定积分题目及答案

定积分题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.$\int_{a}^{a}f(x)dx$的值为（）A.$f(a)$B.0C.1D.无法确定2.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$与$\int_{b}^{a}f(x)dx$的关系是（）A.相等B.互为相反数C.没关系D.不确定3.$\int_{0}^{1}xdx$的值是（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.04.定积分的几何意义是（）A.函数值B.曲线与坐标轴围成图形面积的代数和C.常数D.函数平均值5.若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$等于（）A.$F(a)-F(b)$B.$F(b)-F(a)$C.$F^\prime(b)-F^\prime(a)$D.06.$\int_{0}^{2}2dx$的值为（）A.2B.4C.0D.17.定积分$\int_{-1}^{1}x^3dx$的值是（）A.0B.1C.2D.$\frac{1}{2}$8.设$f(x)$为偶函数，且$\int_{-a}^{a}f(x)dx=8$，则$\int_{0}^{a}f(x)dx$等于（）A.8B.4C.0D.169.$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx$的值为（）A.1B.0C.eD.$\frac{1}{e}$10.若$\int_{0}^{k}(2x-3x^2)dx=0$，则$k$的值为（）A.0B.1C.-1D.2二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些函数在给定区间上可积（）A.连续函数B.有界且只有有限个间断点的函数C.无界函数D.单调有界函数2.定积分的性质有（）A.$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$B.$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数）C.$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$（$a<c<b$）D.若$f(x)\leqg(x)$在$[a,b]$上成立，则$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx$3.下列定积分值为0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x^5dx$B.$\int_{-1}^{1}\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}(x+1)dx$D.$\int_{-1}^{1}\cosxdx$4.计算定积分的方法有（）A.牛顿-莱布尼茨公式B.换元积分法C.分部积分法D.定义法5.设$f(x)$在$[a,b]$上可积，下列说法正确的是（）A.$\int_{a}^{b}f(x)dx$是一个常数B.积分区间可分割C.积分值与积分变量的选取无关D.可通过积分和的极限来定义6.若$f(x)$在$[0,2]$上可积，且$\int_{0}^{2}f(x)dx=4$，则（）A.$\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{2}f(x)dx=4$B.$\int_{0}^{2}[f(x)+1]dx=6$C.$\int_{0}^{2}2f(x)dx=8$D.无法确定$\int_{0}^{1}f(x)dx$的值7.以下哪些定积分运算正确（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$B.$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2$C.$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=\ln2-\ln1$D.$\int_{-1}^{1}x^4dx=\frac{2}{5}$8.定积分在实际应用中有（）A.求平面图形面积B.求旋转体体积C.求做功D.求变速直线运动的路程9.已知$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上可积，则（）A.$f(x)g(x)$在$[a,b]$上可积B.$|f(x)|$在$[a,b]$上可积C.$f(x)+g(x)$在$[a,b]$上可积D.$\frac{f(x)}{g(x)}$（$g(x)\neq0$）在$[a,b]$上可积10.下列积分中与$\int_{0}^{1}f(x)dx$相等的有（）A.$\int_{0}^{1}f(t)dt$B.$\int_{1}^{0}f(x)dx$（符号相反）C.$\int_{0}^{1}f(2x)\cdot2dx$（换元后）D.$\int_{0}^{1}f(x+1)dx$（换元后）三、判断题（每题2分，共10题）1.若$f(x)$在$[a,b]$上不可积，则$|f(x)|$在$[a,b]$上也不可积。（）2.定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关。（）3.$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$对任意函数$f(x)$都成立。（）4.若$f(x)$在$[a,b]$上连续且$f(x)\geq0$，$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒为0。（）5.利用换元积分法计算定积分时，积分上下限不需要改变。（）6.对于任意可积函数$f(x)$，都有$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。（）7.定积分$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx$表示单位圆面积的四分之一。（）8.若$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上可积，且$f(x)\geqg(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx>\int_{a}^{b}g(x)dx$。（）9.牛顿-莱布尼茨公式表明定积分的计算可以转化为求原函数在积分区间端点函数值的差。（）10.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述定积分的定义。答：定积分是通过分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤定义的。将区间$[a,b]$分割成$n$个小区间，在每个小区间任取一点，以该点函数值为高、小区间长度为底作矩形，求这些矩形面积和，当分割无限细密时其极限就是定积分。2.说明定积分与不定积分的联系与区别。答：联系：若$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，需借助不定积分求原函数来计算。区别：不定积分是原函数的全体，结果是函数族；定积分是一个确定的数值，与积分区间有关。3.用定积分求平面图形面积的一般步骤是什么？答：第一步，确定平面图形由哪些曲线围成，确定积分区间；第二步，判断曲线上下位置关系，确定被积函数（上方曲线函数减去下方曲线函数）；第三步，计算定积分得到面积。4.定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法有何不同？答：不定积分换元积分法最后要回代原变量；而定积分换元积分法在换元的同时要相应改变积分上下限，换元后直接计算新积分限下的定积分，无需回代原变量。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论定积分在物理学中的应用实例。答：在物理学中，定积分可用于求变速直线运动的路程，通过速度函数对时间积分得到。还可用于求变力做功，将位移区间分割，用近似恒力做功求和取极限得到。也能求物体转动惯量等，把物体分割，对各部分转动惯量元素积分。2.分析定积分计算中容易出现的错误及应对方法。答：常见错误有：换元时积分限未改变；利用牛顿-莱布尼茨公式时原函数求错；对积分性质使用不当。应对方法：换元时牢记积分限相应变化；求原函数仔细检查；熟悉积分性质适用条件，多做练习，计算后检验。3.当被积函数含有绝对值时，如何计算定积分？答：先令绝对值内函数为0，求出零点，以此将积分区间分段。在每段上根据绝对值内函数正负去掉绝对值符号，将原积分化为几个不含绝对值的积分之和，再分别计算这些积分并求和。4.探讨定积分与函数的奇偶性有怎样的关系？答：若$f(x)$为偶函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$；若$f(x)$为奇函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。利用此关系可简化计算具有奇偶性函数在对称区间上的定积分。答案一、单项选择题1.B2