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文档简介

2.2基本不等式

第一课时

第二章一元二次函数、方程和不等式

事实上，利用完全平方公式，也可以得到此结论。如果a>0，b>0，我们用

分别代替上式中的a，b，可得到:

∀a,b∈R，有a2+b2

≥2ab

（当且仅当a=b时，等号成立）重要不等式→基本不等式

通常称上述不等式为基本不等式．其中，

叫做正数a，b的算术平均数，

叫做正数a，b的几何平均数．通常把上式写作：（当且仅当a=b时，等号成立）几何平均值算术平均值（当且仅当a=b时，等号成立）

基本不等式（均值不等式）:问题：能否用其他方法推到证明基本不等式呢？证明：

（当且仅当a=b时，等号成立）思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？证明：要证

当且仅当a=b时，不等式中的等号成立．只要证

只要证

只要证

显然成立.

所以原不等式成立．该证明方法称为分析法证明：

（当且仅当a=b时，等号成立）思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？当且仅当a=b时等号成立.综合法几何平均值算术平均值（当且仅当a=b时，等号成立）

基本不等式（均值不等式）:

探究

名称重要不等式基本不等式不等式适用范围文字叙述两数的平方和不小于他们积的两倍两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数“=”成立的条件

重要不等式与基本不等式的异同：a,b∈Ra>0,b>0a=b基本不等式基本不等式的变形重要不等式重要不等式的变形一正二定三相等例2已知x

，y都是正数，求证：

（1）若xy

等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；（积定值和最小）例2已知x

，y都是正数，求证：

（1）若xy

等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；（和定值积最大）变式已知x，y都是正数，且x≠y，求证：利用基本不等式求最值时，需满足:（1）a，b必须是正数.（正）（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；

当ab为定值时，便可求a+b的最小值.

（定）（3）当且仅当a=b时，等式成立.

（取等）（和定值积最大）（积定值和最小）利用基本不等式求最值题型一.配凑积为定值题型一.配凑积为定值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值题型二.配凑和为定值利用基本不等式求最值1.遇到求和的最小值，通常配凑积为定值，单变量的情形常配凑变量倒数关系，双变量的情形配凑已知乘积关系式；2.遇到求积的最大值，通常配凑和为定值，单变量的情形常配凑变量的系数为相反数，双变量的情形配凑两变量的系数比例与已知关系式相同．题型一.二：配凑定值利用基本不等式求最值题型三：两正数和与它们倒数和之间关系利用基本不等式求最值题型三：两正实数和与它们倒数和之间关系利用基本不等式求最值题型一.配凑定值题型二：两正数和与它们倒数和之间关系已知x

，y都是正数，

(1)若xy

等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；

（积定值和最小）(2)若x+

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