二四年广东高考数学试卷

二四年广东高考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得极值，则$a$的取值范围是：

A.$a\neq0$

B.$a=0$

C.$a\neq1$

D.$a\neq-1$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的表达式为：

A.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

B.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{3}$

C.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{4}$

D.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{5}$

3.已知圆$x^2+y^2=4$的圆心坐标为$(0,0)$，则圆上一点$(2,0)$的切线方程为：

A.$x=2$

B.$y=0$

C.$x+y=2$

D.$x-y=2$

4.若$a,b,c$是等差数列，且$a+b+c=6$，则$ab+bc+ca$的最大值为：

A.9

B.12

C.15

D.18

5.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(2)+f'(2)+f''(2)$的值为：

A.$\frac{1}{2}$

B.$-\frac{1}{2}$

C.$\frac{1}{4}$

D.$-\frac{1}{4}$

6.已知$a,b,c$是等比数列，且$a+b+c=3$，$ab+bc+ca=6$，则$abc$的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

7.若$x^2+y^2=1$，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$的取值范围是：

A.$[-2,2]$

B.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$

C.$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$

D.$[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$

8.已知$a,b,c$是等差数列，且$a+b+c=6$，$ab+bc+ca=18$，则$abc$的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=1$处取得极值，则$a,b,c,d$的取值关系为：

A.$a\neq0,b\neq0,c\neq0,d\neq0$

B.$a\neq0,b=0,c\neq0,d\neq0$

C.$a\neq0,b\neq0,c=0,d\neq0$

D.$a\neq0,b\neq0,c\neq0,d=0$

10.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)$的零点个数为：

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，哪些是偶函数？

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\sinx$

E.$f(x)=\cosx$

2.下列数列中，哪些是等差数列？

A.$\{2,5,8,11,14,\dots\}$

B.$\{1,3,6,10,15,\dots\}$

C.$\{2,4,8,16,32,\dots\}$

D.$\{1,2,4,8,16,\dots\}$

E.$\{1,3,6,10,15,\dots\}$

3.下列命题中，哪些是正确的？

A.如果$a>b$且$c>d$，那么$ac>bd$。

B.如果$a>b$且$c<d$，那么$ac<bd$。

C.如果$a>b$且$c>d$，那么$a+c>b+d$。

D.如果$a>b$且$c<d$，那么$a+c>b+d$。

E.如果$a<b$且$c>d$，那么$a-c<b-d$。

4.下列图形中，哪些是圆？

A.圆的直径为$5$，半径为$2.5$的图形。

B.圆的周长为$10\pi$，半径为$1$的图形。

C.圆的面积为$\pi$，半径为$1$的图形。

D.圆的直径为$6$，半径为$3$的图形。

E.圆的周长为$20\pi$，半径为$2$的图形。

5.下列函数中，哪些是单调递增的？

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=2x$

C.$f(x)=e^x$

D.$f(x)=\lnx$

E.$f(x)=\sqrt{x}$

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的通项公式为$\boxed{a_n=a_1+(n-1)d}$。

2.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的导数$f'(x)$为$\boxed{3x^2-6x+4}$。

3.圆$(x-2)^2+(y+1)^2=9$的圆心坐标是$\boxed{(2,-1)}$。

4.若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$r$，则前$n$项和$S_n$的公式为$\boxed{S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}}$（当$r\neq1$）。

5.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$[1,2]$上连续，则$f(x)$在该区间上的积分$\int_1^2f(x)\,dx$的值为$\boxed{\ln2-\ln1}$，即$\boxed{\ln2}$。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数$f(x)=3x^2-2x+1$，求函数的极值及对应的$x$值。

2.求解不等式$x^2-4x+3\geq0$。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=5n^2+2n$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。

4.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项$a_1=2$，$a_2=4$，$a_3=8$，求该数列的通项公式。

5.已知圆$x^2+y^2=1$，求圆上与点$(0,2)$距离最短的点$(x,y)$的坐标。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案及知识点详解：

1.B（$a=0$时，函数退化为常数函数，没有极值。）

2.A（等差数列的前$n$项和公式。）

3.A（圆上一点的切线与半径垂直。）

4.A（利用等差数列的性质，求出$ab+bc+ca$的最大值。）

5.C（利用导数的定义和基本初等函数的导数公式。）

6.B（利用等比数列的性质，求出$abc$的值。）

7.B（利用三角函数的性质和圆的方程。）

8.B（利用等差数列的性质，求出$abc$的值。）

9.C（利用导数的定义和函数的极值条件。）

10.B（利用导数的定义和函数的极值条件。）

二、多项选择题答案及知识点详解：

1.A,B,E（偶函数的定义是$f(-x)=f(x)$。）

2.A,B（等差数列的定义是相邻两项之差相等。）

3.C,D（等差数列的性质。）

4.A,B,C（圆的定义是平面上所有到定点距离相等的点的集合。）

5.B,C,E（单调递增函数的定义是对于任意的$x_1<x_2$，都有$f(x_1)\leqf(x_2)$。）

三、填空题答案及知识点详解：

1.$a_n=a_1+(n-1)d$（等差数列的通项公式。）

2.$3x^2-6x+4$（利用导数的定义求导。）

3.$(2,-1)$（圆的标准方程为$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$。）

4.$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$（等比数列的前$n$项和公式。）

5.$\ln2$（利用积分的定义和基本初等函数的积分公式。）

四、计算题答案及知识点详解：

1.解：求导得$f'(x)=6x-2$，令$f'(x)=0$得$x=\frac{1}{3}$，此时$f''(x)=6>0$，故$x=\frac{1}{3}$是极小值点，极小值为$f(\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$。

2.解：因式分解得$(x-1)(x-3)\geq0$，解得$x\leq1$或$x\geq3$。

3.解：由$S_n=5n^2+2n$，得$a_1=S_1=7$，$a_2=S_2-S_1=18$，$a_3=S_3-S_2=31$，因此$d=a_2-a_1=11$。

4.解：由$a_2=a_1r$，$a_3=a_2r$，得$r=2$，因此$a_n=2^n$。

5.解：设圆上与点$(0,2)$距离最短的点为$(x,y)$，则$x^2+y^2=1$，且$y=2-\sqrt{1-x^2}$。求导得$y'=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$，令$y'=0$得$x=0$，此时$y=2$，故最短距离的点是$(0,2)$。

知识点总结：

本试卷涵盖了数学教育中的基础知识和基本技能，包括：

-基本初等函数的导数和积分

-等差数列和等比数列的性质和公式

-圆的方程和性质

-不等式的解法

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