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文档简介

第八章拉普拉氏变换2

§4拉氏逆变换

本节介绍了更一般的方法，利用像函数通过反演积分或留数方法求像原函数.3

1、反演积分公式

函数f(t)的拉氏变换，实际上就是的傅氏变换，即

因此，当满足傅氏积分定理的条件时，在f(t)的连续点处，有4

即5

公式（1）就是从像函数F(s)求像原函数f(t)的一般公式，称为反演积分公式.证明思路：如图，引进辅助半圆周，则形成闭合路径.应用留数定理，令R→+∞，并证明cR上的积分趋于0，由此便可得到结论.2、利用留数求逆变换定理则有cR

+iR.s2

.s1

.sn

-iRL证明：8

注：情形1

若B(s)有n个单零点则情形2

若B(s)有m级零点则若例1

求下列有理分式的拉氏逆变换：解：（1）

显然

k

和

–k

为分母的一级零点，则

（2）0

和

1

分别为分母的一级和二级零点，则例2求的逆变换.于是解一：显然如何求？事实上，位移和微分性质思考：该题还可以用其它办法求解吗？解二：利用卷积求解.由卷积定理，解三：利用留数求解.根据(2)式以及上述的留数计算方法知：§5拉氏变换的应用

拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到响应、传递函数等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论.

下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.

此方法的原理：对方程两边进行拉氏变换，应用变换的线性、微分和积分公式，将未知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！解:

两端取拉氏变换，记得即例1

求解方程

且满足条件从而解:

两端取拉氏变换，记得于是例２

求解方程

且满足条件从而即例3：求解微分方程组对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件，得例３解下列积分方程：解：本题的方程为卷积型的，即可表为因此，两端取拉氏变换，记那么由卷积定理，得即最后一步，取逆变换：得到象函数表达式为：由练习题(1)求解下列积分方程：(2)求方程组：20

像原函数（方程的解）像函数取拉氏逆变换微分方程像函数的

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