高三9 1数学试卷

高三91数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.在下列各数中，有理数是：

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

2.若$a>b$，则下列不等式中正确的是：

A.$a^2>b^2$

B.$a^3>b^3$

C.$a^4>b^4$

D.$a^5>b^5$

3.函数$y=2x+1$在自变量$x$取何值时，函数值为0？

A.$x=-\frac{1}{2}$

B.$x=0$

C.$x=\frac{1}{2}$

D.$x=1$

4.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$为：

A.$a_n=a_1+(n-1)d$

B.$a_n=a_1-(n-1)d$

C.$a_n=a_1+nd$

D.$a_n=a_1-nd$

5.在下列函数中，是奇函数的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=x^3$

C.$f(x)=|x|$

D.$f(x)=x^4$

6.若$a$，$b$，$c$成等比数列，且$a+b+c=3$，则$abc$的值为：

A.1

B.3

C.9

D.27

7.下列各数中，无理数是：

A.$\sqrt{4}$

B.$\sqrt{2}$

C.$\sqrt{9}$

D.$\sqrt{16}$

8.若$a$，$b$，$c$成等差数列，且$a^2+b^2+c^2=36$，则$ab+bc+ca$的值为：

A.0

B.6

C.12

D.18

9.在下列各数中，是偶数的是：

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{3}{4}$

C.$\frac{5}{6}$

D.$\frac{7}{8}$

10.函数$y=\frac{1}{x}$在自变量$x$取何值时，函数值为0？

A.$x=0$

B.$x=1$

C.$x=-1$

D.$x=\pm1$

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列各数中，属于实数集的有：

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$-5$

E.$i$（虚数单位）

2.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处有极值，则下列条件中正确的是：

A.$a\neq0$

B.$b^2-4ac=0$

C.$b^2-4ac>0$

D.$b^2-4ac<0$

E.$b=0$

3.在下列各函数中，哪些是周期函数？

A.$f(x)=\sinx$

B.$f(x)=\cosx$

C.$f(x)=\tanx$

D.$f(x)=e^x$

E.$f(x)=\lnx$

4.下列各数列中，哪些是等比数列？

A.$1,2,4,8,16,\ldots$

B.$1,3,5,7,9,\ldots$

C.$2,4,8,16,32,\ldots$

D.$3,6,12,24,48,\ldots$

E.$1,4,9,16,25,\ldots$

5.下列各函数中，哪些是奇函数？

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=|x|$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

E.$f(x)=e^x$

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若$a$，$b$，$c$成等差数列，且$a+b+c=12$，$ab+bc+ca=30$，则$a^2+b^2+c^2=$_______。

2.函数$y=2x^2-4x+3$的顶点坐标为_______。

3.若等比数列$\{a_n\}$的前三项分别为$a$，$b$，$c$，且$b=4$，$c=16$，则公比$q=$_______。

4.函数$y=\frac{1}{x}$的反函数为_______。

5.若$a$，$b$，$c$成等差数列，且$a^2+b^2+c^2=36$，$ab+bc+ca=6$，则$abc=$_______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解下列方程：$3x^2-5x-2=0$。

2.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4$，求$f'(x)$。

3.计算定积分$\int_0^2(x^2+2x)\,dx$。

4.某班级有50名学生，成绩分布如下表所示，求该班级成绩的方差。

|成绩区间|学生人数|

|----------|----------|

|0-60|10|

|60-70|15|

|70-80|10|

|80-90|10|

|90-100|5|

5.已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_1=2$，$d=3$，求前10项的和$S_{10}$。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案及知识点详解

1.C。有理数是可以表示为两个整数比的数，而$\frac{1}{2}$可以表示为$1$和$2$的比。

2.B。因为$a>b$，所以$a^3>b^3$，根据幂的乘法法则，当指数为奇数时，正数的立方大于较小的正数的立方。

3.A。当$x=-\frac{1}{2}$时，$2x+1=0$。

4.A。等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。

5.B。奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，而$x^3$满足这一性质。

6.B。等比数列中，任意三项$a$，$b$，$c$满足$b^2=ac$，代入$a+b+c=3$得$b^2=9-b^2$，解得$b^2=4.5$，故$abc=b^3=4.5$。

7.B。无理数是不能表示为两个整数比的数，$\sqrt{2}$不能表示为分数，故为无理数。

8.A。等差数列的平方和公式为$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$，代入已知条件得$a^2+b^2+c^2=36-2\times6=0$。

9.D。偶数是能被2整除的整数，$\frac{7}{8}$不是整数，但能被2整除，故为偶数。

10.D。当$x=\pm1$时，$x^2=1$，函数$y=\frac{1}{x}$的分母不为0，故函数值为0。

二、多项选择题答案及知识点详解

1.A,B,C,D。这些数都是实数，$\sqrt{2}$和$\pi$是无理数，$\frac{1}{3}$和$-5$是有理数。

2.A,B,C。函数有极值时，其一阶导数为0，且判别式$b^2-4ac$非负。

3.A,B。正弦和余弦函数是周期函数，正切函数不是周期函数。

4.A,C,D。等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$，其中$q$是公比。

5.A,C。奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，$x^3$和$|x|$是奇函数。

三、填空题答案及知识点详解

1.90。使用等差数列的性质，$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$，代入已知条件得$90$。

2.$(1,-1)$。顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

3.4。等比数列的公比$q=\frac{c}{b}=\frac{16}{4}=4$。

4.$y=x$。反函数的定义是交换函数的自变量和因变量。

5.8。使用等差数列的性质，$abc=\frac{(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)}{3}$，代入已知条件得$8$。

四、计算题答案及知识点详解

1.解方程$3x^2-5x-2=0$：

使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得$x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{6}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{6}=\frac{5\pm7}{6}$，解得$x=2$或$x=-\frac{1}{3}$。

2.求导数$f'(x)=6x^2-6x$。

3.计算定积分$\int_0^2(x^2+2x)\,dx$：

$\int_0^2x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\bigg|_0^2=\frac{8}{3}$，$\int_0^22x\,dx=x^2\bigg|_0^2=4$，所以$\int_0^2(x^2+2x)\,dx=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}$。

4.计算成绩方差：

首先计算平均成绩$\bar{x}=\frac{10\times30+15\times40+10\times50+10\times60+5\times70}{50}=50$，然后计算方差$s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}$，其中$x_i$是每个成绩区间中值，得$s^2=\frac{(-20)^2\times10+(-10)^2\times15+0^2\times10+10^2\times10+20^2\times5}{50}=36$。

5.求等差数列前10项和$S_{10}$：

使用等差数列求和公式$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，得$S_{10}=\frac{10}{2}[2\times2+(10-1)\times3]=5\times32=160$。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的多个知识点，包括：

-实