2025版《新高考你掌握了吗》数列与不等式解析册

第1章基本数列同步练习1.由题意可得整理得,则,即,则,故选。(参考【例例)2.因为为等比数列，，所以，整理可得,则,解得,则,故选.(参考【例例】)3.由题意可知所以当时,有最大值,故选B。(参考例例)4.由于成等比数列,则可得,因此是首项为2、公比为2的等比数列,即,解得,故选C。(参考【例】)5.因为为等差数列,所以为等差数列，即整理得,解得,故选。(参考【例例】)6.设第节竹节容积为,相邻两节容积差为,则由题可知则解得所以第5节容积升,故选B(参考【例例】)7.设的前项和为,则又为等差数列,公差为,则对比系数可得,所以,故填。(参考【例1.6】)8.因为为等比数列,,所以,解得,所以。而令,解得,故。故填64。(参考【例例】9.已知数列的前项和,首先验证首项。(1)当时,可得;(2)当时,则,那么可得。又知当时,,故的通项公式为。又因为是等差数列,设,由,可得,对照系数可得,解得,则的通项公式为。故填。(参考【例例)10.由题意知,第1项不是最大项,则当时,有于是可得解得,又因为为正整数,所以,故填4。(参考【例1.19】)11.甴题意可得化简得故,即或,故填。(参考【例例)12.已知是各项均为正数的等差数列,公差为d,可知又因为是和的等比中项,所以,则同理可得,要证明是等差数列,只需依照等差数列的定义:于是根据等差数列的定义可知,是等差数列。(参考【例)13.(1)由题意可得解得或。当时,,此时;当时,,此时。(II)当时,或此时不存在满足条件的。当时,,则故不存在满足条件的综上所述,不存在满足条件的正整数参考【例同步练习21.解析】设数列公比为,则,故。(1)若,则,当且仅当时取等号;(2)若,则,即,当且仅当时取等号。故选D。(参考【例1.20】)2.因为是等差数列,所以解得(舍)或,所以,故选。(参考【例例)3.因为都是公差为1的等差数列,所以因此数列也是等差数列,记为数列的前项和,则,故选。参考【例例4.由题意可得所以,故即数列是以8为首项、为公比的等比数列,所以故选C。(参考【例例)5.因为,解得,所以。故填24。参考【例例6.因为为等比数列,,所以,解得,则,故填32。(参考【例例)7.由题意知,所以当时,有最大值,故填2。(参考【例例)8.由题意可知,,即,则,所以故填2。参考【例例9.由题意可知,所以。又由的公差为2,则,所以故填。(参考【例例】10.有连续四项在集合中,又,所以有连续四项在集合中,所以至少有一项为负数。又因为为等比数列,故,所以可能的顺序排列为。又因为其中,所以成等比数列,即为的连续四项,所以,故填。11.甴题意可得可知则故。再甴(1),可得(2),由(1)-(2)得,整理可得,根据等比数列的定义可知,数列是以为首项、为公比的等比数列,故(参考【例例)12.设圆心为因为与相切,易知直线倾斜角为故。又因为与外切,故,即,整理得,故是公比为3的等比数列。参考【例例13.(I)由题意可知,则,所以。 又则所以,故是以为首项、为公比的等比数列。(II)由(I)得,则,所以要使数列为等差数列,即使,则对比结构可知,故当时,为等差数列。第2章数列通项公式同步练习11.由题意知,解得,则,所以,累加得,故,选。(参考【例2.4】)2.甴得所以故选。参考【例例3.甴得所以故选。得,则,数列的前项和为故填。(参考【例2.4】)4.甴已知可得累乘得所以,验证可得时也满足,所以的通项公式为。(参考【例例5.当时,,解得为正项数列,负值舍去),对分解因式得,因为为正项数列,故,所以,则当时,经验证时也满足,故,故填。(参考【例2.2】)6.由题,且所以是以4为首项、2为公比的等比数列,即,故填。7.$设数列公差为d,则甴得解得所以故填。8.$甴题可得且解得。又则,两式相减得,化简得,因为,故,则当时,,累加得,即,经验证,当时也满足,所以,故填。参考【例9.由题意可知所以,则当时,,累加得即,经验证,当时也满足,因此,故填(参考【例2.4】)10.由题设可得,即,所以。又因为,所以,由,解得。(1)当时,;(2)当时,。综上可知,数列的通项公式为参考【变式11.当时,,则,所以,即是以为首项、1为公差的等差数列,即,所以。又上可知,且,故,所以,故填。参考【例例12.整理得所以是以为首项、2为公比的等比数列,即。又,故整理得,解得,故填。(参考【例例)同步练习21.$甴整理得则当时,,累加得,经验证,当时也满足,故,选参考【例】)2.由题意可得,易知是首项为、公差为2的等差数列,通项公式为,故填。3.$甴整理得则当时,,即,所以是以1为首项、为公比的等比数列,即,故填。参考【例例4.$当时;$当时,,上题中条件可知所以,且对于也成立,故的通项公式为。参考【例例5.由题意可得由累乘法可得于是可得,验证可知时也满足,故填。参考【例例6.$甴题意知解得。又因为则两式相减得,故是以1为首项、为公比的等比数列,即,故填。(参考【例2.2】)7.$甴题意知因为$则当时,有两式相减得,所以,验证时也满足,所以,故填(参考【例)8.$整理得故是以为首项$1为公差的等差数列,即,所以,故填。参考【例9.$甴题意得解得。又$则当时,两式相减得,整理得,验证时也满足,故是以为首项,1为公差的等差数列,即,所以,故填(参考【例)10.;$(2)令,即。故数列的通项公式为。(参考【例例11.由可知,当时,,两式相减并整理得,因为,所以,故是公差为2的等差数列。又因为成等比数列,所以,即,解得,所以,故填。参考【例12.由得,得,代入得,即,变形得,所以是以为首项,2为公比的等比数列,即,所以,故填。参考【例13.由得又,所以是以1为首项、为公比的等比数列,即,当时,累加得,验证时也满足,故。由得,故;由得,故;同理,当为奇数时,,当为偶数时,,因此。故填。参考【例第3章数列的求和同步练习1.由题意可知,当为偶数时,则,故选。参考【例例)2.由题意可知,即,解得或(舍),故,因为即为的前项和。又为等差数列,则故填。(参考【例例)3.$因为所以当时,两式相减可得,当时满足,故。(II)设的前项和为,由(I)得则故数列的前项和为。参考【例例4.(I)设数列的公差为,令,可得,所以,令,得,所以(2),由(1)(2)可得,所以。(II)由(I)可知,数列的前项和为由(3)-(4)可得所以。(参考【例例)5.(I)因为,所以,解得或,故数列的通项公式为:或。(II)当时,分别为,不成等比数列;当时,分别为,成等比数列,满足条件。故。记数列的前项和为,当时,当时,故数列的前项和为(参考【例3.19】)同步练习21.因为,所以令,易知是首项为2、公比为8的等比数列,是第项,则为的前项和,因此故选D。(参考【例例)2.由题意可知解得,故,则设的前项和为,则故填。(参考【例例)3.由题意知又为整数,所以,所以。(II)所以故。(参考【例例)4.(1)甴条件可得解得或。又因为可知,$可得,所以。(II)由题意可得即是首项为,公差为1的等差数列。令,则。设数列的前项和为,则故的前项和为。(参考【例例】)5.(1)$甴题意得解得甴可知，当时,有,两式相减得,变形得,即是首项为、公比为4的等比数列,故,验证时也满足,故,故填。(II)由(I)及条件可知故,所以(参考【例例)同步练习31.（1）$甴题可知即故且当时,$,验证时也满足,所以;(II)由(I)得故要使得恒成立,即,解得,故满足条件的最小正整数。参考【例例2.(I)因为数列是递增的等差数列,是方程的根,所以,,根据等差数列通项公式,解得,故;(II)设数列的前项和为,则由(1)-(2)可得解得。参考【例例3.（1）$甴题意可知即解得或,$故或。(II)由(I)知时,,易知时时。故当时当时,综上所述,(参考【例3.19】)4.（1）$甴条件可知,对任意正整数$n,$都有因而对于有$,两式相减可得,因为,则,故对一切的正整数,都有。(II)由(I)可知数列是首项为、公比为3的等比数列,可得;数列是首项为,公比为3的等比数列,可得。于是则综上所述,(参考【例例】5.（1）$甴得因为为正$项数列,故,所以,验证得时也满足,故的通项公式为。(II)由(I)知令,整理并对比系数得,所以则(参考【例例)第4章数列的性质同步练习1.由题意可得故是以这三个数为循环的周期数列,故,选。参考【例例2.因为,且是递增数列,所以解得故选。参考【例例3.已知数列的前8项的值各异,且对任意的都成立,可知数列的周期为8,由于都是奇数,除以8后的余数仍是奇数,而除以8后余数能取到可知数列可取遍的前8项值,故选B。(参考【例例)4.当时,,可得。又因为,所以,所以,由,可得,即只雪丆需求出的最小值即可,令,由对勾函数性质可知,函数在上单调递增,于是可得,所以当时,的最小值为,可得,故选参考【例例5.易知又故又所以,且。又100以内(含100能被14整除的数共有7个,所以正数个数为,故选。(参考【例4.16】)6.由可知,当时,,累加得,故,经验证知时也满足,所以。令,由对勾函数性质可知，在上递减,在上递增,又,故,解得,即的最小值为,故填。(参考【例例4.10】)7.为递增数列,则又成等差数列,即,整理得,即,解得或,当时这与为递增数列矛盾,因此,故填.参考【例例4.10】)8.要使,即,则。因为当时,必有,递推易得,则即解得,故填。参考【例)9.$甴于的周期为$4,$所以采用四项相结合,得$则,故填3018。(参考【例4.16】)10.$对任意都有则$即(1)当为奇数时,(2)当为偶数时,故填。参考【例.第5章放缩同步练习1.(1)当时,;(2)当时,所以。综上所述,对于任意的,都有。2.$当时;$当时,所以当时,3.（1）$当时$两式相减得整理得,即。又,故数列是首项为、公差为1的等差数列,所以,所以。(II)因为所以(参考【例例】)4.【解析】(I)因为，所以，所以是以为首项、2为公比的等比数列。所以,即。(II)因为所以又因为所以综上所述(参考【例例】)5.【解析】(I)由题意得,即,所以,由得所以,而即。(II)由题意得,则,而,所以,即,所以,故。同步练习21.【解析】(I)由可得，所以数列是以为首项、3为公比的等比数列,故,即。(II)令,则,由于,所以所以,故不等式得证。(参考【变式5.24.1】)2.【解析】(I)因为，所以，因此可得。又,所以是首项为,公比为的等比数列,所以,即。所以数列的通项公式为。(II)由(I)知,则所以对任意的。3.【解析】(I)由条件得。于是可得.猜測。下面用数学归纳法证明。①当时,由上可得结论成立。②假设当时结论成立,即。那么当时,有所以当时,结论也成立。由①②可知，对一切正整数都成立。(II)当时,。当时,由(1)知,故综上所述,。（参考【例例】)4.因为所以。又因为所以综上所述,。5.【解析】(I)因为，从而，得。求和可得。因为,所以,即,所以。(II)①先证。令,则于是由(I)得即,所以。②再证。记,令,则于是由(I)得即,所以。综合①②可得。第6章均值不等式同步练习11.【解析】因为，根据均值不等式，可得，所以，故选D。(参考【例】)2.【解析】有题意可知，整理得，解得或（舍），故选B。(参考【例例】)3.【解析】由题意可得故选D。(参考【例例】)4.【解析】因为正数满足,所以,故因此,故选。(参考【例例】)5.【解析】因为,所以由均值不等式可得即,当且仅当,即时等号成立,故填3。(参考【例例】)6.【解析】由可得,利用1的代换可得当且仅当时等号成立,所以,故填。(参考【例例】)7.【解析】由题意，故当,即时,取得最大值4,故填4,4。(参考【例例】)8.【解析】由题意可得当且仅当时等号成立,故填9。(参考【例例】)9.【解析】由于，利用均值不等式可得，所以，又因为,平方可得,所以,令,所以是单调递减函数,所以,故填。(参考【例例】)10.【解析】（1）当时，当且仅当,即时等号成立。(2)当时,当且仅当即时等号成立。综上所述,故填。(参考【例例】)同步练习21.【解析】因为，且，所以，故A，B不正确。因为，所以，故选C。(参考【例例】)2.【解析】由题意,因为不等式对任意正实数恒成立,所以,解得,即,因此的最小值为4,故选B。(参考【例例】)3.【解析】由题意,当且仅当,即时取等号,故选C。(参考【例例】)4.【解析】因为等价于,所以,当且仅当,即时取等号。故选D。(参考【例例】)5.【解析】因为,所以,因此,故填3。6.【解析】由题意可知。令,则,解得或(舍),所以,故填18。(参考【例例】)7.【解析】由题意可得两个不等式同时取等号的条件为,即,故填4。(参考【例例】)8.【解析】由可得，则当时等号成立,则的最小值为8,故填8。(参考【例例】)9.【解析】当且仅当，即时取得最小值，故填2。(参考【例例】)10.【解析】由可得，即可得。又因为,所以,解得,即,故的最大值为。(参考【例例】)第7章不等式的证明同步练习11.【解析】由基本不等式得，同理，，故，,所以不等式同时取等号的条件为,即。(参考【例例】)2.【解析】证明：因为，所以已知与同号,所以,即,故.(参考【例例】)3.【解析】(I)因为，可得所以。(II)因为,可得可得,所以,解得。(参考【变式】)4.【解析】(I)因为，，，所以，由题意知所以。(II)因为,所以,即。(参考【例例】)5.【解析】(I)由于故,当且仅当时等号成立,所以的最小值为.(II)由于故,当且仅当时等号成立,因此的最小值为,由题设可知,解得或。(参考【例例】)第8章绝对值不等式同步练习11.【解析】表示点到点和的距离之和,因为关于对称,故点关于对称,所以,选(参考【例例】)2.【解析】当即时,,故,解得。当即时,,故,解得,故选D。(参考【例例】)3.【解析】原不等式转化为或，解得或故填4.【解析】，，故填(参考【例例】)5.【解析】，，故填(参考【例例】)6.【解析】,当且仅当时等号成立,故,故填4。(参考【例例】)7.【解析】,转化为或,即或,由于,所以不等式的解集为,故填2。(参考【变式】）8.【解析】设发行站的位置为,零售点到发行站的距离为令其图像为“”字形态,那么最小值必然在处取得,则;令,其图像为“"字形态,那么最小值必然在处取得,则,所以,当且仅当时等号成立,故填。(参考【例8.9～例8.10】)9.【解析】(I)当时,。解不等式,得。因此,的解集为。(II)当时当时等号成立,所以当时,等价于,当时,则不等式无解;当时,则,解得,所以的取值范围为。(参考【例8.6～例8.7】)10.【解析】(I)当时,，即为当时，不等式无解；当时，即为,解得当时,即为,解得,所以的解集为。(II)去绝对值得所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,所以,所以可得,解得,所以的取值范围为。(参考【例8.6例8.7】)第9章数列无序训练无序练习11.【解析】由题意得,即,故选D。(参考【例例1.10】)2.【解析】由等比数列性质可知,成等比数列,即。又,故,代入①得,解得,故选。(参考【例1.25】)3.【解析】令,由正弦函数性质可知周期,故当或时,,当或时,,且,所以在和上单调递增,在和[75,100]上单调递减,即。易知,又因为所以因此,同理,所以在时恒成立,即在中有100个正数,故选(参考【例4.16】)4.【解析】因为是等差数列,,所以解得,则,故填14。(参考【例1.1例1.2】)5.【解析】由可得,所以是以为首项、为公比的等比数列,故,所以,故填。(参考【例2.7～例】)6.【解析】,时也满足上式,故,所以因为,故时有最小值,即中数值最小的项是第3项。故填。7.【解析】由题意知,代入得。又。故解得，故填。(参考【例1.20～例1.21】)8.【解析】因为,所以,则,所以是首项为、公差为的等差数列,故,即,故填。9.【解析】，，。(i)当时,则(ii)当时,,则综上所述,可能的取值为4,5,32,故填4,5,32。10.【解析】设数列公比为,由题意有,解得,所以,令则根据题意,即,化简得,即,故只需,解得。又因为，所以,故填12。11.【解析】点在直线上,即,由题意,故。又,所以,则所以是以为首项、为公比的等比数列。(参考【例1.26～例1.27】)12.【解析】(I)因为,所以,解得,,故。(II)将代入得令①,则②。②-①得，故(参考【例3.20～例3.21】)13.【解析】(I)设的公差为的公比为,则。依题意有,解得,故。(II),所以,故(参考【例3.7～例3.10】)无序练习21.【解析】由题意可知,即,解得,所以,故选D。2.【解析】由题意可知,所以因为,所以,当且仅当时取等号,故选D。3.【解析】由数列性质可知,即,所以是以为首项、4为公比的等比数列,故,所以,故选(参考【例2.1～例2.3】)4.【解析】设公比为,则,故,因为也是等比数列,则,即,解得,故,故选5.【解析】因为,而,所以,由此可知数列的前8项和最大,即,故填8。6.【解析】由数列性质可知成等比数列,即,即,整理得,因为对任意成立,故或。故填0或1。7.【解析】由得,整理得累加得又所以,验证时也成立,故填。8.【解析】因为,所以,当时,,即。当时,,所以,故恒成立;当时,,所以,故恒成立;当时,,所以,故恒成立;当时,,所以需,而为偶数时,此时不成立;当时,当时,,故当为偶数时,此时不成立。综上,的范围为,故填。9.【解析】由得,两式相减得,整理得因为,则,累加可得,又,解得(舍)或,所以,故,故填。(参考【例】)10.【解析】由,得,且当时,有。得,所以即是以为首项、2为公比的等比数列。(参考【例1.26～例1.27】)11.【解析】(I)设公比为,则由成等差数列得,即因为，故解得，所以(II)由(I)知，所以当为奇数时，，当为偶数时，故对于，有。12.【解析】|(I)当时解得或(舍),由,分解因式得,因为,故,所以,故当时,有,验证时也满足,所以。(II)当时,当时,所以,故所以对一切正整数,有(参考【例5.10～例5.11】)无序练习31.【解析】设公差为,则,所以解得(舍)或,所以,故选2.【解析】由韦达定理可知,因为,故,不妨设。又这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,所以有,解得,故,则,故选3.【解析】不妨设三角形内角由小到大依次为,所对应边长分别为,则,，因为成等差数列,所以。又因为,所以,故缺92页和93页(II)由(I)易知,故。令,则上两式相减得所以。(参考【例3.5～例3.6】)13.【解析】(I)由题,同理得。因为成等差数列,故,解得。由得,两式相减得,即,又,所以对任意均成立,即是以为首项、3为公比的等比数列,即,所以。(II)当时,;当时,,即,故综上,对一切正整数,有。第10章不等式无序练习无序练习11.【解析】少于三个绝对值的问题,直接去掉绝对值可得由于,即等价于或,所以或,故选D。(参考【例8.1例8.2】)2.【解析】因为是与的等比中项,所以,即,因此故选。(参考【例6.18例6.26】)3.【解析】由可得,等式两边同除,得,所以,展开得,由均值不等式可得当且仅当,即时等号成立。故选。(参考【例6.18～例6.26】)4.【解析】由于,所以,分子分母同除以,得。再利用均值不等式可得当且仅当时等号成立,所以,所以当时等号成立。故最大时的最大值为1。故选。(参考【例6.43～例6.46】)5.【解析】由log可得,所以分离可得当且仅当等号成立,故填4。(参考【例6.27～例6.29】)6.【解析】由题意知于是可得故填。(参考【例6.30～例6.35】)7.【解析】由可得,将与看作两个变量,这两个变量之积为定值。令,即,可得，则故填。8.【解析】，由可得，展开整理得,利用均值不等式得,当且仅当时等号成立，所以。故填。(参考【例6.49～例6.50】)9.【解析】由可得,则利用均值不等式可得当且仅当时等号成立.若.故得.（参考【例6.18～例6.26】）10.【解析】(I)由于，,所以当且仅当时等号成立，故f(x)≥2.(Ⅱ)由于，解得；当.故的范围为.（参考【例8.1～例8.2】）11.【解析】（I)因为所以，则，所以.（Ⅱ)因为,所以,可得当且仅当时等号成立.（参考【例7.10～例7.12】）12.【解析】因为①+②+③可得即。（参考【例7.1～例7.4】）97第11章综合练习综合练习11.【解析】易知塔每层的灯数构成等比数列,且公比为2,设顶层灯有,则由题意知S7=381,即,解得=3,故选B.(参考【例1.20~例1.21】)2.【解析】设四个根依次为,因为所以或由韦达定理可知二次方程的两根之和均为2,而在等差数列中有所以为一个方程的两个根,为另一个方程的两个根.不妨设为的两个根,为的两个根,故由可得因此可求得，因此.故选C.参考【例1.5】【解析】令可得所以当且仅当时等号成立,故选D.(参考【例6.14~例6.17】)4.【解析】设数列的首项为,公差为，因为即,解得故.令由于因此当时,单递减；当时，单调递增,故或取得最小值,又，故填.(参考【例1.1~例1.2】)98页5.【解析】由题意知，可知当时，有两式相减得，容易验证当n=1时也满足，所以,故填.（参考【例2.1～例2.3】）6.【解析】，则.所以三次不等式同时取等号的条件为，即,故填18.（参考【例6.40～例6.42】）7.【解析】由，显然对于任意都为正，两边取自然对数得于是是以为首项、2为公比的等比数列，因此故的通项公式为.（参考【例2.21～例2.22】）8.【解析】令，可得.同理，令,可得,所以.要证是等差数列，即证（k为常数)，整理得，注意到当m=n+2时，由题上条件可得.故bn+1-bn=8,经验证n=1时也成立，所以是以6为首项,8为公差的等差数列.（参考【例2.13~例2.16】）9.【解析】(I)根据等差数列的通项公式可知，解得,因此.99页(Ⅱ)因为,所以.又因为>0,所以d<0要使,即由于,代入不等式化简可得.故满足的条件为(参考【例1.1~例1.2】)10【解析】(I)分段去掉绝对值,得 因此>1,即:(1)当时,>1无解;(2)当-1<x<1时,>1,解得<<1;(3)当时,>1,解得综上所述,不等式>1的解集为(Ⅱ)当时,不等式>成立等价于当时,<1(1)若,则当时,.不满足条件;(2)若a>0,则<1的解集为,所以.解得0<a≤2综上所述,a的取值范围为.(参考【例8.6~例8.7】)11.【解折】(1)由是的等差中项,得,由,可得,解得,由,得.可得或,因为>1,所以.(Ⅱ)设,数列的前项和为,由可得.再由(1)可得,所以则累加可得100令，可得①②由①-②可得所以，则。又因为，所以，.(参考【例3.5-例3.6】)12.【解析】(Ⅰ)因为数列各项都为正,所以经过(0,0)和两点的直线为,该直线与平行,所以。(Ⅱ)设函数,显然函数在上单调递增。因为即,所以,即,则(2)因为,即所以,故101又因为，所以综上可知，.(参考【例5.7~例5.8】)综合练习21.【解析】设公差为，由等差数列性质可知奇数项与偶数项分别为公差为的等差数列,故由题意可