高中函数图像大全

指数函数

概念：一般地，函数y=a^x（a>0,且a#l）叫做指数函数，其中x是自变量，函数

的定义域是R。

注意：L指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

2.指数函数的定义仪是形式定义。

指数函数的图像与性质：

规律：1.当两个指数

函数中的a互为倒数时，两个函数关于/轴对称,但这两个函数都不具有

奇偶性。

2.当a>l时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴：

当OVaVl时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底天图高;在y轴左边“底大窗低

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a>l时，图像在R上是增函数；当OVaVl时,

图像在R上是减函数。

4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幕式大小的方法：

1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较：

4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移.

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数户ax在定义域(-8,+8)上是单调函数，所以它存在反函数，

我们把指数函数丫=2%2>0,aWl)的反函数称为对数函数，并记为y=logaX(a>0,a^l).

因为指数函数y=ax的定义域为(-8,+oo),值域为(O,+oo),所以对数函数y=]ogax的

定义域为(0，+8),值域为(-8,+OO).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画

出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=logax(a>0,a#l)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

W1)的图像的特征和性质.见卜表.

a>la<l

”-7

X=1i

图y

y=logaX{cl>l)

(10)

X'，'___________»

X♦

oX.x

U

象(lfo)X

y=logax(0<a<l)

(l)x>0

性(2)当x=l时,y=0

质(3)当x>l时，y>0(3)当x>l时,y<0

OVxVl时，y<0OVxVl时，y>0

(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上星减函数

补设yi=logaXy2=logbx其中a>l,b>l(或OVaVI0<b<l)

充当x>l时“底大图低”即若a>b则y>y2

性当OVxVl时“底大图高”即若a>b,则y>y2

质

比较对数大小的常用方法有:

⑴若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

⑵若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

（3）若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

⑷若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

名称指数函数对数函数

x

一般形式y=a(a>0,aWl)y=logax(a>0,aWl)

定义域(-8,4-00)(0,+8)

值域(0,+00)(-8,+°°)

当a>l时，当a>l时

函>l(x>0)>O(x>l)

1

数a<=l(x=0)Ioga=O(x=l)

<l(x<0)<O(x<l)

值

当0<aVl时、当0<aVl时，

变

[<iu>o)<O(x>l)

化

ax<=](x=0)log.=O(x=l)

情>l(x<0)>0(x<1)

况

单调性当a>1时，a'是增函数；当a>l时，logaX是增函数；

当OVaVl时，ax是减函数.当OVaVl时，logaX是减函数.

x

图像y=a的图像与y=logax的图像关于直线y二x对称.

幕函数

事函数的图像与性质

幕函数），=乂随着〃的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分

类记忆的方法.熟练掌握），=/,当〃=±2,±1,±',1,3的图像和性质，列表如下.

23

从中可以归纳出以下结论：

①它们都过点（1,1）,除原点外，任何存函数图像与坐标轴都不相交，任何事函

数图像都不过第四象限.

=g,：,1,2,3时•，幕函数图像过原点且在［0,+8）上是增函数.

②a

时，鼎函数图像不过原点且在（0,+8）上是减函数.

④任何两个幕函数最多有三个公共点.

1

y=.一V=Xy=/.v=k

定义域RRR{x|x>0}{x|xwO}

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第I象限的增减在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限

性单调递增单调递增单调递增单调递增单调递减

暴函数）'=/（X£R,。是常数）的图像在第

一象限的分布规律是：

①所有累函数＞二x"（X£R,°是常数）的图

像都过点（U）；

a=1,2,3,—_a

②当2时函数y=x的图像都过原

点（°，°）；

③当。=1时，）'=/的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如C’2）；

④当a=2,3时，）'='的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如J）

1

Ct——_a

⑤当2时，”的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如Q）

⑥当a=-l时，）'二/的的图像不过原点（°，°）,且在第一象限是“下滑”曲线（如S）

当a＞o时，基函数）'二•/有下列性质：

（1）图象都通过点（a°），（u）：

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；（）＜。＜1时，图象是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点（U）后，图象向右上方无限伸展。

当。＜。时:暴函数）'=/有下列性质：

（1）图象都通过点（11）；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的：

（3）在第一象限内，图象向上与）'轴无限地接近；向右无限地与工轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点（U）后，越大，图象下落的速度越快。

无论。取任何实数，幕函数）'二丁的图象必然经过第一象限，并且一定不经

过第四象限。

对号函数

b

函数>=4X+—(a>0,b>0)叫做对号函数，因其在(()，+8)的图象似符号“J”

而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，ax+->2j-(当且仅当

%\ax

即尤时取等号)，由此可得函数y=+2(a>O,b>O,x^R+)的性质:

Vax

当X=心时,函数y=ax+2（a>O,b>O,x£R，）有最小值2.1—,特别地，当a=b=1

\a'xVa

时函数有最小值2。函数)'=ax+^(a>0,b>0)在区间(0,2)上是减函数，在区间(b

xa

+8)上是增函数。

因为函数y=+2(a>0,b>0)是奇函数，所以可得函数)=以+2(a>O.b>O,xER)

XX

的性质:

bJL

当工二时，函数y=ax+—(a>O,b>O,x£Rl有最大值-2、，一，特别地，当a=b=l

X

时函数有最大值-2。函数y=ax+2(a>0,b>0)在区间)上是增函数，在区

xVa

间(-^―»0)上是减函

奇函数和偶函数

(1)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个X值，都有f(一x)=-(x).那么就称f(x)为奇

函数.

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个X值，都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.说

明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关十原点成对称的若十区同时，

才有可能是奇

(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x)是不易的.为了便于判断

有时可采取如下办法：计算f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此

函数较为方便：f(x)

(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，当>^M0时・，显然有f(一

x)=-f(x),但当x=0时,f(—x)=f(x尸1,・・・f(x)为非奇非偶函数.

(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形：偶函数的图象特征是关于

y轴为对称轴的对称图形.

(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.例

如果函数f(x)是奇函数，并且在(0,+8)上是增函数，试判断在(一8,0)上的增减性.

解设xl,x2e(-oo,0),且xlVx2V0

则有一xl>-x2>0,

•・・f(x)在(0,+8)上是增函数，

.•.f(-xl)>f(-x2)

又YRx)是奇函数，.•.f(x)=一f(x)对任意x成立，

.,.=-f(xl)>-f(x2)

/.f(xl)<f(x2).

・・・£仁)在(一8,0)上也为增函数.

由此可得出结论：一个奇函数若在(0,+8)上是增函数，则在(一8,0)上也必是增函

数，即奇函数在(0,+8)上与(一8,0)上的奇偶性相同.

类似地可以证明，偶函数在(0,+8)和(-8,0)上的奇偶性恰好相反.

时，f(x)的解析式

解Vx<0,A-x>0.

又・・・f(x)是奇函数，；・f(一x尸一f(x).

........桐茵薮囱篆前麻程芭乐产茸应声........

我们知道，如果对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有

f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.偶函