整式整除的题目及答案

整式整除的题目及答案一、选择题1.若多项式\(P(x)=x^3-2x^2+3x-4\)能被\(x-1\)整除，那么\(P(1)\)的值为（）。A.0B.1C.2D.3答案：A解析：根据余数定理，如果多项式\(P(x)\)能被\(x-a\)整除，则\(P(a)=0\)。因此，\(P(1)=1^3-2\cdot1^2+3\cdot1-4=0\)。2.已知\(x^2+3x+2\)能整除多项式\(Q(x)\)，那么\(Q(x)\)除以\(x^2+3x+2\)的余数为（）。A.0B.1C.2D.3答案：A解析：由于\(x^2+3x+2\)能整除\(Q(x)\)，根据整除的定义，余数必须为0。3.若\(x-1\)是多项式\(R(x)=x^4-3x^3+2x^2+ax-6\)的一个因子，则\(a\)的值为（）。A.1B.2C.3D.4答案：C解析：根据余数定理，如果\(x-1\)是\(R(x)\)的一个因子，则\(R(1)=0\)。代入\(x=1\)得到\(1^4-3\cdot1^3+2\cdot1^2+a\cdot1-6=0\)，解得\(a=4\)。二、填空题4.已知\(x-2\)是多项式\(S(x)=x^3-5x^2+9x-7\)的一个因子，求\(S(2)\)的值。答案：0解析：根据余数定理，\(S(2)=2^3-5\cdot2^2+9\cdot2-7=0\)。5.多项式\(T(x)=x^4-4x^3+5x^2-2x+1\)能被\(x-1\)整除，求\(T(1)\)的值。答案：0解析：根据余数定理，\(T(1)=1^4-4\cdot1^3+5\cdot1^2-2\cdot1+1=0\)。三、解答题6.证明多项式\(U(x)=x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6\)能被\(x-2\)整除，并求\(U(2)\)的值。答案：\(U(2)=0\)解析：根据余数定理，\(U(2)=2^5-2\cdot2^4+3\cdot2^3-4\cdot2^2+5\cdot2-6=32-32+24-16+10-6=0\)。因此，\(U(x)\)能被\(x-2\)整除。7.已知\(V(x)=x^3-6x^2+11x-6\)能被\(x-3\)整除，求\(V(3)\)的值。答案：0解析：根据余数定理，\(V(3)=3^3-6\cdot3^2+11\cdot3-6=27-54+33-6=0\)。8.多项式\(W(x)=x^4-7x^3+14x^2-7x+1\)能被\(x-1\)整除，求\(W(1)\)的值。答案：0解析：根据余数定理，\(W(1)=1^4-7\cdot1^3+14\cdot1^2-7\cdot1+1=1-7+14-7+1=0\)。四、综合题9.已知多项式\(X(x)=x^6-5x^5+10x^4-10x^3+5x^2-x+1\)能被\(x-1\)和\(x+1\)整除，求\(X(1)\)和\(X(-1)\)的值。答案：\(X(1)=0\)，\(X(-1)=0\)解析：根据余数定理，\(X(1)=1^6-5\cdot1^5+10\cdot1^4-10\cdot1^3+5\cdot1^2-1+1=0\)。同样，\(X(-1)=(-1)^6-5\cdot(-1)^5+10\cdot(-1)^4-10\cdot(-1)^3+5\cdot(-1)^2-(-1)+1=1+5+10+10+5+1+1=0\)。10.多项式\(Y(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)能被\(x-1\)和\(x+1\)整除，求\(Y(1)\)和\(Y(-1)\)的值。答案：\(Y(1)=0\)，\(Y(-1)=0\)解析：根据余数定理，\(Y(1)=1^4-4\cdot1^3+6\cdot1^2-4\cdot1+1=1-4+6-