河北省武强中学2024-2025学年高一下学期期末考试 数学含解析

河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一年级下学期期末考试数学试题一、单选题1．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积是（

）

A．6 B．10 C．12 D．242．已知点，，且，则点的坐标为（

）A． B． C． D．3．在中，内角的对边分别为，则（

）A． B． C． D．14．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（

）A． B． C． D．5．底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（

）A． B． C． D．6．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．7．如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（

）A． B． C． D．8．在中，，点E在上，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，，则（

）A． B． C． D．10．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（

）A．该圆台的高为B．该圆台轴截面面积为C．该圆台轴截面面积为D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为11．已知的内角所对的边分别为，则（

）A．B．若，则C．若，则为锐角三角形D．若，则的形状能唯一确定三、填空题12．复数的虚部为．13．已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为．14．已知满足，若在方向上的投影向量为，则．四、解答题15．已知，.(1)求；(2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值.16．如图，在四边形ABCD中，，，，，.(1)求及AD的长度；(2)求BC的长度.17．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)若求直三棱柱的体积和表面积；18．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．(1)求角A的大小；(2)若，求的面积；(3)求的取值范围．19．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上．(1)求证：平面平面；(2)当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小．题号12345678910答案CACBCDBCABCCD题号11答案AB1．C根据直观图与斜二测画法的定义求解.【详解】由题可知，为直角三角形，且，如图：

由斜二测画法知，所以.故选：C.2．A设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标.【详解】点、，且，设点的坐标为，则，所以，，，求得，，故点的坐标为，故选：A．3．C利用三角函数诱导公式及定义法求向量数量积．【详解】解：中，内角，，的对边分别为，，，，，，则，故选：C．4．B【详解】因为,所以,即,所以因为,故故选：B．5．C作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积.【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面半径，根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆，即，，，，在中，，由，，则，在中，，即，可得，解得，即内切球的半径，故内切球体积为.故选：C.6．D设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案.【详解】设，则，即，解得，所以.故选：D.7．B连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果.【详解】连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点，所以，因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为.故选：B8．C利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解.【详解】因为，所以，则，因为三点共线，所以，解得.故选：C9．ABCA利用复数的模的定义计算；B利用复数的加法运算；C先计算，再利用共轭复数的定义；D利用复数的乘法运算.【详解】由题意可得，，则，故A正确；，故B正确；，则，故C正确；，故D错误.故选：ABC10．CD由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项．【详解】如图①，作交于E，则，则，则圆台的高为，故A错误；圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确；将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为，连接，可得，，则，所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确．故选：CD．11．AB应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C.【详解】因为，所以，故A正确；因为，则，故B正确；由余弦定理，可知为锐角，但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误；由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误.故选：AB12．5利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.【详解】因为复数，所以该复数的虚部为5．故答案为：5.13．利用等体积计算即可.【详解】因平面，则为三棱锥的高，则，由平面，平面，则，在直角中，，同理，则等腰的底边上的高为，则,设点C到平面的距离为，则，得故答案为：.14．利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解.【详解】由在方向上的投影向量为，得，则，而，于是，所以.故答案为：15．(1)，(2)（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果；（2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以因为，所以.（2）由（1）可知，则，，因为，所以，解得.16．(1)(2)（1）运用平方关系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【详解】（1）因为，，，，所以，，由于，又，∴，∴，则，∴，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得.17．(1)证明见解析(2)，（1）取的中点，连接，只需证为平行四边形，由此，进而可证平面；（2）由题干条件可知底面为等腰直角三角形，且直棱柱高为1，利用三棱柱的体积和表面积公式即可算出答案.【详解】（1）如图，取的中点，连接，因为为的中点，所以，，因为四边形为平行四边形，为的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）因为，即，由勾股定理的逆定理可知，且在直三棱柱中，为高，由三棱柱的体积公式可得体积，表面积为5个面面积之和.18．(1)(2)(3)（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；（2）先利用余弦定理求得，进而可求面积；（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解.【详解】（1）因为，且，则，可得，整理得，所以.（2）由余弦定理，即，解得或（舍去），所以的面积.（3）由正弦定理，可得，则，因为为锐角三角形，且，则，解得，则，可得，则，所以的取值范围为.19．(1)证明见解析(2)（1）先证平面，再根据线面垂直证