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2024—2025学年江苏省南京师范大学附属中学高三下学期期初考试数学试卷

一、单选题(★)1.设，则（）

A．iB．C．1D．(★)2.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．(★★)3.平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（）

A．B．C．D．(★★)4.已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则等于（）

A．4B．5C．7D．8(★★)5.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（）

A．B．C．D．(★★★)6.如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（）

A．B．C．D．(★★★)7.若直线与曲线相切，则的取值范围为（）

A．B．C．D．(★★★★)8.已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.已知函数，则（）

A．是偶函数B．的最小正周期是C．的值域为D．在上单调递增(★★★)10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点，反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）

A．B．延长交直线于点，则三点共线C．D．若平分，则(★★★★)11.已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（）

A．当时，B．当时，C．当时，D．一定能被3整除三、填空题(★★★)12.等差数列的前项和为，若，，则______．(★★★)13.已知正的边长为，平面内的动点满足，则的最大值是______.(★★★)14.将0，1两个数随机填入的小方格中，每个小方格中恰填一个数，则使每行、每列所填数之和都为偶数的概率为______．四、解答题(★★★)15.记的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)设的中点为，若，求的面积．(★★★)16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)已知．①求直线与平面所成角的正弦值；②求点到平面的距离．(★★★)17.设数列的前项和满足：．(1)求数列的通项；(2)设数列的前项和为，若，求实数的取值范围．(★★★★)18.已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点．(1)若双曲线的渐近线为时，求离心率；(2)若，，为等腰三角形时，且点在轴上方，求点的坐标；(3)若，连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．(★★★★)19.设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减．(1)若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值

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