信号与系统新教材课件 全套 1-8 01-第一章 绪论 - 第八章 线性系统的状态变量分析

信号与系统南京航空航天大学电子信息工程学院课程简介信号与系统是电子信息类专业的一门非常重要的基础理论课程，具有较强的理论性，在基础课和专业课之间起着承上启下的桥梁作用。课程简介（续）信号与系统是电子信息类专业的一门非常重要的基础理论课程，具有较强的理论性，在基础课和专业课之间起着承上启下的桥梁作用。这些基础理论知识对后续课程（数字信号处理、随机信号分析、线性系统与控制等）的学习以及今后的工作实践都是很重要的。课程简介（续）本课程以信号和系统为主题，分连续和离散两条主线展开。课程简介（续）本课程以信号和系统为主题，分连续和离散两条主线展开。第二章到第四章分别是连续时间系统的时域分析、频域分析和复频域分析。第五章到第七章分别是离散时间系统的时域分析、频域分析和复频域分析。第八章介绍线性系统的状态方程。第一章绪论授课教师：时晨光南京航空航天大学电子信息工程学院主要内容系统引言13信号2线性时不变系统的分析4主要内容系统引言13信号2线性时不变系统的分析41.1引言当今社会是一个信息化社会，信息技术涉及社会生活的方方面面。与之相关的学科有通信工程、自动控制、电子器件、计算机、光信息处理等。1.1引言信息技术要解决的根本问题是信息的传输，即，将带有信息的信号通过某种系统由发送者传送给接收者。1.1引言信息技术要解决的根本问题是信息的传输，即，将带有信息的信号通过某种系统由发送者传送给接收者。什么是信息，什么是信号？1.1引言人们相互转告某个事件时，实际上就在互相传递着相应的信息。信息可用不同的形式表达，如语言、文字、图像等，还可用事先约定的编码来表达。1.1引言这些语言、文字、图像、编码等是按一定规则组织起来的，包含了信息的一组一组约定符号。1.1引言这些语言、文字、图像、编码等是按一定规则组织起来的，包含了信息的一组一组约定符号。这种用约定方式组成的符号统称为消息。1.1引言而消息一般不便于传输和存储，要利用一些转换设备将各种不同的消息转换成便于传输的信号。1.1引言而消息一般不便于传输和存储，要利用一些转换设备将各种不同的消息转换成便于传输的信号。信号指某种变化的物理量。1.1引言而消息一般不便于传输和存储，要利用一些转换设备将各种不同的消息转换成便于传输的信号。信号指某种变化的物理量。例如：心电图1.1引言而消息一般不便于传输和存储，要利用一些转换设备将各种不同的消息转换成便于传输的信号。信号指某种变化的物理量。例如：脑电图1.1引言而消息一般不便于传输和存储，要利用一些转换设备将各种不同的消息转换成便于传输的信号。信号指某种变化的物理量。例如：地震波1.1引言而消息一般不便于传输和存储，要利用一些转换设备将各种不同的消息转换成便于传输的信号。信号指某种变化的物理量。例如：黑白图片——表示2维空间坐标函数的光强度。1.1引言而消息一般不便于传输和存储，要利用一些转换设备将各种不同的消息转换成便于传输的信号。信号指某种变化的物理量。在本门课中，主要指电信号。1.1引言信号、消息、信息的关系：1.1引言信号的传输与处理要通过由许多不同功能单元组织起来的通信系统（或电子系统）来完成。1.1引言信号的传输与处理要通过由许多不同功能单元组织起来的通信系统来完成。1.1引言首先，通过转换器将含有信息的待发消息转换成电信号；1.1引言然后，发射机把输入信号转化为适合信道传输的信号形式；1.1引言再经过信道传输至接收端，通常在信道传输过程中还会引入噪声；1.1引言接收机将接收到的信号转化为与输入信号相对应的输出信号；1.1引言最后，由转换器把输出信号转换为便于接收者理解的消息。1.1引言在通信系统中主要涉及两个重要的对象：信号用来处理信号的系统1.1引言在通信系统中主要涉及两个重要的对象：信号（电信号）用来处理信号的系统（电子系统）主要内容系统引言13信号2线性时不变系统的分析41.2信号广义地说，信号是变化的某种物理量。电信号通常是随时间变化的电流或电压，例如：声信号也可以通过麦克风转化为随时间变化的电流或电压信号。1.2信号广义地说，信号是变化的某种物理量。电信号通常是随时间变化的电流或电压，例如：声信号也可以通过麦克风转化为随时间变化的电流或电压信号。信号可以表示为时间的函数。1.2信号实际中，遇到的许多信号不能表示为时间的确定函数，这样的信号叫随机信号，即，某一时刻其函数值不能确定，只知道在某一范围内取值的概率分布或统计特征。1.2信号如果信号可以表示为确定的时间函数，则称为确定信号，即，某一时刻有一个确定的函数值与之对应。1.2信号严格地说，一般的信号都是随机信号，因为确定信号不携带任何信息，失去了通信的意义。1.2信号严格地说，一般的信号都是随机信号，因为确定信号不携带任何信息，失去了通信的意义。但研究确定信号仍有其重要意义：实际信号与确定信号有相近的特征；1.2信号严格地说，一般的信号都是随机信号，因为确定信号不携带任何信息，失去了通信的意义。但研究确定信号仍有其重要意义：实际信号与确定信号有相近的特征；用确定信号进行系统调试；1.2信号严格地说，一般的信号都是随机信号，因为确定信号不携带任何信息，失去了通信的意义。但研究确定信号仍有其重要意义：实际信号与确定信号有相近的特征；用确定信号进行系统调试；根据确定信号经过系统来分析其特性。1.2信号当然，信号的自变量也可以不是时间。例如：大气压随高度而变化，那么，大气压的自变量就是高度。1.2信号另外，自变量的个数可以不止一个。例如：静态黑白图像信号是在水平方向和垂直方向变化的亮度信号。1.2信号另外，自变量的个数可以不止一个。例如：静态黑白图像信号是在水平方向和垂直方向变化的亮度信号。信号中独立自变量的个数称为信号的维数。1.2信号一、信号的分类根据不同的分类标准，确定信号可分为以下几类：1、根据时间变量的连续性，确定信号分为连续时间信号和离散时间信号，简称为连续信号和离散信号。1.2信号一、信号的分类连续信号的函数值一般为实数（实信号），也可以是复数（复信号），且可以有不连续点存在。1.2信号一、信号的分类连续信号有时也成为模拟信号。1.2信号一、信号的分类离散信号只是在离散的时间点上取值，在其他时间点上函数值没有定义，变量n取整数。1.2信号一、信号的分类离散信号是在离散时间点上依次排列的数列，也常常称其为序列。1.2信号一、信号的分类观察以下几个信号：1.2信号一、信号的分类很大一部分离散信号可以由连续信号经过抽样得到。1.2信号一、信号的分类抽样：每隔一段时间抽取一个函数值而舍去其余的部分。（相关内容将在第五章中着重讨论。）1.2信号一、信号的分类连续信号：信号在之间有定义；1.2信号一、信号的分类连续信号：信号在之间有定义；若t<0，信号为0，则称该信号为有始信号或因果信号；1.2信号一、信号的分类连续信号：信号在之间有定义；若t<0，信号为0，则称该信号为有始信号或因果信号；连续信号中可存在不连续点，连续是指时间变量t是连续的（连续时间信号）。1.2信号一、信号的分类离散信号：信号只在某些不连续的时间点上给定函数值（离散时间信号）；1.2信号一、信号的分类离散信号：信号只在某些不连续的时间点上给定函数值（离散时间信号）；若n<0，信号为0，则称该信号为有始信号或有始序列、因果序列；1.2信号一、信号的分类离散信号：信号只在某些不连续的时间点上给定函数值（离散时间信号）；若n<0，信号为0，则称该信号为有始信号或有始序列、因果序列；离散信号可在均匀时间间隔上给出函数值，也可以在不均匀时间间隔上给出函数值。1.2信号一、信号的分类根据不同的分类标准，确定信号可分为以下几类：2、根据信号的周期性，可将信号分为周期信号和非周期信号。严格数学意义上的周期信号是指无始无终周期重复的函数，而在工程应用中常指较长时间内周期重复的信号。1.2信号一、信号的分类1.2信号一、信号的分类例1.1：设，判断该信号是否为周期信号？若是，请确定其周期。1.2信号一、信号的分类例1.1：设，判断该信号是否为周期信号？若是，请确定其周期。解：当是无理数时，该信号不是周期信号；当近似为3.14时，该信号是周期信号。显然，所选的近似值不同，信号的周期也将随之改变。1.2信号一、信号的分类例1.1：设，判断该信号是否为周期信号？若是，请确定其周期。解：当是无理数时，该信号不是周期信号；当近似为3.14时，该信号是周期信号。显然，所选的近似值不同，信号的周期也将随之改变。将这种近似的周期信号称为概周期信号。1.2信号一、信号的分类例：设，判断该信号是否为周期信号？若是，请确定其周期。1.2信号一、信号的分类根据不同的分类标准，确定信号可分为以下几类：3、根据信号的能量和功率特性，可将信号分为能量信号和功率信号。如果信号的总能量有限，则称该信号为能量信号；如果信号的平均功率有限，则称该信号为功率信号。1.2信号一、信号的分类能量信号与功率信号是互不相容的。能量信号的能量有限而平均功率为零；功率信号的平均功率有限，能量则为无穷大。1.2信号一、信号的分类能量信号与功率信号是互不相容的。能量信号的能量有限而平均功率为零；功率信号的平均功率有限，能量则为无穷大。实际中，周期信号和随机信号都是功率信号；既是确定的，又是非周期的信号往往是能量信号。1.2信号一、信号的分类例1.2：研究下图信号是功率信号还是能量信号？若是功率信号，计算其平均功率；若是能量信号，计算其总能量。1.2信号一、信号的分类解：下图信号是一个单边的周期信号，其能量是无限的。因此，它是一个功率信号，其平均功率为：1.2信号一、信号的分类解：下图信号是一个单边的周期信号，其能量是无限的。因此，它是一个功率信号，其平均功率为：注：对于正弦信号可用有效值的概念来计算其功率，且满足功率叠加原理。1.2信号二、信号的简单处理信号的处理：将信号经过一定的数学运算转变为另一个信号。这样的处理过程可以通过算法实现，也可以通过实体电路实现。1.2信号二、信号的简单处理信号的简单处理：对信号幅度的处理，包括信号的放大、两个信号的叠加、相乘等。对时间变量的变换处理，包括信号在时间轴上的平移、反折、压缩扩展（压扩）等。1.2信号二、信号的简单处理——叠加信号在同一时刻函数值的相加。例如：歌声与背景音乐；雷达目标回波信号受背景噪声的影响等。1.2信号二、信号的简单处理——叠加信号在同一时刻函数值的相加。例如：歌声与背景音乐；雷达目标回波信号受背景噪声的影响等。1.2信号二、信号的简单处理——叠加1.2信号二、信号的简单处理——相乘放大器可以看作是信号与一个常数的相乘。信号的相乘常用于调制解调、混频、频率变换等系统中。1.2信号二、信号的简单处理——相乘例1.3：试画出如下双曲函数与正弦函数相乘后的图形。1.2信号二、信号的简单处理——相乘将这两个函数的乘积记作，称为抽样函数。1.2信号二、信号的简单处理——相乘将这两个函数的乘积记作，称为抽样函数。抽样函数可以看成是幅度按照规律变化的正弦信号，且是一个偶函数。1.2信号二、信号的简单处理——相乘将这两个函数的乘积记作，称为抽样函数。1.2信号二、信号的简单处理——移位信号经过系统处理或信道传输后会产生滞后，称为信号的延迟。一个连续信号经过移位后可表示为，当时，信号向后移，即延迟；1.2信号二、信号的简单处理——移位信号经过系统处理或信道传输后会产生滞后，称为信号的延迟。一个连续信号经过移位后可表示为，当时，信号向后移，即延迟；1.2信号二、信号的简单处理——移位信号经过系统处理或信道传输后会产生滞后，称为信号的延迟。一个连续信号经过移位后可表示为，当时，信号向后移，即延迟；当时，信号向前移。1.2信号二、信号的简单处理——移位信号经过系统处理或信道传输后会产生滞后，称为信号的延迟。一个连续信号经过移位后可表示为，当时，信号向后移，即延迟；当时，信号向前移。类似地，可以写出离散信号的移位表示。1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换尺度变换：信号的时间坐标产生了压缩或扩展。用

表示原始信号，则表示信号的尺度变换，其中，是不等于零的实常数。当时，信号扩展；当时，信号压缩；当时，信号反折。1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换尺度变换：信号的时间坐标产生了压缩或扩展。1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换例1.4：已知原始信号的图形如下所示，试画出的图形。1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换解：已知信号变换的方法可以有很多种，在此采用如下步骤：移位1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换解：在此采用如下步骤：移位反折1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换解：在此采用如下步骤：移位反折尺度变换1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换对于离散信号，其反折与连续信号是类似的，而其他两种变换有所不同。1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换对于离散信号，其反折与连续信号是类似的，而其他两种变换有所不同。1.2信号二、信号的简单处理——尺度变换对于离散信号，其反折与连续信号是类似的，而其他两种变换有所不同。1.2信号二、信号的简单处理——偶分量与奇分量偶函数：奇函数：1.2信号二、信号的简单处理——偶分量与奇分量偶函数：奇函数：共轭偶对称：共轭奇对称：1.2信号二、信号的简单处理——偶分量与奇分量对于一般的没有奇偶关系的信号，可以将其分解为奇分量和偶分量，则有：1.2信号二、信号的简单处理——偶分量与奇分量主要内容系统引言13信号2线性时不变系统的分析41.3系统在电子技术中，系统指各种不同复杂程度的用作信号传输与处理的元件或部件的组合体。从数学角度，系统可以看成是一种将输入信号转变为输出信号的运算过程。1.3系统如果输入输出信号都是连续信号，则称该系统为连续时间系统；如果输入输出信号都是离散信号，则称该系统为离散时间系统；如果输入输出信号中一个是连续信号，一个是离散信号，则称该系统为混合系统。1.3系统通常，系统用一个方框表示：1.3系统通常，系统用一个方框表示：1.3系统通常，系统用一个方框表示：激励（输入）1.3系统通常，系统用一个方框表示：响应（输出）激励（输入）1.3系统通常，系统用一个方框表示：单输入单输出系统响应（输出）激励（输入）1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统一般而言，由线性元件组成的系统是线性系统，由非线性元件组成的系统是非线性系统，但含有非线性元件的系统在某些情况下也可以近似地看成线性系统。1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统对于一个连续系统，设，

是一个复常数。如果系统满足下列两个条件，则该系统称为线性系统。1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统对于一个连续系统，设，

是一个复常数。如果系统满足下列两个条件，则该系统称为线性系统。叠加性1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统对于一个连续系统，设，

是一个复常数。如果系统满足下列两个条件，则该系统称为线性系统。叠加性齐次性1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统因此，同时满足叠加性和齐次性的连续系统称为线性系统：1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统注：一个系统只有同时满足叠加性和齐次性两个条件，才能被称为线性系统。两个条件只要违反一个，该系统就不是线性系统。1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统类似地，同时满足叠加性和齐次性的离散系统称为线性系统：1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统例1.5：设连续系统的输入输出关系如下，试判断该系统是否为线性系统。1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统例1.5：设连续系统的输入输出关系如下，试判断该系统是否为线性系统。解：线性系统。1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统例1.6：设离散系统的输入输出关系如下，试判断该系统是否为线性系统。1.3系统一、系统的分类1）线性系统与非线性系统例1.6：设离散系统的输入输出关系如下，试判断该系统是否为线性系统。解：非线性系统。1.3系统一、系统的分类2）时不变系统与时变系统如果系统所含元件或部件的参数不随时间变化而变化，则这样的系统称为时不变系统；否则，就是时变系统。1.3系统一、系统的分类2）时不变系统与时变系统一个连续时间系统，如果对于任意实数有则称该系统为时不变系统，否则为时变系统。1.3系统一、系统的分类2）时不变系统与时变系统一个离散时间系统，如果对于任意实数有则称该系统为时不变系统，否则为时变系统。1.3系统一、系统的分类2）时不变系统与时变系统时不变系统的含义是，如果系统的激励在时间上做了移位，则响应也在时间上作同样的移位。1.3系统一、系统的分类2）时不变系统与时变系统时不变系统的含义是，如果系统的激励在时间上做了移位，则响应也在时间上作同样的移位。1.3系统一、系统的分类2）时不变系统与时变系统例1.7：设连续系统的输入输出关系如下，试判断该系统是否为时不变系统。1.3系统一、系统的分类2）时不变系统与时变系统例1.7：设连续系统的输入输出关系如下，试判断该系统是否为时不变系统。解：时变系统。1.3系统一、系统的分类2）时不变系统与时变系统注：如果一个系统既是线性的又是时不变的，则称该系统为线性时不变系统。本书后续章节主要研究的就是线性时不变系统。1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统如果一个系统的输出仅与当前的输入有关，而与之前的输入无关，则称该系统为无记忆系统；否则，称为有记忆系统。1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统如果一个系统的输出仅与当前的输入有关，而与之前的输入无关，则称该系统为无记忆系统；否则，称为有记忆系统。电阻1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统如果一个系统的输出仅与当前的输入有关，而与之前的输入无关，则称该系统为无记忆系统；否则，称为有记忆系统。无记忆电阻1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统如果一个系统的输出仅与当前的输入有关，而与之前的输入无关，则称该系统为无记忆系统；否则，称为有记忆系统。无记忆电阻电容1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统如果一个系统的输出仅与当前的输入有关，而与之前的输入无关，则称该系统为无记忆系统；否则，称为有记忆系统。无记忆有记忆电阻电容1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统如果一个系统的输出仅与当前的输入有关，而与之前的输入无关，则称该系统为无记忆系统；否则，称为有记忆系统。无记忆元件有记忆元件（储能元件）电阻电容1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统离散系统中的累加器：1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统离散系统中的累加器：累加器也是一个有记忆的系统，在n时刻之前的所有输入必须用存储单元存储起来。1.3系统一、系统的分类3）有记忆系统与无记忆系统一般地，如果一个系统含有记忆元件或储能元件，则这个系统是有记忆的；否则，这个系统是无记忆的。1.3系统二、系统的因果性和稳定性1）系统的因果性现实世界都是因果的，即，对于某个结果都有它产生的原因。对于一个系统而言也是这样，输出是结果，而输入就是产生该输出的原因。1.3系统二、系统的因果性和稳定性1）系统的因果性因果系统：系统的响应不能出现在激励之前。如果一个系统的响应出现在激励之前，则该系统是非因果系统。1.3系统二、系统的因果性和稳定性1）系统的因果性因果系统：系统的响应不能出现在激励之前。如果一个系统的响应出现在激励之前，则该系统是非因果系统。实际中，这样的系统是不存在的，在物理上也是不可实现的。1.3系统二、系统的因果性和稳定性1）系统的因果性例1.8：设连续系统的输入输出关系如下，试判断该系统的因果性。1.3系统二、系统的因果性和稳定性1）系统的因果性例1.8：设连续系统的输入输出关系如下，试判断该系统的因果性。解：分情况讨论！1.3系统二、系统的因果性和稳定性2）系统的稳定性实际中，总希望系统能稳定工作。稳定性1.3系统二、系统的因果性和稳定性2）系统的稳定性实际中，总希望系统能稳定工作。稳定性：对于有界输入，产生有界输出。也叫作BIBO稳定。1.3系统三、系统的级联、并联及可逆性一个复杂的系统往往是由一些简单的系统组合而成的。系统可以通过级联或并联构成一个新的系统。1.3系统三、系统的级联、并联及可逆性系统首尾相连，一个系统的输出作为另一个系统的输入，称为级联或串联。1.3系统三、系统的级联、并联及可逆性并联系统的输入是相同的，将它们的输出相加作为系统的输出。1.3系统三、系统的级联、并联及可逆性当然，一个系统可以既级联，又并联，从而构成一个更复杂的系统。1.3系统三、系统的级联、并联及可逆性当一个系统具有确定输入输出关系时，还可以找到这个系统的逆系统。当一个系统的输出作为逆系统的输入时，逆系统的输出正好与原来的输入相同。1.3系统三、系统的级联、并联及可逆性离散系统也存在逆系统。主要内容系统引言13信号2线性时不变系统的分析41.4线性时不变系统的分析为了对一个实际的电路系统进行分析，首先，需要建立物理模型，即，系统的电路原理图、方框图或信号流图1.4线性时不变系统的分析为了对一个实际的电路系统进行分析，首先，需要建立物理模型，即，系统的电路原理图、方框图或信号流图（定性分析）1.4线性时不变系统的分析为了对一个实际的电路系统进行分析，首先，需要建立物理模型，即，系统的电路原理图、方框图或信号流图（定性分析）；其次，需要建立数学模型，即，输入和输出方程或方程组1.4线性时不变系统的分析为了对一个实际的电路系统进行分析，首先，需要建立物理模型，即，系统的电路原理图、方框图或信号流图（定性分析）；其次，需要建立数学模型，即，输入和输出方程或方程组（定量分析）；1.4线性时不变系统的分析为了对一个实际的电路系统进行分析，首先，需要建立物理模型，即，系统的电路原理图、方框图或信号流图（定性分析）；其次，需要建立数学模型，即，输入和输出方程或方程组（定量分析）；最后，通过解方程或方程组，进行数学分析。1.4线性时不变系统的分析系统分析的大致步骤：建立物理模型；（电路图、方框图、信号流图等）1.4线性时不变系统的分析系统分析的大致步骤：建立物理模型；（电路图、方框图、信号流图等）建立数学模型；（方程或方程组）1.4线性时不变系统的分析系统分析的大致步骤：建立物理模型；（电路图、方框图、信号流图等）建立数学模型；（方程或方程组）数学分析。（解方程或方程组）1.4线性时不变系统的分析系统分析的主要任务：在给定系统结构和参数的情况下，研究系统的特性以及在某种激励下产生的响应。1.4线性时不变系统的分析系统分析的主要任务：在给定系统结构和参数的情况下，研究系统的特性以及在某种激励下产生的响应。1.4线性时不变系统的分析系统分析的主要任务：在给定系统结构和参数的情况下，研究系统的特性以及在某种激励下产生的响应。一个系统有三个量：输入、输出、系统。本书主要研究在已知输入和系统特性的情况下，求解系统的输出。1.4线性时不变系统的分析对于如下RLC电路，需要找出系统的输入输出关系，即建立数学模型。1.4线性时不变系统的分析根据基尔霍夫定律以及电路的基本知识，列出电路的回路方程：1.4线性时不变系统的分析根据基尔霍夫定律以及电路的基本知识，列出电路的回路方程：从上式可以看出，这是一个二阶线性常系数微分方程，而且是一个线性时不变系统。等式两边微分：1.4线性时不变系统的分析在电路分析中，电路中所包含的独立的储能元件的数目称为电路的阶数。电路的阶数和方程的阶数是一致的。1.4线性时不变系统的分析在电路分析中，电路中所包含的独立的储能元件的数目称为电路的阶数。电路的阶数和方程的阶数是一致的。由此，可以推广到更一般的情况，即，由n个独立储能元件构成的电路可以用一个n阶线性常系数微分方程描述：1.4线性时不变系统的分析在电路分析中，电路中所包含的独立的储能元件的数目称为电路的阶数。电路的阶数和方程的阶数是一致的。由此，可以推广到更一般的情况，即，由n个独立储能元件构成的电路可以用一个n阶线性常系数微分方程描述：1.4线性时不变系统的分析得到这个线性时不变系统的一般数学模型之后，即可对它进行数学分析。上式是连续时间系统的一般数学模型；1.4线性时不变系统的分析得到这个线性时不变系统的一般数学模型之后，即可对它进行数学分析。上式是连续时间系统的一般数学模型；针对离散时间系统的数学模型将在第五章中介绍；1.4线性时不变系统的分析得到这个线性时不变系统的一般数学模型之后，即可对它进行数学分析。上式是连续时间系统的一般数学模型；针对离散时间系统的数学模型将在第五章中介绍；针对多输入多输出的复杂系统，我们不仅关注其输入、输出，而且关心系统内部的工作状态，将在第八章讨论。本章内容回顾信号的基本概念（能够判定）：确定信号、随机信号；连续时间信号、离散时间信号；周期信号、非周期信号；功率信号、能量信号。本章内容回顾信号的基本概念（能够判定）：确定信号、随机信号；连续时间信号、离散时间信号；周期信号、非周期信号；功率信号、能量信号。信号的简单处理（重点掌握）：叠加、相乘、移位、尺度变换；典型例子：抽样函数。本章内容回顾系统的基本概念：线性系统、非线性系统（重点掌握）；时不变系统、时变系统（重点掌握）；有记忆系统、无记忆系统（能判定）。本章内容回顾系统的基本概念：线性系统、非线性系统（重点掌握）；时不变系统、时变系统（重点掌握）；有记忆系统、无记忆系统（能判定）。系统的特性：因果性（重点掌握）；稳定性。本章内容回顾能根据系统电路图建立数学模型，写出对应的方程或方程组。第二章连续时间系统的时域分析南京航空航天大学电子信息工程学院主要内容系统的零状态响应引言13系统的零输入响应2连续时间系统的全响应4指数信号激励下系统的零状态响应5主要内容系统的零状态响应引言13系统的零输入响应2连续时间系统的全响应4指数信号激励下系统的零状态响应52.1引言在上一章最后一节，我们建立了连续时间系统的数学模型2.1引言在上一章最后一节，我们建立了连续时间系统的数学模型——线性常系数微分方程。因此，连续时间系统的分析归结为建立并求解线性常系数微分方程。2.1引言在上一章最后一节，我们建立了连续时间系统的数学模型——线性常系数微分方程。因此，连续时间系统的分析归结为建立并求解线性常系数微分方程。求解微分方程通常有两种方法：一种是直接求解，由于涉及的函数变量都是时间t，所以又称为时域分析法；2.1引言在上一章最后一节，我们建立了连续时间系统的数学模型——线性常系数微分方程。因此，连续时间系统的分析归结为建立并求解线性常系数微分方程。求解微分方程通常有两种方法：一种是直接求解，由于涉及的函数变量都是时间t，所以又称为时域分析法；另一种是变换的方法，将时间变量变换为其他变量来求解，又称为变换域方法。2.1引言在高等数学中，直接求解线性常系数微分方程的方法主要分为三个步骤：2.1引言在高等数学中，直接求解线性常系数微分方程的方法主要分为三个步骤：1、求通解：求解齐次方程，包含待定系数；2.1引言在高等数学中，直接求解线性常系数微分方程的方法主要分为三个步骤：1、求通解：求解齐次方程，包含待定系数；2、求特解：要根据方程右端函数的具体形式确定，也包含待定常数，可代回到原微分方程中确定；2.1引言在高等数学中，直接求解线性常系数微分方程的方法主要分为三个步骤：1、求通解：求解齐次方程，包含待定系数；2、求特解：要根据方程右端函数的具体形式确定，也包含待定常数，可代回到原微分方程中确定；3、将通解和特解相加，根据初始条件确定待定常数。2.1引言这种解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可写出通解的一般形式。2.1引言这种解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可写出通解的一般形式。然而，方程右边函数一般是系统的激励，其形式可能比较复杂，这时特解的形式就难以确定。在此，本章将介绍叠加积分法，其主要步骤为：2.1引言这种解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可写出通解的一般形式。然而，方程右边函数一般是系统的激励，其形式可能比较复杂，这时特解的形式就难以确定。在此，本章将介绍叠加积分法，其主要步骤为：1、求零输入响应：零输入响应是指系统输入为零时的响应，可以通过求解齐次方程得到；2.1引言2、求零状态响应：零状态响应是指不考虑系统的初始状态，由加到系统的激励信号产生的响应。2.1引言2、求零状态响应：零状态响应是指不考虑系统的初始状态，由加到系统的激励信号产生的响应。为了求零状态响应，首先可将信号分解为简单信号的叠加，而系统对这些简单信号的响应是容易求得的；然后，根据线性时不变系统的性质将这些响应叠加起来。因此，该方法称为叠加积分法。主要内容系统的零状态响应引言13系统的零输入响应2连续时间系统的全响应4指数信号激励下系统的零状态响应52.2系统的零输入响应对于一个n阶线性时不变系统，其输入输出关系可以用一个n阶线性微分方程描述：2.2系统的零输入响应对于一个n阶线性时不变系统，其输入输出关系可以用一个n阶线性微分方程描述：对于零输入响应，，则上式变成：2.2系统的零输入响应对于一个n阶线性时不变系统，其输入输出关系可以用一个n阶线性微分方程描述：对于零输入响应，，则上式变成：上式是一个齐次方程，容易求得其解。2.2系统的零输入响应由于指数函数的导数仍然是指数函数，因此，可设方程的解是指数函数，即：将上式代入齐次方程，得：2.2系统的零输入响应由于指数函数的导数仍然是指数函数，因此，可设方程的解是指数函数，即：将上式代入齐次方程，得：由于，则可以得到：2.2系统的零输入响应由于指数函数的导数仍然是指数函数，因此，可设方程的解是指数函数，即：将上式代入齐次方程，得：由于，则可以得到：上式称为特征方程。假定特征方程有n个根，这些根称为特征根，也叫作自然频率。2.2系统的零输入响应根据代数知识可以知道，这些特征根可能是单根，可能是重根，也可能是复根。下面，我们分情况讨论。2.2系统的零输入响应一、特征根为单根特征根是单根的情况最简单。此时，齐次方程的解分别为，并且是一组n个线性无关的解，称为基础解组。2.2系统的零输入响应一、特征根为单根特征根是单根的情况最简单。此时，齐次方程的解分别为，并且是一组n个线性无关的解，称为基础解组。线性无关是指这一组解中的任意两个函数之比不能是常数。此时，零输入响应的一般形式可以表示成它们的线性组合：2.2系统的零输入响应一、特征根为单根如果已知系统的n个初始条件，就可以代入上式中确定各常数的值。当然，初始条件也可以不是t=0时的初始值，可以是其他时刻的值，只是通常取t=0时得初始值作为初始条件。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根假定是一个p阶重根，而其他的n-p个根仍是单根，它们的基础解组可参考上一节。因此，只需确定的p个线性无关解即可。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根假定是一个p阶重根，而其他的n-p个根仍是单根，它们的基础解组可参考上一节。因此，只需确定的p个线性无关解即可。如果，必然有，则齐次方程变为：这时，满足上面方程，并且恰好是p个线性无关的解。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根如果，此时只有一个解，为确定其他的p-1个解，假定具有的形式，为便于书写，简记为。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根如果，此时只有一个解，为确定其他的p-1个解，假定具有的形式，为便于书写，简记为。容易求出它的m阶导数为：将其代入齐次方程，有：2.2系统的零输入响应二、特征根为重根由于，于是有注意到的各阶导数的系数都是常数，将的各阶导数合并得：2.2系统的零输入响应二、特征根为重根这说明满足上式的齐次方程，其特征方程为：将代入方程（2.3）中，得：这时相当于，说明方程与上面的特征方程具有相同的根。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根而上式方程的解有一个p阶重根，因此，特征方程就有一个p阶重根0。这样，可以得到方程中的p个线性无关解。由于，于是得到p个线性无关解为。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根综上所述，可取这p个函数作为基础解组。此时，零输入响应的一般形式为：同样，上式中的常数可由初始条件确定。2.2系统的零输入响应三、特征根为共轭复根如果特征根是共轭复根的情况，假定这两个根为

，则两个线性无关解为：用实函数的形式表示即和。2.2系统的零输入响应三、特征根为共轭复根因此，有一对共轭复根时零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应三、特征根为共轭复根因此，有一对共轭复根时零输入响应的一般形式为：如果存在p阶共轭复根，则其2p个线性无关解的实函数形式为和。此时，零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应小结：单根：

重根：

共轭复根：2.2系统的零输入响应例2.1：下图为RLC串联谐振电路，已知电感、电容、电阻值。初始条件为：分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。2.2系统的零输入响应解：列出电路微分方程：2.2系统的零输入响应解：列出电路微分方程：代入电路参数，可得：2.2系统的零输入响应解：列出电路微分方程：代入电路参数，可得：求出该方程的两个根，则回路电流零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应解：对于第一组初始条件，直接代入得：2.2系统的零输入响应解：对于第一组初始条件，直接代入得：解得：因此，零输入响应为：2.2系统的零输入响应解：对于第一组初始条件，直接代入得：解得：因此，零输入响应为：需在表达式后面加上该限制条件！2.2系统的零输入响应解：对于第二组初始条件，需将电容两端电压转化为回路电流的导数。由于输入为零，根据电路可列出回路方程：则有：2.2系统的零输入响应解：对于第二组初始条件，需将电容两端电压转化为回路电流的导数。由于输入为零，根据电路可列出回路方程：则有：代入回路电流零输入响应的一般形式，有：2.2系统的零输入响应解：此时，则零输入响应为：2.2系统的零输入响应解：此时，则零输入响应为：2.2系统的零输入响应解：此时，则零输入响应为：过阻尼2.2系统的零输入响应下图中，电容两端初始电压为10V，方向左正右负，则电容放电，放电方向与参考电流方向相反，故曲线在横轴下方；由于电路中存在的电阻损耗能量，最终电流变为零。过阻尼2.2系统的零输入响应例2.2：下图为RLC串联谐振电路，只改变电阻值。初始条件仍为，求回路电流的零输入响应。2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有二阶重根。2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有二阶重根。于是，零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有二阶重根。于是，零输入响应的一般形式为：代入初始条件，可得：则：2.2系统的零输入响应解：2.2系统的零输入响应解：临界阻尼临界阻尼和过阻尼的零输入响应电流都不产生振荡。2.2系统的零输入响应例2.3：下图为RLC串联谐振电路，只改变电阻值。初始条件仍为，求回路电流的零输入响应。2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有一对共轭复根。2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有一对共轭复重根。于是，零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有一对共轭复重根。于是，零输入响应的一般形式为：代入初始条件，可得：则有：2.2系统的零输入响应解：振荡衰减2.2系统的零输入响应解：欠阻尼2.2系统的零输入响应1、相当于电容上的初始电压为-1V（方向右正左负），故电容放电方向与参考电流方向相同，曲线在横轴上方。电容放电时将电容中的电能转化为电感中的磁能；2.2系统的零输入响应2、电感中的磁能向电容释放，当电感中的磁能全部转化为电容中的电能时，电感中的电流为零；2.2系统的零输入响应3、电容中的电能反向释放，曲线在横轴下方，电容中的电能转化为电感中的磁能；2.2系统的零输入响应4、电感中的磁能反向释放，方向与2相反，当电感中的磁能全部转化为电容中的电能时，电感中的电流为零；2.2系统的零输入响应5、接下来，从1开始重复这个过程，由于电路中存在电阻，将损耗能量，所以振荡幅度逐步减小，最终衰减为零。主要内容系统的零状态响应引言13系统的零输入响应2连续时间系统的全响应4指数信号激励下系统的零状态响应52.3系统的零状态响应求零状态响应，首先需要将信号分解为简单信号的叠加，然后求出系统对这些简单信号的响应，再根据线性时不变系统的性质将这些响应叠加起来。2.3系统的零状态响应求零状态响应，首先需要将信号分解为简单信号的叠加，然后求出系统对这些简单信号的响应，再根据线性时不变系统的性质将这些响应叠加起来。下面，先介绍几个典型的时域信号。由于这些信号在实际中并不存在，只是数学上对某些信号的一种抽象和理想化，通常称为奇异函数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数记为，定义为：2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数记为，定义为：上式中，单位冲激函数除了t=0，其余点函数值均为0。在t=0处的值没有直接定义，但其面积为1，其面积称为单位冲激函数的冲激强度。2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数冲激函数在图上用括号括起来，表示冲激函数的强度，而不是幅度，其幅度有时可认为是无穷大，在图上用箭头表示。2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数具有以下性质：（1）单位冲激函数是偶函数2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数具有以下性质：（1）单位冲激函数是偶函数（2）尺度变换2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数具有以下性质：（1）单位冲激函数是偶函数（2）尺度变换（3）与任意函数相乘2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数具有以下性质：（4）与任意函数相乘后积分2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数单位阶跃函数记为，定义为：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数单位阶跃函数记为，定义为：单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，当t>0时函数值为1，而t<0时函数值为0。反之，单位冲激函数是单位阶跃函数的导数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数由单位阶跃函数的定义可以看出，任意一个函数乘以阶跃函数后，其乘积在阶跃之前为0，之后函数值保持不变。这个特点可以用来表示理想的开关接通信号源的情况。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对于一些分段函数，用单位阶跃函数表示起来更方便。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对于一些分段函数，用单位阶跃函数表示起来更方便。比如，传统分段函数表示为：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对于一些分段函数，用单位阶跃函数表示起来更方便。比如，传统分段函数表示为：用单位阶跃函数可以更简洁地表示为：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数在高等数学中，该函数在0和2处是不存在导数的，但根据单位冲激函数与单位阶跃函数的关系可知，该函数在这两点上也可存在导数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对求导并化简，可得：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对求导并化简，可得：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数注：函数在连续部分的导数与通常的导数是一样的。只是在函数有跳变的地方也存在导数，并且是冲激函数，而冲激的方向取决于函数跳变的方向，强度是函数跳变的数值。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数注：今后，在零输入响应的确切表达式后面可以直接乘以一个阶跃函数，以代替限制条件或。这并不代表这两个时间点之前的响应为0，而是不知道或不感兴趣。2.3系统的零状态响应一、奇异函数3、门函数门函数用表示，定义为：门函数是一个高度为1、宽度为1且对称的矩形脉冲，其形状像一个门。用可以方便地表示出不同高度和宽度的门函数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数3、门函数2.3系统的零状态响应一、奇异函数3、门函数2.3系统的零状态响应一、奇异函数3、门函数门函数的特别之处在于，当脉冲宽度变小时，其高度变大，但其面积保持不变，恒为1。当脉冲宽度趋近于0时，门函数就变成了单位冲激函数，即：2.3系统的零状态响应一、奇异函数4、单位冲激偶单位冲激偶实际上是单位冲激函数的导数，记为。于是，2.3系统的零状态响应一、奇异函数4、单位冲激偶单位冲激偶是一正一负两个冲激，带括号的1标在中间，它并不表示冲激的强度，而表示它是单位冲激函数的导数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数4、单位冲激偶单位冲激偶的性质：2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解信号在时域中的分解是多种多样的，对于一些简单信号的分解是显而易见的，例如，门函数可以分解为两个阶跃信号的叠加。2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解为求系统的零状态响应，需要对任意一个信号进行分解，通常的做法是将任意信号分解为许多矩形脉冲的叠加。2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解图中，光滑曲线表示任意信号，将它近似地用一定宽度、位置不同、高度随该信号变化的无穷多个矩形脉冲的叠加表示，2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解图中，光滑曲线表示任意信号，将它近似地用一定宽度、位置不同、高度随该信号变化的无穷多个矩形脉冲的叠加表示，其数学表达式可写成：2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解当矩形脉冲的宽度趋近于零时，可得：2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解从而，无穷多个矩形脉冲的叠加变成了叠加积分，即：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从上一节内容可以知道，任意一个信号可以分解为不同位置和不同强度冲激函数的叠加积分。因此，求系统零状态响应的关键是求出系统对单位冲激函数的响应。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从上一节内容可以知道，任意一个信号可以分解为不同位置和不同强度冲激函数的叠加积分。因此，求系统零状态响应的关键是求出系统对单位冲激函数的响应。定义系统对冲激函数的零状态响应为单位冲激响应，即：。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质根据系统的时不变性，有：线性系统满足齐次性，有：线性系统满足叠加性，有：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质根据系统的时不变性，有：线性系统满足齐次性，有：线性系统满足叠加性，有：系统的零状态响应2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质因此，零状态响应的计算公式为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质因此，零状态响应的计算公式为：系统的单位冲激响应激励信号2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质因此，零状态响应的计算公式为：其实，可将其看作纯粹数学意义上的两个函数，这样上式所表达的就是两个函数的一种运算关系，在数学上称为卷积，用符号“*”表示。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质因此，零状态响应的计算公式为：于是，上式可以简单地写成：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质由此，也可写成：注：任意一个函数与单位冲激函数的卷积等于它自己。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质卷积是两个函数的一种运算关系。下面，我们来研究两个函数的卷积运算。考虑下式的卷积：计算可分为三个步骤：1、将两个函数的自变量由换为；2、将反折并移位；3、将两个函数相乘并求积分。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质对于如下两个函数，卷积计算可分为三个步骤：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质1、将两个函数的自变量由换为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质2、将反折并移位：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质3、将两个函数相乘并求积分。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从图中可以看出，移的位置不同，会影响到第三步的积分结果。因此，第三个步骤往往要分多种情况进行讨论。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从图中可以看出，移的位置不同，会影响到第三步的积分结果。因此，第三个步骤往往要分多种情况进行讨论。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从图中可以看出，移的位置不同，会影响到第三步的积分结果。因此，第三个步骤往往要分多种情况进行讨论。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，以一个具体的例子来进一步说明卷积的计算过程。例2.4：计算矩形脉冲与指数函数的卷积。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：根据题意做出两个函数的图形，如下所示：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：首先，将两个函数的自变量进行替换；然后，将指数函数反折并移位，可以得到2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：对于第一种情况，2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：对于第二种情况，2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：对于第三种情况，2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：利用单位阶跃函数，可将最终分段函数结果表示为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：根据上式，做出最终结果的图形为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质对于卷积运算，当函数形式给定时，需要代入具体的函数；当两个函数的相对位置不同时，其积分区间也是不一样的。因此，卷积其实是两个具体化的过程：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质对于卷积运算，当函数形式给定时，需要代入具体的函数；当两个函数的相对位置不同时，其积分区间也是不一样的。因此，卷积其实是两个具体化的过程：1、函数形式的具体化；2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质对于卷积运算，当函数形式给定时，需要代入具体的函数；当两个函数的相对位置不同时，其积分区间也是不一样的。因此，卷积其实是两个具体化的过程：1、函数形式的具体化；2、积分区间的具体化。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质为了在卷积过程中能够清晰地看出函数相对位置的变化，可借助作图来确定各种不同的情况，从而准确确定积分区间，这种方法称作图解法。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质为了在卷积过程中能够清晰地看出函数相对位置的变化，可借助作图来确定各种不同的情况，从而准确确定积分区间，这种方法称作图解法。这种方法是需要重点掌握的。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质为了在卷积过程中能够清晰地看出函数相对位置的变化，可借助作图来确定各种不同的情况，从而准确确定积分区间，这种方法称作图解法。这种方法是需要重点掌握的。但是，图解法的缺点是比较繁琐，需要作多个图。当然，也可以不作图，而直接代入卷积公式计算。（参见书36页）2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。1、交换律、结合律和分配律2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。2、卷积后的微分卷积后的微分等于其中任一函数先微分，然后与另一函数卷积。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。2、卷积后的微分注：任一函数与单位冲激函数的导数，即与单位冲激偶卷积相当于对该函数求导，即2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。3、卷积后的积分卷积后的积分等于其中任一函数先积分，然后与另一函数卷积。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。3、卷积后的积分注：任一函数与单位阶跃函数卷积，相当于对该函数求积分，即2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。4、一个函数微分与一个函数积分的卷积一个函数的微分和另一个函数的积分做卷积，等于原来两个函数的卷积。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。5、函数移位后的卷积两个函数移位后的再做卷积等于原来卷积的移位，但移位量是两函数移位量的总和。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。5、函数移位后的卷积注：任一函数与单位冲激函数的移位积分，相当于对该函数进行移位，即：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质例2.5：利用卷积的性质重新计算例2.4的卷积。解：法一：可利用卷积的交换律通过作图法来计算，类似于例2.4的解法。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质例2.5：利用卷积的性质重新计算例2.4的卷积。解：法二：可先将矩形脉冲微分、指数函数积分，然后再计算卷积，其卷积不变。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质例2.5：利用卷积的性质重新计算例2.4的卷积。解：法二：可先将矩形脉冲微分、指数函数积分，然后再计算卷积，其卷积不变。矩形脉冲的微分为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：指数函数的积分为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：指数函数的积分为：从而有：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质注：当其中一个函数求导后是单位冲激函数时，可将另一个函数求积分，然后计算卷积。这是因为一个函数与单位冲激函数的卷积就等于该函数。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质例2.6：试计算两个宽度不同的门函数的卷积，即：，设。解：现在已有多种方法可用来计算这个卷积。然而，为了便于理解，仍采用图解法来进行求解。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：根据计算结果，可以画出最终卷积后的图形。当两个门函数的宽度不等时，最终结果是一个梯形；当两个门函数的宽度相等时，最终结果是一个三角形（特例）。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：由此，可画出这两种情况的图形：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：特别地，当门函数的宽度为1时，其结果为如下图所示的三角脉冲，将这个脉冲记为。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质结论：1、两个不同宽度的门函数卷积为梯形，相同宽度的门函数卷积为三角形；2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质结论：1、两个不同宽度的门函数卷积为梯形，相同宽度的门函数卷积为三角形；2、梯形的上底是门函数宽度之差，下底为门函数宽度之和；2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质结论：1、两个不同宽度的门函数卷积为梯形，相同宽度的门函数卷积为三角形；2、梯形的上底是门函数宽度之差，下底为门函数宽度之和；3、梯形高为门函数高度之积再乘以较小门函数的宽度。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应由已学知识可以知道，系统的零状态响应是激励与系统单位冲激响应的卷积。为求出系统的零状态响应，需要首先求出系统的单位冲激响应。下面，将介绍单位冲激响应的求法。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应系统对单位冲激函数的零状态响应称为单位冲激响应，通常用表示。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应系统对单位冲激函数的零状态响应称为单位冲激响应，通常用表示。有定义可知，求解单位冲激响应就是要在零状态的条件下，求解如下微分方程：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应为求解上式方程，可先求解如下更简单的方程：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应为求解上式方程，可先求解如下更简单的方程：激励为单位冲激函数时的系统响应2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应激励为方程右边多项式时的系统响应2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应于是，有：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应于是，有：只要求出，就可根据上式求出。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应于是，有：只要求出，就可根据上式求出。根据单位冲激函数定义，可得：这样就变成了求零输入响应的问题。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应单位冲激函数在t=0时加入系统后，便会在时刻留下初始状态。因此，只要确定系统在时刻的初始状态，就可以用求零输入响应的方法求出，进而根据下式求出系统的单位冲激响应：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应对于如下方程，左边的冲激只可能出现在第一项中，否则在第一项中便会出现冲激的各阶导数。也就是说，除第一项的其他各项只能是阶跃或阶跃的积分等。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应对方程两边分别取积分，得到：由于第一项中存在冲激，积分结果在t=0处不连续，因此第一项的积分不为零；而其他各项的积分在t=0处连续，积分结果为零。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应从而，可得：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应考虑到系统的初始状态为零，即：于是，就得到了系统在时刻的初始状态：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应这样就可以根据系统的微分方程写出的一般形式，用上式的初始条件确定待定常数，最后用下式求出系统的单位冲激响应。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应例2.7：求出下列系统的单位冲激响应。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应例2.7：求出下列系统的单位冲激响应。解：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应例2.7：求出下列系统的单位冲激响应。解：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应例2.9：图2.24中的RC串联电路中，求出回路电流和电容两端电压的零状态响应。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应解：首先，列出系统的微分方程：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应解：首先，列出系统的微分方程：特征根为由于，因此，2.3