高中数学新教材直线与圆的方程专题复习知识点+题型 +技巧教师版

直线与圆的方程专题复习知识点♦题型+技巧教师版

2.1.1直线的倾斜角与斜率

【考点梳理】

考点一直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

⑴当直线/与％轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正回与直线/向上的方向之间所成的角a

叫做直线/的倾斜角.

⑵当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。.

2.直线的倾斜角a的取值范围为（TWa<180。.

考点二：直线的斜率

1.直线的斜率

把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示，即k=tana.

考点三：斜奉公式

V2-VI

1.过两点Pl（xi，yi）,尸2（X2,丁2）（»Wx2）的直线的斜率公式为k=~二一.

X2X\

2.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率3即女=1@「。

A

3.直线的一般式At+8y+C=O则A=--

4.直线的方向向量为坐标为（x,y）则4=占

x

考点四：斜率与倾斜角的关系：在第一象限和第二象限，A=tana是增函数。

【题型归纳】

题型一：直线的倾斜角

1.直线/过原点（0,0）,且不过第三象限，那么/的倾斜角。的取值范围是（)

A.0°Sz<90°B.90°<a<180°C.90°Sz<180°nga=0°D.90°<«<135°

2.已知直线），=等工的倾斜角为"，则cos2a=（）

A.yB.-yC.yD.

3.直线2.r-），+1=。的倾斜角为8,则一五的值为（）

sin'6^-cos0

325

A.4B.-C.7D.2

433

题型二：直线的斜率

4.经过点P（0,T）作直线/,若直线/与连接A（1L2）I（2,I）的线段总有公共点，则直线/的倾斜

角a的取值范围为（）

A.0效卜45,或135领k180B.45,效卜135°

C.450<6/<135D.。娶b4S或13S：斤<1*0'

5.若直线经过两点42,T〃），8（-且倾斜角为135。，则〃?的值为（）

33

A.2B.-C.1D.——

22

6.下列命题正确的是（）

①直线倾斜角的范围是［。°』80。）；

②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；

③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；

④（壬何一条直线都有倾斜角和斜率.

A.①②B.①@C.①②④D.①②③

题型三：倾斜角和斜率的变化关系

7.已知直线4,4,4的斜率分别是3Q%,如图所示，则（）

C.&<%<k?D.%vk、<k?

8.己知直线/经过点P(i,1),且与线段MN相交，又M(2,—3),N(—3,—2),

求直线/的斜率k的取值范围.

9.经过点尸(。,-1)作直线/,若直线/与连接A(L-2),"(2,1)的线段总有公共点，则直线/的倾

斜角的取值范围为()

A.0°<<z<45°«£135°<^<180°B.45°<tz<135°

C.45°<«<135°D.0°<a<45°n£l350<«<18()°

题型四：与斜率公式有关的问题

1().若直线/:卢值-6与直线x+y-3=o的交点位于第二象限，则直线/的倾斜角的取值范围

是()

11.已知直线人过点A(・l,1)和伏・2,・1),直线/2过点C(l,0)和。(0,a),若两条直线的斜

率相等，则。的值为()

A.-2B.2

〜C--25D-2

12.已知直线/过第一象限的点(〃?,，?)和(1,5),直线/的倾斜角为135。，则，+：的最小值为()

?3

A.4B.9C.D.；

32

答案：

1.C

【详解】•/直线/过原点(0,0),且不过第三象限，，/的倾斜角。的范围为a=O"或

90Ka<180°,

故选：C.

2.A【详解】

解：因为直线产由x的倾斜角为a,所以tana=^.又cos2a=cos2a-sin2a=笆牝晔，

分子分母同时除以cos?。，得cos2aJTan%,将tana二正代入可得cos2a=(，故选：A.

1+larva27

3.C【详解】因为2x-y+l=0的倾斜角为所以tan6=2,

sin2。+cos?。_tan?。+1

所以."=1|>故选：C

sm6^-cos8sin26^-cos2^tan26^-1

4.D【详解】解：由图可知，经过点P(0,-l)作直线/,当直线/过点A时斜率最小，过点B时

斜率最大，

因为尸(0,-1),A(1,-2),B(2,1),所以3=一：—尸)=-1%==^=1,所以

-1<tana<1,

因为0。$。<180°,所以0效打45,或135”a<180%故选：D

5.B【详解】由题意，可知直线AB的斜率存在，且L=21W?htanl350,

-m-2

所以-"=7,解得〃?=［故选：B.

tn+22

6.A【详解】对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是［0。,180。)，所以

是正确的；

对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得&=tana,

当年=与时.，可得tana=tan〃，则a=Q,所以是正确的；

对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确;

对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确.

故选:A.

7.c【详解】设直线4,上。的倾斜角分别为aac,

根据直线的倾斜角概念，可得。<4<%<90°<。3<180,

再由直线的斜率与倾斜角关系左=tane,可得tanqvtanqvtana,故用故选：C.

8.已知直线/经过点P(1,1),且与线段MN相交，又M(2,—3),N(—3,—2),

求直线/的斜率k的取值范围.

【解析】如图，直线/相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转,

，是过P点且与x轴垂直的直线.

当/从PN位置转到「位置时，倾斜角增大到9()。，而％呐=(,

又当/从/'位置转到PM位置时，倾斜角大于90。,

3

由正切函数的性质知，k<kpM=—4,k<—4.综上所述，kG(―—4]U—,+8

4

9.D【详解】解：设直线/的倾斜角为。(0°<a<180°),

由图可知，要使直线/与连接入(1，-2),A(2,l)的线段总有公共点，只要

kp\--kpB，

-2-(-1)^^1-(-1)

所以-------<tana<------,BP-l<tana<l,所以0。Wa445°或

1-02-0

故选：D

二J解得x二警「分

10.D【详解】联立方程组

工+y-3=0Z+1k+\

因为两直线的交点位于第二象限，可得苧更<0且上正>0,解得AY-1,

设直线/的倾斜角为。，其中。10,幻，即tanOc-l,解得£<。<与，

24

即直线/的倾斜角的取值范围是弓，[).故选：D.

24

H.A【详解】砥8=：)?\=2,38=%,〃=一2.故选：A.

一1一(一，)0-1

〃一5

12.D【详解】由题得——-=tan135=-1,m+n=6(m>0,n>0),

m-i

*i、i1411、1“〃4/〃、、1"-Iii4m.3

所以—i—=—(z—i—)(，〃+〃)=—(5^---1----)>—(5+2.------)=—.

inn6inn6mn6Vmn2

当旦仅当〃2=2,〃=4时取等.所以■!■+’的最小值为故选：D

mn2

2.1.2两条直线平行和垂直的判定

【考点梳理】

考点一：两条直线(不重合)平行的判定

类型斜率存在斜率不存在

前提条件仪1=仪2工9()°次|=。2=90°

八〃/2。两直线的斜率都不存

对应关系l\〃h0k\=ki

在

图示2j1n

力111

考点二：两条直线垂直的判定

图示

v;二二

对应/1_L/2（两直线的斜率都存在）0包上

/I的斜率不存在,/2的斜率为（）=互”

关系=一1

考点三：直线4：Ax+q），+C|=0与直线A：=0的位置关系:

1.平行<=>-4片=o（斜率）且Bc-Bgwo（在），轴上截距）；

2.相交<=>4与一424。0；

3.重合=4&-44=0且环7-约G=0。

4.垂直=44+4&=0。

提醒：⑴今稿*'去最令啜会仅是两直线平行、相交、重合的充分不

必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重

合，而在立体儿何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；

【题型归纳】

题型一：由斜率判断两条直线平行

1.下列直线中，与直线x+2y+l=0平行的是（）

A.2x+y+l=0B.2x+4y+l=0

C.2x-y+l=OD.2x-4y+\=（j

2.设aeR,则“〃=-2”是“直线4s+2y-l=0与直线:x+（a+l）），-1=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知直线4：%+少-1=。，12：(。+2K+3)，-3。=0,则、2=7”是“/J%”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题型二：由斜率判断两条直线垂直

4.已知两条直线小4的斜率是方程3N+皿-3=0(/n£R)的两个根,则八与6的位置关系

是()

A.平行B.垂直

C.可能重合D.无法确定

5.直线4：5+(a+l)y-l=O,4：(〃+l)x-2y+3=O,则“。=2”是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知直线4：y=-^-x-\,l2：y-k-x-2,贝『味-2”是“/口4”的()

4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型三：已知直线平行求参数

7.直线4：X+冲+6=0与小(。一2八+3)，+2。=。平行，则。的值等于().

A.-I或3B.1或3C.3D.-1

8.已知/i：(a?—l)x+oy—1=0,，2：(a—l)x+(〃2+a)y+2=0,若h〃h,则a的值为()

A.0B.1C.。或-2D.0或1或-2

9.若方程(6/-a-2n+(3〃2_5〃+2))，+〃-1=0表示平行于工轴的直线，贝心的值是()

A.|B.C.D.1

3232

题型四：已知直线垂直求参数

10.若两条直线4：2x+a)，-l=O与小④+化〃-1))，+3=。相互垂直，则。=()

A.B.0

2

C.或。D.-2或0

11.直线直ax+y-\=G,/2：(a-l)x-2y+l=O,贝」“a=2”是“…”的()条件

A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要

12.已知直线4："—y+3=o与直线，2关于直线/：x+yT=o对称,直线4与直线4：%+3)，-i=o

垂直，则〃的值为()

A.——B.：C.3D.-3

题型五：直线平行、垂直在几何中的应用

13.已知等腰直角三角形A8C的斜边所在的直线是版-y+2=0,直角顶点是。(3,-2),则两条

直角边AC，8c的方程是()

A.3x-y+5=0,x+2,y-7=0B.2x+y-4=0,x-2y-7=0

C.2x-y+4=0,2x+y-7=0D.3.r-2>'-2=0,2x-y+2=0

14.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是

A.以A点为直角顶点的直角三角形B.以B点为直角顶点的直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

15.两条直线乎+幻叶。=0和%幻叶。2垂直的充要条件是()

B.（4力）•（生也）=0

C一处=旦

D.他=她

-2

答案：

1.B【详解】

|7I

对于A中，可得;=；=；,根据两直线的位置关系，可得两直线重合，不符合题意;

171

对于B中，可得;=根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意；

12

对于C中，可得;，彳，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意；

2—1

12

对于C中，可得!工匕，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意；

2.C【详解】

当。=-2时，<:-2x+2y-l=0,/2:x-y-l=0

两条直线的斜率都是1,截距不相等，得到两条直线平行.

当乙与4平行时可得：〃(a+l)-2xl=(),解得〃=-2或〃=l.

若〃=-2时，由上可得4与《平行

当a=l时，，：x+2y-1=0,4：x+23，-1=0,此时两直线重合.所以当《与《平行时，。=-2

故“〃=-2”是“直线/**+2），-1=0与直线/2：X+（。+1力-1=0平行”的充要条件.故选：C

3.C【详解】解：当。=-3时，/.：A-3y-l=0,即W；/2；r+3y+9=0,

即），=1-3,两直线的斜率相等，所以即“〃=-3”是的充分条件；

当/，〃2时，a（a+2）=3,解得”=-3或1,当。=-3时，两直线方程不同，符合题意，

当〃=1时，/1：x+.y-l=0,/2：3x+3y-3=0即x+y-l=0,不符合题意，

所以,当“〃2时,…3,即“。=-3”是"〃2”的必要条件，

综上所述，“。=-3”是“4〃//的充要条件.故选:C.

4.B【详解】解析由方程3程+/nx—3=0,知/=〃户-4x3x（—3）=〃，+36〉0恒成立.

故方程有两相异实根,即1与〃的斜率心，依均存在.设两根为为，刈,则女曲=箝M=一1,

所以/」/2.

故选：B

5.A【详解】

当〃=2时，直线4：2x+3y-l=O,4：3x-2y+3=0,"-I,所以口上故充分；

当乙儿时，（4+1”-2（。+1）=0,解得。=一1或。=2,故不必要；

所以7=2”是“4皿”的充分不必要条件，故选：A

6.A【详解】当攵=2时，直线上y=4x-2,因为卜小4=-1,所以…，充分性成立，

当时，因为直线4的斜率存在，且不为0,所以卜：卜22=_1,解得&=±2,必要性不成

立，

所以“〃=2”是“4皿”的充分不必要条件.故选：A

7.D【详解】由题意，直线心x+a），+6=0与小（。-2卜+3y+%=0平行，

可得lx3-a（"2）=0,即片-2L3=0,解得a=T或a=3,

当a=T时,直线小x-y+6=0与直3x-3y+2=0,此时“4；

当。=3时，直线4：x+3y+6=0与弧x+3y+6=0,此时4与］重合•故选:D.

8.D【详解】由则（这-1）（标+。）一（4-1）。=0,解得a=U或。=1或。=-2，

当〃=0时，/i：x=-\；/2：x=2,两直线平行；当。=1时，/）：y=1；/2:两直线平行；

当。=-2时，Zi：3x-2y-l=0;；2；3x-2y-2=0,两直线平行；故。的值为0或1或-2.故选:

D

9.B【详解】•・•直线（6。2-〃一2»+（3〃2-54+2）），+4-1=。与大轴平行

6ci2—a—2=0

，・3/-5I+2HO,解得：〃=-；故选：B.

〃-1/02

10.C【详解】因为贝J2a+a（2a-l）=。（%+1）=0,解得。；或a=0.故选：C.

11.B【详解】6，6的充要条件是a（aT）-2=0,解得。=2或〃=-1,

所以“。=2”是的充分不必要条件.故选：B.

12.B【详解】解：直线4与直线上x+3y-l=0垂直，则号广勺=-1,即4=3,

•・•直线4：公7+3=0与直线/?关于直线/：x+y-l=。对称,

2

奴—>+3=0'_43-a、

•・•由得交点坐标

X+y-\=()<a+\a+\?

在直线4上取点（。，3）,设该点关于/对称的点为尸（M〃），贝IJ,得"7=-2,〃=故

丫乂(—1)二-1

3+。］

然一=3,解得。=),故选：B.

-—+23

4+1

13.B【详解】因为AC,8c所在直线互相垂直，所以其斜率朦•噎=7,经检验A,C,D

故错误，

而选项B满足，故选：B

_1_|24-13

14.A【详解】因为A（-1,1）,B2-1）,C（L4）,.小小六:一彳,廉=胃=/

2+151+12

・・・L•&AC=-1A5_LACNA为直角，故选A.

15.B【详解】由题,若直线qx+〃J+q=。和出1+/丁+。2=。垂直，贝1」4叼+自仇=（）,故选:B

2.2直线的方程

【考点梳理】

考点一直线的点斜式方程和斜截式方程

类别点斜式斜截式

适用范围斜率存在

已知条件点P（x。，vo）和斜率k斜率Z和在y轴上的截距〃

图示4—

方程厂¥0=依一40）y=—+Z?

直线/与），轴交点（0,匕）的纵坐标b叫做直线/在V轴

截距

上的截距

考点二：直线的两点式方程和截距式方程

名称两点式截距式

在乂了轴上的截距分别为。，

两点Pi(x”yi),P2a2,yi)

条件b

(XIr必)"吟眨)

（aWO,/#0）

\l(0.h)

示意图V一

yKpv

y-y\x-x\

方程i+b=i

y2~y\X2~x\

适用范

斜率存在且不为0斜率存在且不为0,不过原点

围

考点三直线的一般式方程

关于x和），的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于％,y的二元一次方程Ax+By+C=

Q（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程,简称一般式.

⑴若直线的斜率左存在.直线可表示成）=奴+。，可转化为以十（-1）），+。=0,这是关于x,

）的二元一次方程.

（2）若直线的斜率左不存在，方程可表示成/一〃=（）,它可以认为是关于达），的二元一次方

程，此时方程中y的系数为0.

考点四直线的五种形式的方程

形式方程局限

点斜式丫一加二依一二）不能表示斜率不存在的直线

斜截式厂丘+Z?不能表示斜率不存在的直线

y—y\x—Xi

两点式xiW/2,yiW\'2

yiX2-XI

不能表示自坐标轴平行及过原点的

截距式a+b=l

直线

一般式4x+8v+C=0无

考点五直线各种形式方程的互化

题型一：与直线点斜式方程有关的问题

1.与直线），=5工的斜率相等，且过点（一4,3）的直线方程为（）

33

A.y—3=--（x+4）B.y+3=-（A—4）

33

c.y—3=]（x+4）D.），+3=-]（X-4）

2.已知A（3,l）,3（1,-2）,C（l,l）,则过点。且与线段AB垂直的直线方程为（

A.3x+2y-5=OB.3.r-2y-1=0

C.2x-3y+l=0D.2.r+3y-5=0

3.若直线4:2工-3），+4=0与4互相平行，且4过点（2,1）,则直线的方程为（）

A.3x-2y-2=0B.3x-2y+2=0

C.2x-3y-l=OD.2.r-3^+l=0

题型二：与直线的斜截式方程有关的问题

4.若直线4：工+缈+6=0与kg-2）x+3y+勿=0平行，则直线在），轴上的截距为（)

A.2或彳B.-2或彳C.2D.彳

JJJ

5.两直线上“与£-』=〃（其中〃为不为零的常数）的图象可能是（）

mnnm

6.直线/过点P（L3）,且与X），轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（）

A.3x+y-6=0B,A+3>'-10=0

C.3x-y=oD.x-3y+8=0

题型三：直线的两点式方程

7.下列说法的正确的是（）

A.经过定点七（厮,耳）的直线的方程都可以表示为广儿=攵（一%）

B.经过定点&0力）的直线的方程都可以表示为尸辰+》

C.不经过原点的直线的方程都可以表示为二+1=1

ab

D.经过任意两个不同的点小公y）、6（天,为）的直线的方程都可以表示

(y-x)(w—x)=(x-—x)

8.经过两点（-1,2）、（-3,-2）的直线的方程是（）

A.x-2y+5=0B.x-2y-5=0

C.2x-y-4=0D.2x_y+4=0

9.光线从4-3,4）点射出，至心轴上的9点后，被工轴反肘到轴上的C点，又被V轴反射，这

时反射线恰好过点口-1,6）,则BC所在直线的方程是（)

A.5x-2y+7=0B.3x+）：-l=。C.3x-2y+4=0D.2A-V-3=0

题型四：直线的截距式方程

10.一束光线从41,0)点处射到y轴上一点8(0,2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程

是

A.x+2y-2=OB.2.r-y+2=O

C.x-2y+2=OD.2x+)，-2=0

11.已知直线/过点(L2),且在纵坐标轴上的截距为横2标轴上的截距的两倍，则直线/的方

程为()

A.2A-^=0B.2x+)，-4=0

C.2x-y=0或x+2y_2=0D.2x-y=0或2x+y-4=0

12.在平面直角坐标系内，经过点尸(2,3)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于AB两点,

则AOAB面积最小值为()

A.4B.8C.12D.16

题型五：直线的一般方程定点问题

13.不论"为何值,直线(2"-l)x+("?+2)y+5=0恒过定点

A.(-1,-2)B.(l,-2iC.(-1,2)D.(1,2)

14.已知直线人-V+2Z-1=0恒过定点A,点A也在直线蛆+〃)，+2=0上，其中〃?，〃均为正数，

1?

则一+一的最小值为()

mn

A.2B.4C.8D.6

15.若直线4：y=*(x-4)与直线/2关于点(2,1)对称，则直线/2过定点()

A.(0,4)B.(0,2)c.(-2,4)D.(4.-2)

题型六：由一般方程判断直线的平行问题

16.若直线L的方程为2x+(5+m)y=8,匕的方程为(3+m)x+4y=5-3m,若IJ/*则m=()

A.-1或-7B.-IC.-7D.-3

17.若直线文+(1+〃。)」2=0和直线〃?x+2)，+4=0平行，则，"的值为()

9

A.1B.—2C.1或-2D.--

18.“.=3”是“直线4：(〃-1)工+2)，+1=()与直线/2：3工+4-1=0平行”的

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条

件

题型七：由一般方程判断直线的垂直问题

19.己知直线4：xsina+2y-l=O,直线4：不一打。5。+3=0,1/2,则tan2a=()

A.7B.-4-C.71D.4]

JJJ■>

20."〃?=一2”是“直线("?+1)工+)，+1=0与直线21+("?+4))，+2=0互相垂直”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

21.已知直线4：A"4y+G=。和直线上AA+B2.V+C2=(),下列说明正确的是

A.若4区-&4=0,则/"AB.若/他，则今4

C.若A4+8向=0,则/D.若贝U於二T

答案：

1.C

2.D【详解】解：因为心8=内-7-1=：3,所以与A8垂直的直线的斜率为-彳7，所以过点。且与

1—323

线段A8垂直的直线方程为即21+3)，-5=0,故选：D

*

3.C【详解】由题意，4的斜率为:，则人的斜率为:，又6过点(2/)，所以4的方程为：

2,

y-l=§(x-2)=>2%-3)，-1=0.故选：C.

4.D【详解】因为〃〃2,所以3-〃(。-2)=0且2。一63-2)。0,解得。二一1,所以：3工一3)，+2=0,

即/”尸犬+泉2

7

所以直线4在丁轴上的截距为故选：D

5.B【详解】直线方程土-』=。可化为y=Kx-%,可得直线的斜率为吊=2,

mnmm

直线方程可化为)，=',”小%可得直线的斜率为&=',

ninnn

由此可知两直线的斜率为同号，结合选项可得，只有选项B适合.故选：B.

3=k+b,,

由题意得&<。，〃>0,且1|,|bA解得,J；

6.A【详解】设所求直线方程为:y=无X+6,

=6,^=6.

故），=-3x+6,即3x+y-6=0.故选：A.

7.7【详解】

A中的方程），表示有斜率的直线，但过定点不一定有斜率，错误;

B中的方程广质+）表示有斜率的直线，但过定点不一定有斜率，错误;

C中的方程土+：=1表示横、纵截距不为0的直线，不过原点但可能垂直坐标抽，所以错误;

ab

D、经过任意两个不同的点人西，X），匕伍，K）的直线都可以用方程

（y-y）（w-％）=（工一不乂，2-）】）表示，说法正确.故选：D

8.D【详解】经过两点（-1,2）、（一3,-2）的直线的方程为转=%，即2x-），+4=0.

-Z—Z-J+I

故选：D.

9.A【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点4-3,4）关于工轴的对

称点八'（-3,-4）,

点以T6）关于＞轴的对称点少（1,6）,则8c所在直线的方程即为从沙直线方程,

由两点是方程得4Q'直线方程为：冷=罟，整理得：5%-23，+7=。故选：A.

6+41+3

10.B【详解】

由题得点41.。）关于y轴的对称点A（-1,0）在反射光线所在的直线上，再根据点仇。，2）也在反射

光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为1+弓=1，即2X-），-2=。，故

一12

选B.

11.D【详解】根据题意，直线/分2种情况讨论：

①当直线过原点时，又由直线经过点（】，2）,所求直线方程为），=2%,整理为2x-y=0,

②当直线不过原点时，设直线/的方程为二+；=1,代入点（1,2）的坐标得L：=l,修得〃=2,

a2aa2a

此时直线/的方程为［+4=1,整理为2x+），-4=0.故直线/的方程为2%-），=0或2x+），-4=0.

故选D.

12.C【详解】解:由题意设直线方程为二十；=1（。＞0*＞0）,一+1=1.由基本不等式知

abab

23

即就224（当且仅当，即〃=42=6时等号成立）.

ah

又S=Tahzgx24=12答案为C

13.B【详解】

•・•(2m-l)x+(〃7+2)y+5=0恒过定点，，(2x+.y)〃?+(-x+2y+5)=0恒过定点，由;:；、；、：。解

得，；即直线(2"I)x+("+2)y+5=0恒过定点(1,-2).

14.B【详解】已知直线船-)，+2攵-1=0整理得：,，+1=3+2),直线恒过定点A,即A(-2,-l).

点A也在直线蛆+〃y+2=o上，所以2m+〃=2,整理得："1+^=1,

由于〃?，〃均为正数，贝1」，+2=卜〃+5丫_1+2]=1+9+也+122+25巨=4,

tnnV2)\mn)2/wnv2mn

n=2mf_1

取等号时〃即吁5,故选：B.

，〃十——1.

21〃=1

15.B【详解】

直线4：)，=/-4)恒过定点(4,0),其关于点(2』)对称的点为(0,2),又由于直线4：)，=A(x-4)与直

线，2关于点(2,1)对称，故直线/2恒过定点(0,2).

16.C【详解】因为//4,故2X4=(5+〃7)(3+"7),整理得到小+8〃?+7=0,

解得tn=-1或,〃=-7.

当〃7=-1时，/,：x+2y-4=0,/2:X+2>'-4=0,两直线重合，舍；

当〃?=-7时，/,:x->'-4=0,/2:x-3'+y=0,两直线平行，符合；故〃?=-7,选C.

17.A【详解】直线1+(1+〃?))，-2=0和直线g+2)，+4=0平行，

可得(c，得〃?=1.故选：A.

m工—2

18.C【详解】

当。=3时，直线4：2x+2y+l=0,直线/2：3x+3y-l=O.此时｛=&=-1,两条直线平行.

当1)-6=0nq=3或生=-2,当〃=—2时两条直线重合，舍弃.因此a=3.所以为

充要条件.故选择C

19.B【详解】因为hIL,所以sina-2cosa=O,所以lan〃=2.

所以tan2a=J""，=丁_=_].故选:B.

I-tan-a1-43

20.C【详解】若直线(〃z+l)H+y+l=0与直线2x+(〃z+4))，+2=0互相垂直，

贝IJ2(〃?+l)+("?+4)=。，解得5=-2.

所以，〃=-2”是“直线(〃z+l)x+)，+l=0与直线2X+(〃2+4))，+2=0互相垂直”的充要条件，选C.

21.C【详解】若隹&=(),则选项B、D都不成立：若4与-44=0,4c2,则直线4、4

是一条直线，故选项A不正确；只有C正确.

2.3直线的交点坐标与距离公式

【考点梳理】

考点一：两条直线的交点坐标

1.两直线的交点

已知直线/i：Aix+Biy+Ci—0；【2：42>¥+82丁+。2=0.点&〃，b).

⑴若点A在直线kAIX+8D，+G=0上，则有4〃+8Z?+C=0.

Aia+8iA+Ci=0,

⑵若点A是直线人与，2的交点，则有LA

,十820+。2=0.

2.两直线的位置关系

Ai<+8iy+G=0,

方程组L「八的

.Azi+82），+C2=0一组无数组无解

解

直线人与72的公共点的个数一个无数个零个

直线人与12的位置关系相交重合平行

考点二：两点间的距离公式

(1)点P1(x1,y।),P2(X2,yz)间的距离公式1尸1尸2|=、/(以一》1)2+仔2—,于

⑵原点0(0,0)与任一点P(x,)，)的距离|OP尸产亍.

考点三：两条平行直线间的距离

点到直线的距离两条平行直线间的距离

夹在两条平行直线间公垂线段

定义点到直线的垂线段的长度

的长

P(Xn,ya)1

图示k

*rTv^

点P(AO,yo)到直线/：Ar+两条平行直线小Ar+8），+G=

公式（或求By+C=0的距离d=0与京Ar+3y+C2=0之间的

法）lAro+Bj'o+CI由加「口一02|

距A气用了

y[A2+B2

【题型归纳】

题型一：直线的交点坐标

1.直线X-"+6=0和8x+），-18=0与两坐标轴围成的四边形的面积为（）

azB”C史D史

A,16,4C，16,8

2.三条直线x=2,A-y-l=0,x+b，=0相交于一点，则上的值为（）

A.—2B.——C.2D.g

3.直线/经过直线x-2），+4=0和直线x+y-2=0的交点，且与直线x+3），+5=0垂直，则直线/的

方程为（）

A.3x-y+2=0B.3x+y+2=0

C.x-3y+2=0D.x+3y+2=0

题型二：由直线交点个数求参数

4.已知直线小心-"〃1二0与射线心x-y-2=