【真题】高二下学期期末学业水平质量测试数学试卷（含解析）甘肃省2023-2024学年

甘肃省2023-2024学年高二下学期期末学业水平质量测试数学试卷1．已知随机变量X服从正态分布N1,σ2A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.82．若如图中的直线l1,lA．k1<k2<k3 B．3．在所有棱长均为2的平行六面体ABCD−A1B1CA．23 B．25 C．24．二项式x−A．60 B．﹣60 C．15 D．﹣155．等差数列an的公差是2，若a1,a4,a13成等比数列，则A．nn+2 B．nn+1 C．n26．已知圆的方程为x2+y2−6x−2y+1=0，设该圆过点2,2的最长弦和最短弦分别为ACA．32 B．122 C．16 D．7．随机变量X的概率分布列为PX=k3=akk=1,2,3A．5 B．6 C．7 D．358．过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点A．3 B．2 C．2 D．59．下列结论正确的是（）A．由样本数据得到的回归直线y=bB．已知随机变量ξ∼Bn,p，若EξC．基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立．该推断犯错误的概率不超过α；当χ2<D．若散点图中所有点都在直线y=0.92x−4.21上，则样本相关系数r=0.9210．如图，正方体ABCD−AA．直线D1C和BB．四面体BDC1C．点A1到平面BDCD．平面BDA1与平面BD11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为an，其前n项和为SA．aB．SC．aD．a12．丝绸之路是文明之路、经济之路，也是东西之间的友谊之路、合作共赢之路．甘肃，作为丝绸之路沿线的重受省份，已成功举办11届敦煌行·丝绸之路国际旅游节，在旅游节期间，需从4位志愿者中选3位安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中志愿者A不能安排在甲岗位，则不同的安排方法种数为．13．已知直线y=x−2与曲线y=lnx+a相切，则a的值为14．圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点F1发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点F2．如图甲，椭圆C为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线l'表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1−c,0,F（1）椭圆C的离心率为．（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l.F2在l上的射影H在圆x2+y15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=2AD=2,E,F,G分别为边AB，CD,BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥（1）证明：BD⊥EG；（2）求BD与平面ABF所成角的正弦值．16．某学校有A,B两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐．如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.4；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．（1）求王同学第二天去A餐厅用餐的概率；（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，2种中式点心，王同学从这些点心中随机选择3种点心，记选择西式点心的种数为X，求X的分布列和数学期望．17．设函数fx=e（1）求gx（2）当x≥0时，fx≥0恒成立，求18．已知拋物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,Γ上任意一点P到F（1）求拋物线Γ的标准方程；（2）已知过点E的直线l1,l2与Γ分别交于点A,C与点B,D，延长AB,DC交于点Q，线段AC与①证明：点Q在定直线上；②若直线l1⊥l2，直线OM,ON的斜率分别为19．等差数列的特点是每一项与前一项之差相等．如果数列an不是等差数列，但每一项与前一项之差构成等差数列，即an−an−1是等差数列，则an叫作二阶等差数列．与前述类似，若an（1）已知数列an①求数列an②求数列an的前n项和S（2）若数列bn的通项公式为bn=n，数列bn的前n项和记为Tn，若将数列Tn的前n项和记为Tn①求Tn②求Tn参考数据：13

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，正态分布曲线关于x=1对称，因为P(X>0)=0.7，

所以P(X>2)=P(X<0)=1−0.7=0.3．故答案为：B.【分析】利用已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出P(X>2)的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：由图可知：l1的斜率为负值，l2,l3故答案为：D.【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系判断即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：平行六面体ABCD−A1B1C1D1，如图所示：=4+4+4+2×2×2×cos=4+4+4+4+4+4=24，即AC故答案为：C.【分析】以AB,AD,4．【答案】A【解析】【解答】解：因为T当3r2−6=0时，即当r=4时，

则常数项为T5【分析】利用已知条件和二项式定理求出展开式的通项公式，再结合常数项的定义计算出x0的系数，从而得出二项式x5．【答案】A【解析】【解答】解：由已知得a42=a1则a1+3d2=a1⋅所以an=a1+故答案为：A.【分析】利用等比中项的性质求出a1的值，再结合题意得到等差数列an的通项公式，再利用等差数列前n项和公式得出等差数列an6．【答案】D【解析】【解答】解：由x2+y2−6x−2y+1=0，

则圆心坐标是3,1，半径是3，

所以点2,2在圆内，最长弦为圆的直径，由垂径定理，得最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，则最短弦的长为BD=232所以四边形ABCD的面积为12故答案为：D.【分析】利用已知条件和垂径定理，从而分析可知AC⊥BD，再利用勾股定理计算出BD,AC，则根据四边形的面积公式得出四边形7．【答案】A【解析】【解答】解：因为PX=k3=akk=1,2,3，

所以EX所以DX则D9X−1故答案为：A．

【分析】利用已知条件和概率分布列的性质，从而求出a的值，再结合随机变量X的方差公式和方差的性质，从而得出D9X−18．【答案】D【解析】【解答】解：设Mx1,y1,Nx设直线l的方程为x=12y−c由x2a2−y2由根与系数的关系，得y1所以−2y所以−3×14cb2所以−3c2=所以e2=54，故答案为：D.【分析】设Mx1,y1,Nx2,y2，由M9．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A，因为回归直线y=bx+对于B，对于二项分布ξ∼Bn,p,Eξ=np=30，Dξ对于C，由独立性检验的基本思想，故C正确；对于D，因为散点图中所有点都在直线y=0.92x−4.21上，则样本相关系数r=1，故D错误．故答案为：AC.【分析】利用回归直线的性质判断出选项A；利用二项分布的均值和方差建立方程，从而求解参数n的值，则判断出选项B；由独立性检验的基本思想判断出选项C；利用相关系数的性质判断出选项D，从而找出结论正确的选项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示：

则D0,0,0,B2,2,0,C0,2,0，A、D1C=即D1C,BC1=B、易得四面体BDCVBDC、DA设平面BDC1的法向量为n=令x=1，则n=1,−1,1，

则点A1到平面BDD、设平面BDA1的法向量为m=令a=−1，即m=−1,1,1，则即平面BDA1与平面BDC故答案为：BCD.【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，利用空间向量法计算即可判断ACD；利用割补法求出四面体BDC11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由题意可知：a1B、由A知：S7C、a1D、a2024a2023−a故答案为：ACD.【分析】逐项分析数列性质求解即可.12．【答案】18【解析】【解答】解：方法一：运用分步乘法计数原理，先安排甲岗位，再安排乙、丙岗位，则不同的安排方法共有C3方法二：运用分类加法计数原理，若A不入选，有A3若A入选，则有C2所以共有6+12=18（种）不同的安排方法．故答案为：18.【分析】利用两种方法求解.

方法一：利用分步乘法计数原理结合排列数公式、组合数公式，从而得出不同的安排方法种数.

方法二：合理分类，利用分类加法计数原理结合排列数公式、组合数公式，从而得出不同的安排方法种数.13．【答案】−1【解析】【解答】解：由y=lnx+a，得：设切点Px0,y0，

所以在点Px0,整理得：y=因为y=x−2是切线，

则满足1x则x0+a=1，代入得：又因为x0+a=1，

则故答案为：−1.

【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式方程得出函数在某点处的切线方程，再利用题意可得方程组，从而解方程得出实数a的值.14．【答案】22；【解析】【解答】解：（1）设椭圆C的长轴长为2a(a>0)，

则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F经过的路程为2a+2a=4a=42c，

则（2）如图，延长F2H,F在△PF2F0中，PH⊥F则PF2=PF在△F1F则PF1+所以椭圆方程为x2故答案为：22；x【分析】（1）利用椭圆的定义结合已知条件，从而求出椭圆的离心率.（2）根据已知条件和光的反射定理，再结合椭圆定义求出椭圆长半轴长，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出椭圆C的方程.15．【答案】（1）证明：沿EF将梯形ABCD翻折后，

因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD,AE⊥EF，所以AE⊥平面EBCF,

又因为BE⊥EF，以E为原点，EB所在直线为x轴，EF所在直线为y轴，EA所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，则E0,0,0,A0,0,1所以BD=因为BD⋅EG=−1+1=0，

（2）解：由已知易得F0,32设平面ABF的法向量为n=x,y,z，

则n⋅令x=1，解得y=23,z=1设BD与平面ABF所成的角为θ，

则sinθ=cos所以BD与平面ABF所成角的正弦值为6633【解析】【分析】（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出BD⊥EG.（2）利用已知条件得出向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面ABF的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出BD与平面ABF所成角的正弦值.（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD,AE⊥EF，所以AE⊥平面EBCF,又BE⊥EF，以E为原点，EB所在直线为x轴，EF所在直线为y轴，EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则E0,0,0,A0,0,1所以BD=因为BD⋅EG=−1+1=0（2）易得F0,32设平面ABF的法向量为n=x,y,z，则n令x=1，解得y=23,z=1设BD与平面ABF所成的角为θ，则sinθ=cos故BD与平面ABF所成角的正弦值为663316．【答案】（1）解：设A1=“第一天去A餐厅用餐”，B1=“第一天去B餐厅用餐”，

A2=“第二天去A餐厅用餐”，

根据题意得PA1=PB1=0.5,PA（2）解：由题意，得X可以取1，2，3，PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为：X123P131所以EX【解析】【分析】（1）设A1=“第一天去A餐厅用餐”，B1=“第一天去B餐厅用餐”，A2=“第二天去A餐厅用餐”，根据题意求出（2）由题意得出随机变量X可以取的值，再根据题意求出相应的概率，从而可得随机变量X的分布列，再结合数学期望公式得出随机变量X的数学期望．（1）设A1=“第一天去A餐厅用餐”，B1=“第一天去B餐厅用餐”，根据题意得PA1=P由全概率公式，得PA所以王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.6．（2）由题意，得X可以取1，2，3．PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为X123P131所以EX17．【答案】（1）解：因为gx①当a≤0时，则g'②当a>0时，若g'x=x−ln2aln2a,+g-0+g单调递减极小值单调递增综上所述，当a≤0时，gx当a>0时，gx在−∞,ln2a（2）解：由题意得f0由（1）知，

①当a≤0时，f'x单调递增，所以fx在0,+∞上单调递增，fx≥f0②当0<a≤12时，ln2a≤0,f'x所以fx在0,+∞上单调递增，fx≥f0③当a>12时，ln2a>0,f'x在0,ln2a所以∃x0>0，使得f'x0=0，

所以fx在综上所述，a的取值范围为−∞【解析】【分析】（1）利用导数的正负结合对参数范围的讨论，从而得出函数gx（2）分析题意，先讨论a的不同范围，再结合导数判断函数的单调性的方法，从而得出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.（1）gx①当a≤0时，g'②当a>0时，若g'x=x−ln2aln2a,+g-0+g单调递减单调递增综上，当a≤0时，gx当a>0时，gx在−∞,ln2a（2）由题意得f0由（1）知，①当a≤0时，f'x单调递增，所以fx在0,+∞上单调递增，fx②当0<a≤12时，ln2a≤0,f'x所以fx在0,+∞上单调递增，fx③当a>12时，ln2a>0,f'x所以∃x0>0，使得f'x在x0,+∞综上所述a的取值范围为−∞18．【答案】（1）解：因为抛物线Γ的准线方程为x=−p2，设点P到准线的距离为由抛物线的定义，

得PF+PE=d+当且仅当P,E,F三点共线时，等号成立，

所以抛物线Γ的标准方程为y2（2）①证明：设Ax直线l1的方程为x=my+2，直线l2的方程为x=ny+2，联立x=my+2,y2=4x,

消去x所以y1+y所以直线AB的方程为：y−则y=4y2+y1x−联立y=4y2+y1x+y1则4y2+y1所以x=−8y2−8y1+8y3+8y4因为l1⊥l2，

所以设直线l1的方程为x=my+2，

由①知，y1+y3=4m,所以xM所以k当且仅当m2=1m2时，即当m=±1所以k1k2【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，把P到F的距离与到点E的距离之和的最小值转化为P到准线的距离为d和到点E的距离之和的最小值，再根据平面几何的知识，从而