【真题】高二下学期期末教学质量监测考试数学试题（含解析）贵州省安顺市2023-2024学年

贵州省安顺市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测考试数学试题1．已知复数z满足z=2i1−i，其中i为虚数单位，则A．−i B．i C．−1 D．12．函数f(x)=2x−lnx在点A．45° B．60° C．120° D．135°3．下列说法正确的是（）A．某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人B．数据2，3，3，5，7，8，10，12的第80百分位数为8C．线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强D．线性回归模型分析中，模型的决定系数R24．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=fA．−14 B．0 C．15．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（）A．21种 B．27种 C．30种 D．42种6．你正在做一道选择题，假设你会做的概率是23，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为910；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是A．4160 B．1720 C．1112 D．7．(3x−y)n的展开式中各项系数和为32，则展开式中含xA．−90x2y3 B．90x28．已知a=0.02，b=e−0.96，c=ln1.03，则a，A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．a>b>c9．集合A={x|(x−1)(x+2)<0}，B=a,a2.若A∩B≠∅A．−2 B．−2 C．−1 10．已知随机变量X服从正态分布N(0,2)，定义函数f(x)为X取值不超过x的概率，即f(x)=P(X≤x)，则下列说法正确的有（）A．f(0)=12 C．f(x)在(−∞,+∞)上是增函数 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线C:xA．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C上的点到原点的最大距离为1C．四叶草曲线C所围的区域面积大于πD．四叶草曲线C恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）12．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：x1516181922y10298115m120若由表中样本数据求得线性回归方程为y=3.1x+54.2，则实数m=13．函数f(x)=x+5x+214．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线E:x2a2−b2−y2b15．若数列{1an}是等差数列，且满足（1）求数列an（2）求数列anan+116．由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表：性别保护动物意识合计强弱男性3070100女性6040100合计90110200（1）根据以上数据，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？（2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式：χ2=n(ad−bc)附：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817．五面体ABC−A1DC1为直三棱柱ABC−A1B1C1截去一个三棱锥D−A1B1C1（1）若BF⊥CE，求实数λ的值；（2）若P是线段AC的中点，求平面ABC与平面PBF夹角的正弦值.18．如图，在斜坐标系xOy中，e1→，e2→分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且e1→，e2→的夹角为60°，定义向量OP⃗（1）若斜坐标系xOy中a=(2,4)，b=(5,m)，且a⊥（2）若斜坐标系xOy中m=(4,−5)，n=(−2,3)，求向量m，n的夹角19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为y=c2exc+e（1）求sℎx与cℎ（2）证明：sℎx≥x在（3）求f(x)=sℎx

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵z=2i1−i=2i故答案为：D.【分析】利用已知条件和复数的乘除法运算法则，从而得出复数z，再结合复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为f'x=2−1x设f(x)在点(1,2)处的切线倾斜角为θ，则tanθ=1，

由0°≤θ<180°，

则θ=45°故答案为：A.【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式以及直线的倾斜角的取值范围，从而得出函数f(x)=2x−lnx在点3．【答案】C【解析】【解答】解：对于A，按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，

若样本中男生有2人，则样本中女生有3人，该班女生共有50×3对于B，因为数据2，3，3，5，7，8，10，12，共8个，8×80%=6.4，对于C，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强，

故C正确；对于D，在线性回归模型分析中，模型的决定系数R2故答案为：C.【分析】利用已知条件结合分层抽样的定义，百分位数的定义，相关系数定义、决定系数的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项．4．【答案】C【解析】【解答】解：由f(x)=f'(0)⋅x2令x=0，则f'(0)=2f所以f(x)=−x2−x=−所以f(x)的最大值为14故答案为：C【分析】先求导，再代入求出f'(0)的值，从而得出函数的解析式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出函数5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：A7故答案为：D.【分析】根据定序问题求解即可．6．【答案】A【解析】【解答】解：依题意，

由全概率公式，得答对这道选择题的概率为23故答案为：A.【分析】根据已知条件和全概率公式以及对立事件求概率公式，从而列式计算得出这一刻，你答对这道选择题的概率.7．【答案】A【解析】【解答】解：令x=y=1，则

2n=32，解得对(3x−y)5，有T则T4故展开式中含x2y3故答案为：A.【分析】利用赋值法，令x=y=1，可得n的值，再利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而得出展开式中含x28．【答案】B【解析】【解答】解：令f(x)=ln(1+x)−x,0<x<1，

求导得f'(x)=11+x−1<0则f(0.03)<f(0)=0，

则ln1.03−0.03<0，

因此ln令g(x)=ln(1+3x)−2x,0<x<16，则函数g(x)在(0,16)上单调递增，

则g(0.01)>g(0)=0，

则ln1.03−0.02>0，所以b=e故答案为：B.

【分析】利用指数函数的性质可得b>1e，再构造函数f(x)=ln(1+x)−x,0<x<1和9．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于D，依题意，A={x|−2<x<1}，

由B=a,a2，得a2≠a，

对于A，当a=−2时，此时a2=4，对于B，当a=−2时，此时a2=2对于C，当a=−1时，此时a2=1，故答案为：BC.【分析】利用一元二次不等式求出集合A，再利用集合的元素的互异性，从而求出实数a的取值范围，再结合交集的运算法则和空集的定义，从而得出实数a可能的取值.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A：因为X~N(0,2)，

所以f(0)=P(X≤0)=1对于B：因为X~N(0,2)，所以f(1)+f(−1)=P(X≤1)+P(X≤−1)=P(X≤1)+P(X≥1)=1，故B正确；对于C：当x增大时，f(x)=P(X≤x)也增大，所以f(x)在(−∞对于D：因为f(2x)=P(X≤2x)，2f(x)=2P(X≤x)，当x≤0时，2x≤x，所以f2x又因为fx>0，

所以fx<2fx当x>0时，f(x)=P(X≤x)>12，

则又因为f(2x)=P(X≤2x)<1，

所以f(2x)=2f(x)不成立，故D错误.故答案为：ABC.

【分析】由正态分布可得f(0)=P(X≤0)=12，可判断出选项A；结合正态分布的性质计算可得f(1)+f(−1)=1，可判断出选项B；易得f(x)在(−∞,+∞)上是增函数，可判断出选项C；当11．【答案】A,B【解析】【解答】解：对于A：若点x,y在C上，

则−x,−y亦在C上，所以曲线C关于坐标原点对称，故A正确；对于B：若x2>0，y2则x2+y2≤14所以，曲线C上的点到原点的最大距离为12对于C：由选项B知x2+y2≤14所以，圆x2+y则叶草曲线C所围的区域面积不大于π4对于D：由选项B知x2+y2≤14则当x、y为整数时，只有x=0、y=0，此时满足曲线C，所以，四叶草曲线C只经过1个整点0,0，故D错误.故答案为：AB.【分析】由点x,y在曲线C上，点−x,−y亦在曲线C上，则判断出选项A；利用基本不等式求最值的方法结合两点间距离公式，则判断出选项B；由选项B知曲线C在圆x2+y2=12．【答案】115【解析】【解答】解：依题意，

则x=15+16+18+19+225所以，线性回归方程为y=3.1x+54.2，

则87+所以m=115.故答案为：115.【分析】根据已知条件和回归直线必过样本的中心点，从而列式得出实数m的值.13．【答案】4【解析】【解答】解：因为函数f(x)=x+5x+2的定义域为(−∞,0)∪(0,+由f'(x)<0，得−5<x<0或0<x<5；

由f因此函数f(x)在(−5,0),(0,5当x=−5时，f(x)取得极大值f(−当x=5时，f(x)取得极小值f(所以函数f(x)=x+5x+2故答案为：4.【分析】利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再相加得出函数f(x)=x+514．【答案】155；【解析】【解答】解：设椭圆C:x2a2则Fc,0，a2因为OP在OF方向上的投影向量为52OF，点所以点P的横坐标为xP代入椭圆C的方程得yP又因为点P在双曲线E:x所以5c2由①②解得a2=5所以椭圆C的离心率为e=c则双曲线E的渐近线方程为y=±b故答案为：155；y=±【分析】设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，则a2=b2+c215．【答案】（1）解：在等差数列{1an}中，1a1=1,1a所以数列an的通项公式为a​​​​​​​（2）解：由（1）知，an所以T99【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列an（2）由（1）中数列an的通项公式得出数列anan+1的通项公式，再利用裂项相消求和得出数列（1）等差数列{1an}中，1a所以数列an的通项公式为a（2）由（1）知，an所以T9916．【答案】（1）解：零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关，由表中数据计算χ2依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.（2）解：从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为60100=35，

随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

则P(X=0)=X0123P8365427数学期望E(X)=0×8【解析】【分析】（1）将表格中的数据代入公式求出χ2的值，再与临界值对比，从而认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.（2）利用已知条件求出随机变量X的所有可能取值，再结合二项分布求概率公式得出对应的概率，从而列出随机变量X的分布列，再利用数学期望公式得出随机变量X的数学期望．（1）零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关，由表中数据计算χ2依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.（2）从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为60100X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=CP(X=2)=C所以X的分布列为：X0123P8365427数学期望E(X)=0×817．【答案】（1）解：以点C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x,y,z轴，则A2,0,0，B0,2,0，C0,0,0，A12,0,2，D0,2,1，C10,0,2，F(1,1,3因为C1E=λC1所以CE=因为BF⊥CE，

所以BF⋅解得λ=6（2）解：因为P是线段AC的中点，所以P1,1,0所以PB=(−1,2,0)设平面PBF的一个法向量为n2则n2取x=3，则y=32，z=−1，所以显然平面ABC的一个法向量为n1设平面ABC与平面PBF的夹角为θ，则cos所以sinθ=则平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为35【解析】【分析】（1）根据已知条件，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线的坐标表示和向量加法的坐标表示，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出实数λ的值.（2）利用（1）中坐标系结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面PBF的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出平面ABC与平面PBF夹角的正弦值.（1）以点C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为则A2,0,0，B0,2,0，C0,0,0，A12,0,2F(1,1,32)所以C1D=(0,2,−1)因为C1E=λ所以CE=因为BF⊥CE，则BF⋅解得λ=6（2）因为P是线段AC的中点，所以P1,1,0所以PB=(−1,2,0)设平面PBF的一个法向量为n2则n2取x=3，则有y=32，z=−1，即显然平面ABC的一个法向量为n1设平面ABC与平面PBF的夹角为θ，则cosθ=所以sinθ=即平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为3518．【答案】（1）解：依题意，e1⋅e2=|e1||e由a⊥b，得a⋅b=(2整理得10+m+10+4m=0，

所以m=−4.（2）解：由（1）知，e1⋅e2=12，

则m||所以，向量m，n的夹角θ的余弦值为：cos〈【解析】