2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数.若收入10元记作+10元，则支出10元记作(

)A.+10元 B.−10元 C.0元 D.+20元2.社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则.下列标志是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.下列计算正确的是(

)A.(3x)2=9x2 B.5x⋅4.将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是(

)A.50°

B.60°

C.70°

D.80°5.为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状.如图中飞机的俯视图是(

)A.B.

C.D.6.如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2无解，那么实数A.m=1 B.m=−1

C.m=1或m=−1 D.m≠1且m≠−17.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是(

)A.12 B.13 C.238.神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有(

)A.3种 B.4种 C.5种 D.6种9.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形(即阴影部分)的面积为y，点E运动的路程为x(x>0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是(

)A.B.

C.D.10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点(−1,0)，(x1,0)，且2<x1<3.下列结论：

①abc>0；②2a+c<0；③4a−b+2c<0；④若m和n是关于x的一元二次方程a(x+1)(x−x1)+c=0(a≠0)的两根，且m<n，则m<−1，n>2；A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。11.中国年水资源总量约为27500亿m3，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位.将27500用科学记数法表示为______．12.若代数式xx−3+(x−2025)013.已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______度．14.如图，在▱ABCD中，BC=2AB=8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为______．15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−x−1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为(0,3)，连接AC，BC，若AC=BC，则实数k16.等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE=5，tan∠AED=34，则△BEC17.利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1=90°，∠AOA1=30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，过点A，A1，A2作弧AA2，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题10分)

(1)计算：9−|1−2|+2sin45°−(13)19.(本小题5分)

解方程：x2−7x=−12．20.(本小题8分)

国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动.某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查(每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项)，将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)填空：m=______；

(2)请补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为______度；

(4)若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？21.(本小题10分)

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙O的半径．22.(本小题10分)

2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合.为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆.校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟(与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区.机器人甲、乙距B区的距离y(米)与机器人乙行进的时间x(分)之间的函数关系如图所示.请结合图象信息解答下列问题：

(1)A，C两区相距______米，a=______；

(2)求线段EF所在直线的函数解析式；

(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？(直接写出答案即可)

23.(本小题12分)

综合与实践

在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．

(1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是______；∠AD′C与∠ADB的数量关系是______；

(2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形；

(3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，在其内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使CGCE′=43，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF=2，则BF=______；

(4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD=32，AB=24.(本小题14分)

综合与探究

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于点A(−1,0)，C(6,0)，与y轴交于点B，连接BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC=24时，求点P的坐标；

(3)点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG=45°，则点G的坐标为______；

(4)如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动(当点N到达点D时，点M，N都停止运动)，连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF答案解析1.【答案】B

【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出10元记作−10元．

故选：B．

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2.【答案】D

【解析】解：A、B、C中的标志不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意

D、此标志是中心对称图形，故D符合题意．

故选：D．

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．

本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．3.【答案】A

【解析】解：A.(3x)2=9x2，此计算正确，符合题意；

B.5x⋅2x=10x2，此计算错误，不符合题意；

C.x6÷x2=4.【答案】C

【解析】解：如图所示，

由题意，∠5=90°−30°=60°，

∵直尺的对边平行，

∴∠3=∠1=50°，∠2=∠4，

∴∠4=180°−∠3−∠5=70°，

∴∠2=∠4=70°，

故选：C．

利用平行线的性质可得到∠3的度数，再根据平角的定义得出∠4的度数，利用平行线的性质即可得到∠2的度数．

本题主要考查了平行线的性质，关键是运用两直线平行，同位角相等．5.【答案】A

【解析】解：如图中飞机的俯视图为选项A的图形．

故选：A．

根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解．

本题考查了三视图，掌握从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图是解题的关键．6.【答案】C

【解析】解：方程去分母，得：mx−x=2(1−x)，

整理，得：(m+1)x=2，

原方程无解，

∴①整式方程无解，则：m+1=0，解得：m=−1，

②分式方程有增根，则：x−1=0，解得：x=1，

把x=1代入(m+1)x=2，得：m+1=2，解得：m=1，

综上：m=1或m=−1，

故选：C．

分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．

本题考查分式方程的解，注意正确计算．7.【答案】D

【解析】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，

∴2只雏鸟都是雄鸟的概率是14，

故选：D．

画树状图，共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，再由概率公式求解即可．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】B

【解析】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，

由题意得：45x+60y=900，

整理得：x=20−43y，

∵x、y均为正整数，

∴x=16y=3或x=12y=6或x=8y=9或x=4y=12，

∴租车方案有4种，

故选：B．

设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和9.【答案】A

【解析】解：当点E在AB上时，如图，

∵∠A=60°，l⊥AD，

∴∠AEF=30°，

∴AF=12AE=12x，EF=AE2−AF2=32x，

∴y=12AF⋅EF=12⋅12x⋅32x=38x2，

∴此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；

当点E在BC上且l与AD相交时，作BH⊥AD，如图，

∵∠A=60°，BH⊥AD，

∴∠ABH=30°，

∴AH=12AB=2，BH=AB2−AH2=23，

∴y=S△ABH+S矩形BEFH=12×2×23+23(x−4)=23x−63，

10.【答案】B

【解析】解：∵抛物线开口向上，

∴a>0．

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴当x=0，则y=c<0．

又∵抛物线与x轴交于(−1,0)，(x1,0)，且2<x1<3，

∴1<−1+x1<2．

∴12<−1+x12<1．

∴对称轴是直线x=−1+x12=−b2a>0．

∴b>0．

∴abc>0，故①错误．

由图象可得，当x=2时，y=4a+2b+c<0，

又∵当x=−1时，y=a−b+c=0，

∴b=a+c．

∴4a+2b+c=4a+2a+2c+c=6a+3c<0．

∴2a+c<0，故②正确．

∵12<−1+x12<1，且对称轴是直线x=−1+x12=−b2a>0，

∴12<−b2a<1．

∵a>0，

∴a<−b<2a．

∴2a+b>0．

∴2a+a+c>0，即3a+c>0．

∴4a−b+2c=4a−a−c+2c=3a+c>0，故③错误．

由题意，∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点(−1,0)，(x1,0)，

∴y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−x1).

∵当x=0时，y=c，

∴y=−c与y=c关于x轴对称．

如图所示，

∴y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−x1)=−c时，即a(x+1)(x−x1)+c=0，结合图象可得11.【答案】2.75×10【解析】解：27500=2.75×104．

故答案为：2.75×104．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中12.【答案】x>3且x≠2025

【解析】解：∵代数式xx−3+(x−2025)0有意义，

∴x−3>0且x−2025≠0，

∴x>3且x≠2025．

故答案为：x>3且x≠2025．

由代数式有意义的条件可得：x−3>013.【答案】160

【解析】【分析】

本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：

(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm.根据弧长公式即可计算．

【解答】

解：根据弧长的公式l=nπr180得到：

80π=nπ⋅90180，

解得n=160度．14.【答案】43【解析】解：设MN交AC于点O，

由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，

∴点O为AC的中点，∠CON=90°．

∵点N为BC的中点，

∴ON为△ABC的中位线，

∴ON/​/AB，

∴∠CAB=∠CON=90°．

∵BC=2AB=8，

∴AB=4，

∴AC=BC2−AB2=82−42=43．

故答案为：43．

设MN交AC于点O，由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，可得点O为15.【答案】−6

【解析】解：当y=0时，0=−x−1，解得x=−1，

∴点B的坐标为(−1,0)，

∵点C坐标为(0,3)，

∴BC=OB2+OC2=12+32=10，

设点A坐标为(m,−m−1)，

∴AC2=(m−0)2+(−m−1−3)2=2m2+8m+16，

∵AC=BC，

∴AC2=BC2，

∴2m2+8m+16=10，

解得m1=−3，m2=−1(不合题意，舍去)，

∴m=−3，

16.【答案】125或132【解析】解：如图，

∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，

∴DE⊥AB，AD=BD，AE=BE=5，

∴∠ADE=90°，

∵tan∠AED=ADDE=34，

设AD=3x，DE=4x，

∴AE=5x=5，

∴x=1，

∴AD=BD=3，DE=4，

∴AB=AC=6，

∴CE=1，

∴S△ABES△CBE=12×6×4S△CBE=51，

∴S△CBE=125；

如图，

∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，

∴DE⊥AB，AD=BD，AE=BE=5，

∴∠ADE=90°，

∵tan∠AED=ADDE=34，

设AD=3x，DE=4x，

∴AE=5x=5，

∴x=1，

∴AD=BD=3，DE=4，

∴AB=AC=6，

∴CE=11，

∴S△ABES△CBE=12×6×417.【答案】(−2【解析】解：根据题意可知：OA=2，

OA1=OAcos30∘=232=2×23，

OA2=OA1cos30∘=2×23×23=2×(23)2，

OA3=OA2cos30∘=2×(23)2×23=2×(23)3，

…，

OAn=2×(23)n，

∵点A，A1，A2作弧AA2为第1条弧，

点A2，A3，A4作弧A2A4为第2条弧，

…，

∴A4048A5050组成第2025条弧，

∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048，

∴OA18.【答案】−5；

2x(x+2)(x−2)．

【解析】(1)9−|1−2|+2sin45°−(13)−2

=3−(2−1)+2×22−9

=3−19.【答案】x1=4，x【解析】解：整理得：x2−7x+12=0，

因式分解得：(x−4)(x−3)=0，

所以x−4=0或x−3=0，

解得x1=4，x220.【答案】24；

见解答；

86.4；

960人．

【解析】(1)样本容量为：18÷36%=50，

故m=1250×100=24，

故答案为：24；

(2)篮球人数为：50−12−18−4=16，

补全条形统计图如下：

(3)扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为：360°×24%=86.4°，

故答案为：86.4；

(4)3000×1650×100%=960(人)．

答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有960人．

(1)用排球的人数除以36%可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出m的值；

(2)用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数，再补全条形统计图即可；

(3)用360°乘足球对应的百分比即可得到答案；21.【答案】见解析；

⊙O半径为32【解析】(1)证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠A+∠ABC=90°．

∵OB=OC，

∴∠ABC=∠OCB，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD+∠OCB=90°，

即∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵OC为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：∵点B是AD的中点，

∴BD=AB=2OC．

∵OB=OC，

∴OD=OB+BD=3OC，

∴OCOD=13，

∵BE⊥AD，

∴∠DBE=90°，

又∵∠OCD=90°，

∴sinD=BEDE=OCOD=13．

∴DE=3BE=9，

在Rt△DBE中，

BD=DE2−BE2=92−32=62，

∴OC=32，

即⊙O22.【答案】240，7.5；

y=15x−135(9≤x≤15)；

7分或11分或13分．

【解析】(1)由图象可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距150+90=240(米)，

机器人甲到达B区时所用时间为150÷20=7.5(分)，

∴a=7.5．

故答案为：240，7.5．

(2)机器人乙到达B区时所用时间为90÷10=9(分)，

∴E(9,0)，

机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷(15−9)=15(米/分)，

则y=15(x−9)=15x−135，

∴线段EF所在直线的函数解析式为y=15x−135(9≤x≤15)．

(3)当0≤x≤7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得20x+10x+30=240，

解得x=7，

当9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15x−135=30，

解得x=11，

当12<x≤15时，机器人甲的速度为90÷(15−12)=30(米/分)，则y=30(x−12)=30x−360，当机器人甲、乙相距30米时，得15x−135−(30x−360)=30，

解得x=13，

∴机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．

(1)由图象直接可得A，B两区的距离和B，C两区的距离，从而求出A，C两区的距离，再由时间=路程÷速度求出机器人甲到达B区时所用时间，即a的值即可；

(2)由时间=路程÷速度求出机器人乙到达B区时所用时间，从而得到点E的坐标，根据速度=路程÷时间求出EF段的速度，再由路程=速度×时间求出线段EF所在直线的函数解析式即可；

(3)分别讨论机器人甲在B区左侧时、机器人乙到达B区并开始返回时至机器人甲在B区停留结束时、机器人甲从B区出发至到达C区三个时间段内机器人甲、乙相距30米时对应x的值即可．

本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．23.【答案】相等(或CD′=BD)；相等(或∠AD′C=∠ADB)

见解析；

3215−85【解析】(1)解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，

∴∠DAD′=90°，AD=AD′，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAC−∠DAC=∠DAD′=∠DAC，即∠DAB=∠D′AC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△D′AC(SAS)，

∴CD′=BD，∠AD′C=∠ADB；

故答案为：相等(或CD′=BD)；相等(或∠AD′C=∠ADB)；

(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB=90°，BC=DC．

∵CE绕点C逆时针旋转90°得到CE′，

∴∠ECE′=90°，CE=CE′．

∵∠DCB=∠ECE′=90°，

∴∠DCB−∠BCE=∠ECE′−∠BCE

即∠DCE=∠BCE′．

∴△BCE′≌△DCE(SAS)．

∴∠BE′C=∠DEC=90°．

∵∠CED+∠CEF=180°，

∴∠CEF=90°，

∴∠BE′C=∠ECE′=∠CEF=90°．

∴四边形CEFE′是矩形．

又∵CE=CE′，

∴四边形CEFE′是正方形；

(3)解：∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，

∴∠ECE′=90°，CE=CE′，

∵CGCE′=43，

∴CGCE=43，

∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，

∴CD=AB=3，

∴BCCD=43，

∴CGCE=BCCD=43，

∵∠DCB=∠ECE′=90°，

∴∠DCB−∠BCE=∠ECE′−∠BCE，即∠DCE=∠BCE′，

∴△BCG∽△DCE，

∴∠BGC=∠DEC=90°，

∵∠CED+∠CEF=180°，

∴∠CEF=90°，

∴∠BGC=∠ECG=∠CEF=90°，

∴四边形CEFG是矩形，

如图，连接AC，BD交于点O，连接OF，

∵O是AC，BD的中点，

在Rt△OBF中，OF=12BD，

∴OF=12AC=OA=OC=OD=OB，

∴A，F，B，C，D共圆，

∴∠AFC=90°，

∵AD=BC，

∴AD=BC，

∴∠GFC=∠ACD，

在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=5，

∴cos∠ACD=ADAC=35，

∵AF=2，

在Rt△AFC中，FC=AC2−AF2=21，

∴FG=FCcos∠CFG=3215，

∵BC=BC，

∴∠BFC=∠BAC，

又∵∠AFC=∠G=90°，

∴∠ACB=∠FCG，

∴∠ACB−∠FBC=∠FCG−∠FBC，即∠ACF=∠BCG，

∴sin∠ACF=AFAC=sin∠BCG=BGBC，

∴25=BG4，

∴BG=85，

∴BF=3215−85；

故答案为：3215−85；

(4)解：如图，连接AC，BD交于点O，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，AO=OB，

∵AD=32，AB=6，

∴AC=BD=AB2+AD2=26，

∴AO=OB=AB=6，

∴△AOB是等边三角形，则∠OAB=60°，