高中数学常用公式定理113个

高中数学常用公式定理

1.元素与集合的关系

xcA<=>xeCVA,xGCVA<=>x任A.

2.包含关系

ATB=A<^>A(JB=B<=>B<=>^Cb,A

3.集合A中有n(〃£N)个元素，则集合A的所有不同子集个数共有2：个；真子集有2"-1个；非空子集

有2〃-1个；非空的真子集有2”-2个.

4.二次函数丁=〃/+/»+c的图象的对称轴方程是，顶点坐标是-'，4"'一"二次函

2aI2a4〃J

数的解析式的三种形式：

⑴一般式/(x)=ax2+bx+c(a¥0);

(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a*0);

⑶零点式f(x)=a(x-龙।)(x-9)(〃二°).

5.解连续不等式N<f(x)<M常有以下转化形式：

Nvf(幻<M«[/(x)-M][/(x)-^]<0

6.方程/(.r)=0有实数根o函数y=f(x)的图象与x•轴有交点=函数y=f(x)有零点.

零点存在性定理：

函数在区间句上的图像是连续的，且/(。)/俗)<0,那么函数/")在区间上至少有一个零点.

即存在，使得/(c)=0,这个c也就是方程/@)=0的根.

7.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)=ax2+bx+c(aw0)在闭区间[p,[上的最值只能在x=-处及区间的两端点

2a

处取得.

8.逻辑连接词有“或"、"且"和"非":

真值表：

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

9.命题中常见结论的否定形式：

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有(n-\)个

小于不小于至多有〃个至少有(n+\)个

对所有X,存在某X,

成立不成立p或q力且F

对任何X,存在某X,

不成立成立p且qT或f

10.四种命题的相互关系

注意：至称命题与存在命题的否定关系。

11.充要条件：

(1)充分条件：若〃nq,则〃是夕充分条件.

(2)必要条件：若夕=〃，则〃是9必要条件.

(3)充要条件：若pnq,且q=〃，则〃是^充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

12.函数的单调性

⑴设%X2£b,以司工工那么

(x—七升/(%)—/(毛)]>0oW*2)>oo/(M在以㈤上是增函数；

王一x2

(%-毛)[/(5)—/(%)]<0="芭)二"七)<。0/⑴在口用上是减函数

X]—x2

(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果:*)>0,则/(x)为增函数；如果/'(X)<0,则f(x)

为减函数.

13.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内，和函数/«+g(x)也是减函数；如果函数

y=/(〃)和〃=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数)，二,"g(x)]是增函数.复合函数的单

调性口诀:同增异减.

14.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称;反过来如果一个函数的图象关于原点对称，

那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

15.若函数y=/(x)是偶函数，则f(xIa)=f(xa);若函数y=f(xia)是偶函数，则

f(x+a)=f(-x+a).

16.对于函数y=f(x)(xwR),f(x+a)=f(b-x)恒成立，则函数/(x)的对称轴是函数工=等；两

个函数y=f(x+a)与)，=f(b-x)的图象关于直线工=皇对称.

17.函数)，=/(x)的图象的对称性：①函数y=/(x)的图象关于直线工=。对称。/(。+外=/(。-工)

=f(2a-x)=f(x).②函数)，=f(x)与函数)，=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

n

18•多项式函数P(x)=anx++…+/的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数oP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

19.函数y=f(x)的图象的对称性

函数J=fM的图象关于直线x=。对称=f(a+x)=f(a-x)=f(2a-x)=f(x).

20.若将函数)，=/(x)的图象右移。、上移〃个单位，得到函数y=/(x-〃)+〃的图象；若将曲线

/(x,)，)=O的图象右移〃、上移b个单位，得到曲线/。-。,V-勿=0的图象.

21.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=0,

或/(x+o)=(/(幻+0),

fM

1

或/'(X+〃)=_(./WO)，

7M

则f(x)的周期T=2a；

22.分数指数幕：

巴1

(1)an=,—(。>0,”2,〃£N♦，且〃>1).

nlm

_™i

(2)a"=——(。>0,m,〃€N‘，且〃>1).

23.根式的性质：

(1)丽)』.

(2)当〃为奇数时，丘=a;

当〃为偶数时，折=|〃|=<a,a>0

-a,a<0

24.有理指数昂的运算性质：

(1)小优=，S(〃>O/,S£Q).

(2)(a)=>0,厂,s£Q).

(3)(ab)r=arbr(6/>0,/?>0,rGQ).

注：若a>0,p是一个无理数，则a,表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数

指数幕都适用

25.指数式与对数式的互化式：

log“N=/?<=>ah=N(a>0,a于T,N>0).

26.对数的换底公式

lo°N

logaN=--—(。>0,且awl,m>0,且〃?wl,N〉0).

log—

推论logbn=—log*(〃>0,且。>1,m,〃>0,且机。1,〃。1,N>0).

“m

若a>0,aH1,M>0,N>0,则

⑴loga(MN)=log.M+log“N;

⑵log”，=log”MTog。N;

(3)log“Mn=nlog”M(neR).

27.设函数f(x)=log,”(a?+bx+c)(a工0),记△二〃2一4如若"幻的定义域为R,则。>0,且△<0；

若/(x)的值域为R,则。>0,且△20.对于。=0的情形,需要单独检验.

28.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为〃，则对于时间工的总产值y,有)，="(1+〃)1

29.数列的同项公式与前n项的和的关系

5.,n-1

八(数列｛〃”｝的前n项的和为s〃=q+w+・・・+a〃).

[sn-sn_],n>2

30.等差数列的通项公式

。〃=q+(〃-l)d=d〃+q-d(〃wN");

其前n项和公式为

n(n-1),d,，1,

s“=2=〃6+:"=]〃-+(4-]d)xn.

31.等比数列的通项公式

4=%q"T="q"5WN*);

q

其前n项的和公式为

"q或s〃=<"q

叫,q=l〃4，q=1

32若m、n、p、q£N,且m+〃=〃+，那么：当数列｛〃“｝是等差数列时，有%%；当数

列\an）是等比数列时，有am•%=%•4。

33.弧长公式：/=au（1是圆心角的弧度数，a>0）；

扇形面积公式：S=-/r；

2

34.三角函数的定义:以角a的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角a的终边上任取

一个异于原点的点P（x,y）,点P到原点的距离记为r,则sina=2,cosa=—,tancz=—,符号法则:全

rrx

STC.———

35.同角三角函数的基本关系式：

平方关系：sin2g+cos2e=l1"的代换.商数关系:3。=当，弦化切互化.

cos，

36.正弦、余弦的诱导公式：概括为：奇变偶不变，符号看象限.

n

(-1Vsina,（n为偶数）

+a)=<

2n-l

2

(-1)cosa,（n为奇数）

n

（n为偶数）

H7r(一IMcosa,

+a)="

T

(-1)2sina,（n为奇数）

37.和角与差角公式：

sin(a±/3)=sinacosp±cosasinp;

cos(a±/?)=cosacosfi;sincrsinp；

/,c、tana±tanQ

tan(cr±/?)=--------------.

1-tanatanp

sin(a4-sin(a-ft)=sin2a-sin2P(平方正弦公式);

cos(a+p)cos(6z-0)=cos2a-sin2p.

注意：二化一（辅助角）公式〃sina+〃cosa=VZ匚万sin（a+0）（辅助角0所在象限由点的象

限决定，tan-）.

38.二倍角公式：

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2«-sin2«=2cos2a-1=l-2sin2a.

1+cosa

cos—=±

22

a,ll-cosa1-cosasina

tan—=±J----------=------------=-----------

2V1+coscrsina1+cosa

升幕公式是：1+cosa=2cos2—1[-coscr=c2si•n2—a。

22

.il-cos2a、1+cos%

降黑公式是：sin-a=cos~a=------------°

2

39.三角函数的单调区间：

y=sinx的递增区间是2左1一工,24万+色(kGZ)，递减区间是2k兀+%,2k兀+2(kGZ);

y=CQSX的递增区间是[2A万-4,244](A£Z),递减区间是[24乃,2々万+)](kwZ),y=吆x的递增

区间是k?i---,k/rH—伙£Z)

I22j

40.三角函数的周期公式：

函数y=sin3)x+Q),x£R及函数y=cos(69x+e),x£R(A,3,0为常数，且A/0,u)>0)的周期

T=—；函数y=tan(。五+0)，X。&不+生,2£Z(A,3,0为常数，且AK0,3>0)的周期7=工.

co'2(O

函数y—Asin(5+⑼+3(其中A>0,co>0)的最大值是A+A,最小值是4-A,周期是

T=—.频率是/==,相位是这+0,初相是0；其图象的对称轴是直线

CD2.T-------

M(p=k冗吟(ksZ),凡是该图象与直线y=B的交点都是该图象的对称中心。

41.正弦定理：q=，一=，=2R.

sinAsinBsinC

42.余弦定理：

a1=br+C1-2bccosA;

第一形式，Z?2=c2+a2-2cacosB,第二形式，uosB-———---—

2ac

c2=a2+h2-2abeosC.

43.面积定理：

(1)S=；a%=；b%=；c%(%、k4分别表示a、b、c边上的高).

乙乙乙

(2)5=—absinC=—Z?csinA=—easinB.

222

③S=2R2sinAsin8sinC;@S=—;

4R

⑤S=J〃(〃一〃)(〃一〃)(〃一c)；⑥S=pr

44.三角形内角和定理：

在^ABC中，有A+B+C=〃<=>C=万一(4+B)

C71A+Bhcn、

=—=---------<=>2C=27r-2(A+B).

222

△ABC中：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tg(A+B)=-tgCsin+=cos—,

A+B.C

cos-------=sin——,

22

45.平面向量运算性质:〃+1=右+〃,b+。+c=a+]+c)〃+6=0+a=a

坐标运算：设。=(*，)，])力=(々,%)，贝=(M±々，M土必)

设A、B两点的坐标分别为(X],yi),(x2,yz),则八=(々一M，为一%)•

46.实数与向量的积的运算律:设入、|J为实数,那

(1)结合律:X(pa)=(Xp)a;

(2)第一分配律：(入+|U)a=Xa+pa;

(3)第二分配律:A(a+b)=Aa+Ab.

坐标表示：设〃=(xy),则入a=2(x,y)=(Zv,Ay),

47.平面向量的数量积:

->—>

定义:a-b=a-bcos。aw0,，w0,00<0<180°04=0.

运算律:(1)»b=b-a(交换律)；

(2)(%a>b=2(a-b)=2ab=a-(Ab);

(3)(屏b}c=a-c+b-c.

—>—»I—>l~—>—>-»—>

(4)a=a,a_Lo〃•/?=0

坐标运算:设a=(司，必)/=(x2,y2)，则Z?=X[x2+y\y2

(5)a-b的几何意义：

数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos8的乘积.

48.平面向量基本定理：

如果已、"是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入、

入2,使得a二入e+入©.

其中不共线的向量巳、e.一叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

49.两个向量平行的充要条件4〃力o。=X1(2eR)

坐标表示：.=—匕=&,%)，则"boxiy1-x2yi=0

P、A、3三点共线oA尸||43oAP=，ABoO尸=(1—f)OA+rO8.

-►—>—>—>

50.两个非零向量垂直的充要条件"_L〃O〃•Z?=。

坐标表示：a=(xi，x),/2=(x2，%)，则+=0

51.两向量的夹角公式：卡(斗，y］I,b=(尤。，y,)则cos0=,

”:+城•收+£

52.平面两点间的距离公式：

A(*,y),B*?,%)则AB=J(W-M)2+(为-Xf.

53.线段的定比分公式：

设［(玉,y),4(%X)，/V,y)是线段4"的分点,且4>=4於，丸是实数，则

X]+AX玉+工2

X=2x=

1+42

则，中点坐标公式<

M+仪必+当

y=)'=

1+42

54.三角形的重心坐标公式：

△ABC三个顶点的坐标分别为A(XI,y)、B(x2,y2).C1,y?),则△ABC的重心的坐标是

°,3+凡+七/+%+%)

，3，3

55.常用不等式：

(1)a,beR^>a2+b2>2ab(当且仅当a=b时取"="号).

(2)两个正数的平均值不等式是：a,b—半>而(当且仅当a=b时取"="号).

(3)双向绝对值不等式：忖一网引a土4£问+网

左边：ab<0(>0)时取得等号。右边：时之0(<0)时取得等号。

56.平均值定理用来求最值：

已知X,)'都是正数，则有

(1)若积个是定值〃,则当x=y时和x+y有最小值正;

(2)若和x+y是定值，，则当x,时积q有最大值!

推广：已知,^(x+y)2=(x-y)2+2xy

(1)若积孙是定值，则当|x-yl最大时,次+川最大;

当|x-y|最小时,|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，则当|x-y|最大时，|孙|最小;

当|x-训最小时，|外|最大.

57.一元二次不等式G：2+bx+c>0(或<0)(。。0,4二/-4网>0),如果。与依2+打+。同号，则其

解集在两根之外；如果。与十乐+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之

间.

X<X<&=(工一工］)(工一龙2)<0*1<尤2)；

x<M,或T>x2o(r—)(A*—.r2)>0(./<x2).

58.含有绝对值的不等式：

当a>0时，有

|%|<6；<=>x2<a'—a<x<a.

N>a。f0x>Q或％v_a.

59.指数不等式与对数不等式

(1)当时:af(x)>ag(x)<=>f(x)>g(x)；

7«>0

logafM>log”g。)<=>，g。)>0.

J,Og(x)

(2)当0<a<1时：af(x)>aM<=>f(x)<g(x);

./'U)>0

logafM>log“g(x)=g(x)>0

J\x)<g(x)

60斜率公式：直线斜率的定义为:k=tana,

两点6(X，y)、-(4，%)则'=.

61.同一坐标轴上两点距离公式:\A^=\xB-xA\

62直线的五种方程

(1)点斜式：)-y=z(x-X])(直线/过点6(内,凹)，且斜率为左).

(2)斜截式y=^+/?(b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式上一二二'*(M>%)(4(%/)、K(居,为)(大工马)),

(4)截距式±+==1(4、〃分别为直线的横、纵截距，4、〃工0)

ab

(5)一般式Ar+B-y+C=0(其中A、B不同时为0).

63两条直线的平行和垂直

(l)S/i：y=^x+Z?),l2'.y=k2x+b2

①，||>ok'=k?,b产b『

②/]±/2u>尢的二一1•

(2)若4:A]+B])+C]=0,4:4x+B2)，+G=°•且Ai、Ai、Bi、B2都不为零，

①仲卜隼；

A?B?C2

②4±l2=AA?+B]生=0；

64.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程经过定点《(X。,%)的直线系方程为)=为=-X-%)(除直线工二不)，其中k是

待定的系数；经过定点4(%,%)的直线系方程为41-%)+伙)，-)，0)=0,其中43是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线《：Ax+4)，+q=0,4：4尤+32)，+G=()的交点的直线系方程

为(Ax十4)，十。1)+/1(4尢+4)，+。2)-0，其中人是待定的系数.

（3）平行直线系方程：直线）:=丘+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线

Av+8.v+C=0平行的直线系方程是Ai+8），+/l=0（4工0）,人是参变量.

⑷垂直直线系方程：与直线Ar+By+C=O（AHO,BHO）垂直的直线系方程是以-A,y+a=0,

人是参变量.

65•点到直线的距离

d=!小。+。।（点尸（如—），直线/:Av+8），+C=0）.

>JA2+I32

两平行直线/,：At+By+C1=0,/2：Ar+By+C,=。距离d=W.

dA?+B?

66.41+&，+。>0或<0所表示的平面区域

设直线/：Ar+8），+C=0,则Ar+8y+C>0或<0所表示的平面区域是：

若BwO，当8与AK+8），+C同号时，表示直线/的上方的区域；当B与Ai+By+C异号时，表示

直线/的下方的区域.简言之,同号在上.异号在下.

若8=0，当A与AITB），+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ai+By+C异号时，表示

直线/的左方的区域.简言之.同号在右.异号在左.

67.圆的四种方程

（1）圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

222

（2）圆的一般方程x+）2+Dx+Ey+F=0（D+E-4F>0）.

68.圆系方程

⑴过点A（X，y）,8（々,％）的圆系方程是

（工一司）（工一工2）+（）'一,）（了一）'2）+4[*一西）（,一）‘2）一（）'一）1）（%一工2）1=。

<z>（x-%））（x-x2）+（y-）（>,-y2）+/l（ar+^+c）=0,其中o¥+by+c=。是直线A4的方程,人是待

定的系数.

⑵过直线/：Ax+By+C=0与圆C:x24-/4-D^4-Ey+F=0的交点的圆系方程是

x2^y1+Dx+Ey+F+Z{Ax+By+C）=O,入是待定的系数.

22

（3）过圆G：/+.F+。]]+耳），+£=。与圆。2:x+yD2X+E2y+F2=0的交点的圆系方程是

222

X+）户+E）,+6+A（X+y+D2x+E2y+F2）=Of入是待定的系数.

69.点与圆的位置关系

点P（/,y0）与圆（x-a）2+（y尸=/的位置关系有三种

若d=&一/）。十（/一%）’，贝口

d>〃<=>点P在圆外；d=r<=>点P在圆上；d<〃<=>点P在圆内.

70.直线与圆的位置关系

直线Ax+8），+C=0与圆（工一。）2+（），一h）2=r2的位置关系有三种：

[>/•一相离=A<0；

d=/•。相切。△=0；其中/=曾+8]+、

d<ro相交u>△>0.

注意:研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种：

①代数法（判别式法）：A>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离；

②几何法（圆心到直线的距离与半径的大小关系）：距离大于半径、等于半径、小于半径,等价于

直线与圆相离、相切、相交。

71.两圆位置关系的判定方法：

设两圆圆心分别为01,02,半径分别为n,n,|O021=d

d>八+弓=外离=4条公切线；

d=q+弓。外切。3条公切线；

M-弓|<d<耳+弓O相交=2条公切线；

d=\r}-r2\O内切<=>1条公切线；

0<d<k-=内含o无公切线.

，22

72.椭圆，+与=1（。>〃>0）的焦点坐标是（±c,0）,准线方程是x=±—,离心率是e=-,通径的

ab---------ca

长是2b工2。其中/=/一/。

a----------------

22

73.椭圆5+*1（〃>/?>0）焦半径公式|尸周=。+"0和幽=

a-ex0.

74.椭圆的的内外部

2

2z

（1）点P*。,%）在椭圆二

82=1（。>〃>0）的内部。4-1

er

2

r-z

-=3〃>。）的外部。*

（2）点「（玉）,%）在椭圆二〃2

crh2

75双曲线标准方程的两种形式是：

2222

与*=1和2$=1（。>0,b>0）o

aba'b~

dy22/?2

双曲线一r-匚=1的焦点坐标是（土c,0），准线方程是户土cJi~，离心率是e=c9，通径的长是」,

a~b~---------caa

渐近线方程是£—4=0。其中。2=/+/。

crb-

76.双曲线二一2=\（a>0/>0）的焦半径公式

a~b~

\PF]\=\e（x+—）\,\PF^e（--x）\.

cc

77.双曲线的内外部

⑴点P（x。,％）在双曲线[-]=1（。＞0/〉0）的内部04-率＞1.

a~b~a~b-

⑵点p（x。,为）在双曲线wr=1（Q0力＞0）的外部0耳-婴＜1.

a~b~ab~

78.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

（1）若双曲线方程为二-2=1=渐近线方程：二-q=0=y=±-x.

a~b'a-b-a

22

（2）若渐近线方程为），=±2xO±±与=0=双曲线可设为二-二二九.

aaba-b-

（3）若双曲线与二-二二1有公共渐近线，可设为二-《二九（九＞0,焦点在x轴上，入＜0,

crb-crb~

））2）

焦点在y轴上）,与双曲线£一营二।共焦点的双曲线系方程是号厂/^二1。

22

79.抛物线标准方程的四种形式是：V=2px,y=-2px,x=2py,/=-2pyo

抛物线y2=2px的焦点坐标是:AO,准线方程是:x=-%过该抛物线的焦点且垂直于抛物

（2）2

线对称轴的弦（通径）的长：2p0

80.抛物线V=2px的焦半径公式：点尸（/，打）是抛物线V=2px上一点，则点P到抛物线的焦点的

距离（称为焦半径）：PF=%+]

过焦点弦长|。。|=七

+勺T=+x2+p.

81.抛物线=2px上的动点可设为P（与）乂）或P（2〃/2,2〃。或P（x,y）,其中/=2px.

82.二次函数y=aP+"+c=a（x+2）2+£±_（々工0）的图象是抛物线：（1）顶点坐标为

2a4a

/b4ac-b2./八、八上川山一二/b4ac-b2+L//、、〜4一。=46tc-b2-1

,--——）；（2）焦点的坐标为（一二,——-----）；（3）准线方程是＞=——------.

2a4。2a4a4。

83.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

若直线丁=履+〃与圆锥曲线交于两点A3,〉“）刀仙》2）,则弦长为M耳=41+父）（乂々）2;

若直线x=tny+t与圆锥曲线交于两点A（xi,yi）,B（X2,yz）,则弦长为

[4q=]（1+〃/）（必一必）2。

84.圆锥曲线的两类对称问题

(1)曲线厂(x,y)=O关于点P(x。,%)成中心对称的曲线是/"◎/-工区儿-田二。.

(2)曲线尸(x,y)=0关于直线Ar+By+C=O成轴对称的曲线是

皿24（Ar+3y+C）24（Ar+S，+C）、_

“X一一一一可^）=°-

一、有关平行的证明

⑴公理4（2）（3）（4）

/iII/2l\Ilaalip/Ja

1、

=>l\IIh1、u0=>l\Wl2/Aa=/,n/iIIh=>l\IIh

线II线

hiihaAp=/2/A=/2l2la

线H线二线H线线II面=>线。线面H面=>线”线同垂直T-个平面=>线H线

⑴⑵

aaaalip

2、

bua=>alla=>allp

线II面

allbaua

线ii线二>线II面面II面n线II面

⑴⑵

aua

buaa±a

3、aC\b=A=>aiipnail。

面II面aIlaaA-p

blip

线II面=>面II面同垂直于一直线=>面II面

二、有关垂直的证明

（1）

1、

aLa

=ciA-b

线，线

bua

(线面n线线)

（1）（2）（3）（4）

aua.1]alp

bua）alibalipaua

2、

4n〃=A=>l-La=>b-La=>l邛=>a邛

线，面

l-Laa_Lal-LaaC0=/

liball

（线J■线n线_L面）

a±a

=>aA.p

3、

au0

面＞!_面

（线面=>面J■面）

85.证明直线与直线的平行的思考途径

(I)转化为判定共面二直线无交点；

(2)转化为二直线同与第三条直线平行；

(3)转化为线面平行；

(4)转化为线面垂直；

(5)转化为面面平行.

86.证明直线与平面的平行的思考途径

(I)转化为直线与平面无公共点；

(2)转化为线线平行；

(3)转化为面面平行.

87.证明平面与平面平行的思考途径

(1)转化为判定二平面无公共点；

(2)转化为线面平行；

(3)转化为线面垂直.

88.证明直线与直线的垂直的思考途径

(I)转化为相交垂直；

(2)转化为线面垂直；

89.证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；

(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

90.证明平面与平面的垂直的思考途径

(1)转化为判断二面角是直二面角；

(2)转化为线面垂直.

91.球的半径是R,则

4

其体积V二二"

3

其表面积S=4;rR2.

92.球的组合体

(D球与长方体的组合体：

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体：

正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外

接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体：

棱长为a的正四面体的内切球的半径为如。，外接球的半径为如。.

124

93.体积公式：

直棱柱：V=S-〃，锥体：V球体：V=3笈，七

-----------33

94.侧面积：直棱柱侧面积：s=ch/正棱锥侧面积：s=-c/r

--------2

球的表面积：S=44/。

95.比例的几个性质

比例基本性质：f=三=<以=A；反比定理：y=4<=>-=-

babdac

更比定理：。；=幺==；合比定理；萼

bdcdbdba

分比定理==三4；合分比定理=；=g=*

babdbcla-bc-d

ca-bc-d

合比定理：f—=>------=-------

bda-\-bc+d

等比定理：若7L=T1=71=--=TL，4+b,+a+…+勿工。，则

1

ab24bn■•

q+%+%+…+玛_q

4I+0/,+bJ，+…flIb,

96.等可能性事件的概率：P(A)='.

n

97.互斥事件A,B分别发生的概率的和：

若事件A、B为互斥事件，则P(A+B)=P件)+P(B).

98.若事件A、B为对立事件.则P(A)+P(B)=1O一般地,p(R=1-P(A)

99.标准差：蕾=75^.

100.回归直线方程：

2(再一刀)(另一方ZX/一八)'

A-JJ__________________=±1___________

其中-力:_,江2，

y=a+bx,ZU-J)2

r=l/=!

a=y-bx

101.相关系数：

ZG-可(丫一刃Z(D(D

1=1f=l______________________________

jta,-幻/(y一斤粒%2_稼戊y2_〃F)

V»=1/=1V*=1»=1

rW1,且r|越接近