB+5sinAsinBcosC

所以由正弦定理，可得5sinAcosB-4sinB=

4cosB+5sinAsinBcosC

整理得5sinAcos(I3+C)=4sin(B+C)，

又4+3+。=4，所以5sin4cos(zr-A)=4sin(/r-A),

即-5sinAcosA=4sinA,

因为OvA</r,sinA>0>

_4

所以cosA=——.

5

4

(2)因为a=3,cosA-——

5

由余弦定理，得cosA="+c〜,所以互二2=-±,

2bc2bc5

整理可得仍+