2024-2025学年湖南省长沙市雨花区某中学九年级（下）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年湖南省长沙市雨花区华益中学九年级（下）开学数学试

卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（)

2.下列四个运算中，正确的一项是（）

A.a2+b2-a2b2B.(-2a26)3=-6(Z663

C.2a>(—3/+1)=2a;—6x3D.(a—b)2—a2—b2

3.C7za/G尸7是人工智能研究实验室Ope”//新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术

底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（）

A.1.75x103B.1.75x1012C.1750x108D.1.75x1011

4.菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项，每四年颁发一次，相当于数学界的诺贝尔奖，数据37,33,29,

32,35,32是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是（）

A.29岁B.32岁C.33岁D.35岁

5.如图，在中，对角线NC,8。相交于点。，点£,尸分别是CD八E°

的中点，连接OF,若0E=2,OF=3，则的周长为（）

A」。

B.14

C.16

D.20

6.如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤坨到秤纽的水平距离yc冽与所挂物重x像之

间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：

x/kg123.・・

y/cm813.519

第1页，共21页

若不挂重物时，秤吃到秤纽的水平距离是（）

7.如图，在RtZVLBC中，CD是斜边N3上的高，/4#45°,则下列比值中不等

于cos的是（）

CD

AA-XC

BD

B.

~CB

CD

~CB

CB

D.

~AB

x—2>0

8.不等式组的解集在数轴上表示为（）

2“一620

1.

A..—।___1

01123

9.如图，点。为△48。的外心，点/为△ABC的内心，若ZBOC=140°，则/B/0的度数为（）

A.110°B.125°C.130°D.140°

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10.2024年甘肃省普通高考实行“3+1+2”模式，“3”是指语文、数学、外语三门必考科目，“1”是

指在物理、历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治、地理、化学、生物学4门课程中再任选

2门课程学习.这样，新高考方案中最多能出现（）种考试科目组.

A.6B.16C.12D.32

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.若代数式，立-2025在实数范围内有意义,则x的取值范围为.

12.扇形的半径为3,弧长为2花，则扇形的面积为（结果保留7T）.

13.设3,立2是方程22+m=0的两个实数根.若为=3,则工2=.

14.如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2,若烛焰履望

挡板

的图是4。冽，则实的图是______.

15.如图，点/、£）分别在函数4=H、y=9的图象上，点3、C在x轴上.若四边形/BCD为正方形，点

XX

。在第一象限，则点。的坐标是_____.

B0cT

16.如图，在RtAABC中，以点/为圆心,适当长为半径作弧，交43于点F,交NC于B

大于tEF长为半径作弧，两弧在NBA。的内部交于点G,/

点、E,分别以点E,歹为圆心,

2

BC=8,则CD的长为______.尸乂条卡

作射线/G交2C于点。.若4。=6，.

r1c

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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17.（本小题6分）

计算：|—2sin60°+（）T+（2023-7r）°.

18.（本小题6分）

先化简，再求值：丁丁，+（1一二）,其中&=四—1.

出一2。+1d—1

19.（本小题6分）

如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点”测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点

8的俯角为45°，点/与楼3c的水平距离4。=20m，求这栋楼的高度口。（结果保留根号）.

C

B

20.（本小题8分）

为了解中考体育科目训练情况，某教育局从九年级学生中随机抽取了。名进行了中考体育科目测试（测试结

果分四个等级：/级：优秀；5级：良好；C级：及格；。级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不

完整的统计图.

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(2)求在。名学生中，测试结果为C级的学生人数，并补全条形统计图；

(3)九年级共有9200名学生，他们全部参加了这次体育科目测试，请估计不及格的人数.

21.(本小题8分)

如图，在口/BCD中，对角线/C,BD交于点、O,点、E,尸在对角线3。上，且BE=DF.

(1)求证：AE=CF；

(2)连接CE,AF,若时，求证：四边形NECB为菱形.

22.(本小题9分)

某商店销售/、8两种商品，其中N种商品每件的进价为50元，售价为70元；3种商品每件的售价为90

元,利润率为50%.

(1)填空：/种商品每件的利润为元，8种商品每件的进价为元；

(2)若该商店同时购进/、8两种商品共100件，总进价为5400元.

4)商店购进48两种商品各多少件？

切商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中4种商品打9折，3种商品打加折，若销售完/、B

两种商品，N种商品的总利润比8种商品的总利润多300元，求加的值.

23.(本小题9分)

如图，N8为⑷。的直径，点C在直径上(点C与48两点不重合)，点。在。。上且满足4。=40,

连接DC并延长到E点、,使BE=BD.

(1)求证：8E是0O的切线；

(2)若BE=20。=6,求cos/CD4的值.

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24.(本小题10分)

如图，在(DO中，N2为直径，M为上一动点，MA=1,MB=x{x>Q),过M的弦C0J_4B,N为

助上一点，AHLCN,垂足为“，连接NC,BN.

(1)若立=3，求/。48的大小；

⑵连接4N.

①求证：AACHSAABN；

②记y=曾口，求y关于x的函数关系式；

si.nAJA”NH

(3)记△4CH,dABN,分别为Si，S2,S3,若存在一个大小确定的圆0O,对于点N的任意

位置，都有S3+3S2—4&的值是一个定值，求此时28NC的大小.

备用图

25.(本小题10分)

我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的函数为“巳巳函数”.

(1)判断函数“=+b(卜,6为常数)是否为“巳巳函数”，并说明理由.

(2)若关于x的函数沙=［是“巳巳函数”，求。的取值范围.

2a;+a（土20）

(3)已知“巳巳函数"y=x^+bx+C经过点40,—4)，且与经过原点。的直线交于3,。两点,过点F(0,f)(

其中/<0)作x轴的平行线，分别交直线4c于点D,E,是，否存在常数了,使。后，0。恒成立？若

存在，请求出了的值；若不存在，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：/、直三棱柱的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形均不同，/错误；

8、圆锥的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形均不同，8错误；

C、圆柱的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形均不同，C错误；

■D、球的三视图完全相同，都是圆，D正确；

故选：D.

找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可.

本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体.

2.【答案】C

【解析】解：4、原式不能合并，不符合题意；

B、原式=-8a6b3,不符合题意；

C、原式=2/-6/,符合题意；

D、原式=(?一2而+俨，不符合题意.

故选：C.

各式计算得到结果，即可作出判断.

此题考查了完全平方公式，合并同类项，幕的乘方与积的乘方，以及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则

及公式是解本题的关键.

3.【答案】D

【解析】解:175000000000=1.75x1011.

故选：D.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。

时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值》10时，〃是正数；当原数

的绝对值＜1时，〃是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax1(T的形式，其中〃为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.【答案】B

【解析】解：•••32出现了2次，出现的次数最多，

,这组数据的众数是32.

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故选：B.

根据众数的定义求解即可.

此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数.

5.【答案】D

【解析】解：•.•四边形/BCD是平行四边形，

：,OA=OC，OB=0D，ABIICD,AD//BC,

•:E、尸分别是48、/D的中点，

.•.4B=20E=4,BC=2OF=6,

:尸ABCD的周长=2(48+BC)=20.

故选：D.

根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可解决问题.

本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：设n=ke+b,

把(1,8),(2,13.5)代入得:｛二13.5，

解得］仁工

：.y=5.5a;+2.5,

令立=0得4=2.5,

二.不挂重物时，秤花到秤纽的水平距离是2.5cm,

故选：B.

根据表格数据，用待定系数法求出y与x的函数关系式，再令立=0求出y的值即可.

本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数的解析式.

7.【答案】C

【解析】解：A.-.-CD1AB,

：,ACDB=AADC=90°，

：.AB+ABCD=9Q°,

■：ZACB=90%

：,AACD+ABCD=9Q°，

：,ZB=ZACD,

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在Rt/XADC中，COS/4C_D=F，

CD

・/3R3方

故4不符合题意;

ZD

2.在RtZXOBC中,cosZB=—,故8不符合题意;

CJD

CD

C在Rt/XOBC中,cos/LBCD=——,

CB

-1-ZA^45°,

ZB^45°,

:2B至NBCD,

f,CD

故C符合题意;

D在RtZ\4BC中,cos/B=半,故。不符合题意;

AB

故选：C.

根据已知可得=AACD,然后利用锐角三角函数的定义判断即可.

本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的余弦是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解:

解不等式立一2〉0得：x>2,

解不等式22-6>0得：c?3,

在数轴上表示如图：

故选：B.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定

不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

9.【答案】B

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【解析】【分析】

本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形的内心的概念和性质是解

题的关键.

【解答】

解：•.•点。为△ABC的外心，

,-.ZA=”0。=70°.

ZABC+ZACB=180°-70°=110°.

•.•点/为△/口。的内心，

「.3/平分/ABC,C/平分乙4cB.

ZIBC+ZICB=j(ZABC+ZACB)=55°.

ABIC=180°-55°=125°.

故选A

10.【答案】C

【解析】解：Ix2x6=12(种).

答：新高考方案中最多出现12种考试科目组.

故选：C.

“3”是指语文、数学、外语三门学科为必考科目，所以有1种选择；“1”是指考生在物理和历史两门学

科里面必须选一科，所以有2种选择；“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选

择两科，所以有6种选择；然后根据乘法原理解答即可.

本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成〃个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有62

种不同的方法，，做第"步有机"种不同的方法，那么完成这件事共有N=X022X加3乂xmra

种不同的方法.

11.【答案】x2025

【解析】解：•.•代数式，立-2025在实数范围内有意义，

二a:-202520,

解得:422025,

故答案为：722025.

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根据二次根式中的被开方数为非负数，进行求解即可.

本题考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数为非负数是解题的关键.

12.【答案】37r

【解析】解：•.•扇形的半径为3,弧长为27T,

此扇形的面积S=|X3X2TF=3TT,

故答案为：37r.

根据扇形的面积公式和弧长公式得出扇形的面积等于弧长和半径积的一半，再代入求出答案即可.

本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键.

13.【答案】-1

【解析】解：—2c+m=0,

=b=—2,c—Tn.

'：Xi，/2是方程62一+m=0的两个实数根，化］=3,

/.3+62=——2,

a

32=-1,

故答案为：—1.

根据根与系数的关系求解即可.

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若3,立2为方程a/+酎+c=O（a刈）的两个根，则的，工2与

hC

系数的关系式：71+/2=--，X1'X2=--

aQ

14.【答案】8cm

【解析】解：如图所示：AB.CD相交于点O,

屏幕

,:4。是烛焰的高，D2是实像的高，

:.AC//DB,

：.^AOC^/\BOD,

•.•烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2,AC=4cm,

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AC_1

"BD=2"

/.BD=8cm

故答案为：8cm.

根据证明ZAOCsABOD,利用相似三角形的性质求解即可.

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.

15.【答案】(2,3)

【解析】【分析】

根据题意设出。的纵坐标为"，即可得出4(—3,⑻，。(士八)，根据正方形的性质得出。+。="，求

nnnn

得n=3,即可求得。的坐标为(2,3).

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质,表示出/、。的坐标是解题的关键.

【解答】

解：设点/的纵坐标为"，则点。的纵坐标为小

•.•点。分别在函数u=4、沙=9的图像上，

XX

：.A(--,n),D(-,n),

nn

•.•四边形/BCD为正方形，

63

：.-+-=n,

nn

解得几=土3(负数舍去)，n=3,

・・.0⑵3),

故答案为(2,3).

16.【答案】3

【解析】解：过点。作。8L45于点8，

B

由作图过程可知，射线40为的平分线，

•.-ZC=90°，

:.CD=DH,

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AHAC=6.

在RtZ\ABC中，由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=10,

BH=AB-AH=4.

设CD=DH=t，则RD=BC—。。=8—C,

在中，由勾股定理得，BD2=DH2+BH'2,

即(8—re)2=x2+42>

解得c=3，

.•.C。的长为3.

故答案为：3.

过点。作。于点〃，由作图过程可知，射线40为的平分线，可得CD=DH，则

4ff=4。=6.由勾股定理得，4吕=^。。2+田。2=10,则3H=48—4H=4.设。O=OH=a;,

则=3。—。。=8—%在RtABDX中，由勾股定理得，BD2=DH2+BH2,代入求出x的值,

即可得出答案.

本题考查作图-基本作图、角平分线的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题.

17.【答案】解：原式=石一2xg+4+l

=通-血+4+1

=4+1

=5.

【解析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幕，零指数幕进行计算即可求解.

本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幕，零指数募是解

题的关键.

、一(Q+1)(Q—1)/Q—1a、

18.【答案】解：原式=1/八》；-7

(a-1)a-1a-Y

=(a+1).-1

(a—1)-a—1

_(a+1)a-1

~(a-1)-1

——Q—1,

当Q=y/3—1时，原式=——1)—1=—\/3.

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【解析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把。的值代入计算得到答案.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

19.【答案】解：从热气球上的点4测得该楼顶部点。的仰角为60°，测得底部点3的俯角为45°，点/与楼

2C的水平距离4D=20m，

：,ABAD=^°,ACAD=60°,AD=20m.

在RtAABD中，BD=AD-tan45°=20x1=20(m),

在RtA^lCZ)中，CD=AD-tan60°=20xv"3=20通(恒)，

BC=BD+CD=(20+20通，

答：这栋楼的高度8C为(20+20v^)m.

【解析】根据题意得NB4D=45°，ACAD=60%AD=20m＞然后利用三角函数求解即可.

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，注意准确构造直角三角形是解答此题的关键.

20.【答案】40

【解析】解：(l)a=124-30%=40.

故答案为：40；

(2)。级的人数为40x35%=14(名),

-4人数

-2

-

0

8

6

4

2

0

A级

2=1840（名）.

39200x

答：估计不及格的人数是1840名.

(1)根据2级的人数除以8级所占的百分比，可得答案；

(2)根据抽测人数乘以C级所占的比例，可得答案；

(3)利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以。级所占的比例，可得答案.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解

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决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大

小.

21.【答案】证明：（1）二•四边形/BCD是菱形，

：.AB//CD,AB=CD，ACLBD，

：.AABE=ACDF,

在△4BE和/中，

[AB^CD

<AABE=ACDF,

[BE=DF

.•.△ABE沿△CDF（SAS）,

:.AE=CF；

（2）由（1）可知=NAEB=NCFD，

：,AAEF=ACFE,

:.AE//CF,

二,四边形/EC尸为平行四边形，

■：ACLBD,

二.四边形/EC尸为菱形.

【解析】（1）由“MS”可证△ABE之△COF,可得4E=CF；

（2）根据平行四边形到现在和菱形的判定定理即可得到结论.

本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各判定定理是解

题的关键.

22.【答案】2060

【解析】解：（1）根据题意得：/种商品每件的利润为70—50=20（元）;

8种商品每件的进价为E=60（元）

故答案为：20,60；

（2）i）设商店购进x件/种商品，则购进（100—劝件2种商品,

根据题意得：50x+60（100-x）=5400,

解得：立=60，

二100—z=100-60=40（件）.

答：商店购进60件/种商品，40件3种商品;

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近)根据题意得:(70x0.9-50)x60-(90x--60)x40=300,

解得：m=8.

答：m的值为8.

(1)利用A种商品每件的利润=4种商品每件的售价-4种商品每件的进价，可求出A种商品每件的利润；

利用3种商品每件的进价=B种商品每猥勺售价,即可求出3种商品每件的进价；

⑵1)设商店购进x件/种商品，则购进(100-0件2种商品，利用进货总价=进货单价x进货数量，可列

出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值(即购进/种商品的数量)，再将其代入(100-乃中，即可求

出购进2种商品的数量；

而)利用总利润=4种商品每件的利润x购进数量商品每件的利润x购进数量,可列出关于m的一元一

次方程，解之即可得出结论.

本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

23.【答案】(1)证明：；48为00的直径，

.•408=90°，

-：AC=AD，

：.AACD=ACDA,

:NBCE=NACD，

：,ABCE=ACDA,

,:BE=BD,

：.NE=/BDC，

:./BCE+NE=/LCDA+ABDC=AADB=90°,

/OBE=180°-(NBCE+NE)=90°,

•:08是0O的半径，且BE1OB,

」.BE是0。的切线.

⑵解：设BC=m，

:BE=2OC=6,

BE=BD-6,OC=3>

：04=OB=3+m

AB=20B=2(3+Hi)=6+2m,AC—AD=3+3+m=6+机,

第16页，共21页

\'AD2+BD2=AB2,

：.(6+m)2+62=(6+2m)2,

解得机1=2,7n2=-6(不符合题意，舍去),

,/Z.CBE=90°，BE=6,BC=2>

:,CE=/BE?+BC2=x/62+22=2沟，

•."BCE=NCDA,

n/in

cosACDA-cosABCE=——=--==——，

CE2VW10

.,.cosNCOA的值为变.

10

【解析】(1)由为©。的直径，得N2OB=90°，由4。=4。，得NBCE="CD=NCDA,由

BE=BD,得NE=NBDC,推导出NBCE+NE==90°,则/OBE=90°，即可证明BE是

。。的切线;

(2)设8。=机，由8£=2。。=6,得BE=BD=6,OC=3,则。4=OB=3+m,所以

AB=6+2m,AC=AD=Q+mf由A。？+=&g2,得⑥+皿/+52=e+2m)2,求得符合题

意的"2值为2,则CE=，BE2+BC2=2怖，所以cos/CZZ4=cos/BCE=塔=寸@.

此题重点考查直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知

识，推导出/3。七+/七=90°,进而证明BE是。。的切线是解题的关键.

24.【答案】(1)解：=3，

CM=yjAM-BM=V3>

：.tanACAB==通，

AM

：,ZCAB=60°;

(2)①证明：•.•AB为0。直径,

.•.乙4MB=90°，

•/AN=AN'

：,AACN=AABN,

•:AHLCN，

△ACHS/SABN；

②解：连接8C,如图:

第17页，共21页

c

-l•xd=^4C;

ZABC=ZANC,

由射影定理可知，CM=，AM•BM=4,

BC=7CM，+BM2=y/x^+x，

sin乙ANH=sin/ABC=空=®

BC

y=Me+1；

(3)解：:。。为确定圆，

c为定值，

S3=：X1Xy/x=、多为定值,

又；S3+3s2-4sl的值是一个定值，

/.3s2—48的值是一个定值，

由(2)①知，4ACHs丛ABN；

・假=蔡=混”他,

3s2-4sl=(3-4cos2/C4B)S2为定值，

•;N为任意一点,

/.$2为变量,

.•.3-4COS2ZCAB=0,

/0

cosZCAB=

.,.NC4B=60。，

•:a=京'

：.ABNC=Z.CAB=60°.

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【解析】(1)根据射影定理求出CN的长，进而求出NCAB的正切，从而求出/CAB；

(2)①根据圆周角定理得出AACH=NABN,然后根据相似三角形的判定定理证明即可；

②连接8C,根据射影定理求出CM,在根据勾股定理求出8C,从而求出/CB4的正弦，再根据圆周角定

理得出乙=从而得出y与x的函数关系；

(3)根据0O为确定的圆，得出x为定值，从而推出S3为定值，根据三角形相似得出&与S2的比，根据

S3+3s2—4sl的值是一个定值求出ACAB，再根据圆周角定理求出NBNC即可.

本题主要考查了圆的综合题，综合运用相似三角形、勾股定理、圆周角定理等知识是本题解题的关键.

25.【答案】解：(1)当k=0时，函数沙=kx+b(k,b为常数)是“巳巳函数”，当拈#0时，u=+p不

是“巳巳函数”；理由如下：

当k=0时，有y=b,

此时存在关于y轴对称的点，

：.y=kx+P^“巳巳函数”，

当时，不存在关于y轴对称的点，

若存在，设其中一点(®),A;®)+b),则对称点(一3,—k®)+b),

kxo+b=—kxo+b,

fc=0>与矛盾，

.•.不存在，

...当k#o时，沙=%工+p不是"巳巳函数"；

⑵设4(力m),t>0,

二点/,5关于y