2025北京高二（上）期末数学汇编：空间向量与立体几何章节综合（填空题）

2025北京高二（上）期末数学汇编

空间向量与立体几何章节综合（填空题）

一、填空题

1.（2025北京密云高二上期末）如图，在长方体ABCO-agGR中，AB=2,AD=DDt=l,则异面直

线AC与r»A所成角的余弦值为.

2.（2025北尔海淀IWJ二上期末）已知向量。=（4,,",0）,b=（1,2,12）,且a_L万，则实数机=,|3—Z>|

3.（2025北京五中高二上期末）如图，正方体A2。-4瓦£口的棱长为4,点M是棱48的中点，点尸是

平面ABCZ）内的动点，且尸到平面ADR4的距离等于线段PM的长度，则点尸的轨迹为,线段与尸

4.（2025北京101中高二上期末）已知向量。=（4,“0）,匕=（1,2,12）且alb,则实数S=,

卜一可=.

5.（2025北京石景山高二上期末）在空间直角坐标系中，已知点A（LL2）,B（-3,l,-2）,则线段48的中点

坐标是.

6.（2025北京丰台高二上期末）已知平面a的一个法向量为a=（x,3,2）,平面£的一个法向量为

b=（-l,y,l）,若a〃/,贝！|x+y=.

7.（2025北京丰台高二上期末）在棱长为2的正四面体AB8中，M,N分别是的中点，则

\MN\=.

8.（2025北京怀柔高二上期末）边长为1的正方体ABCD-A4G2中，£,F,G分别为44，CQ,

4。的中点，H为正方体内的一个动点（包含边界），且满足初=1,则下列选项中所有正确结论的序号

是.

①线段BH与G尸无交点;

②平面防G截正方体所得到的截面图形面积为主叵；

③直线与平面E/G所成角为g；

④在平面EFG上存在点H,使得BH，平面EFG.

9.（2025北京房山高二上期末）在空间直角坐标系中，已知点人（0,。,2）、B（2,0,l）,C（0,2,l）,若点

P（x,y,O）在平面ABC内，则一个符合题意的点P的坐标为—.

jr

10.（2025北京北师大附中高二上期末）在直三棱柱ABC-A4cl中，NAC2=不,AC=BC=CG,点。是

AC的中点，则由）与AA所成角的余弦值为.

11.（2025北京东城高二上期末）己知a,b,c,d均为空间向量，其中£=（1,0,0）,6=（0,1,0）,c=（0,0,1）,

若从a,b,c,d这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量d的坐标可以

为.

12.（2025北京朝阳高二上期末）在长方体中，A3=4。=2,抽=4,P为棱上的动点

（不与A,4重合），在直线C。上的点。满足，CP.给出下列四个结论：

②NPDQ为定值；

③存在点P,使得平面DBQ，平面DBP；

④存在点P,使得点Q到平面DBP的距离为2.

其中所有正确结论的序号是.

13.（2025北京朝阳高二上期末）己知空间向量a=（1,3,-2）力=（2,0,2）,则,+可=.

参考答案

1.--------

10

【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线AC与所成的角的余弦值.

【详解】以。为原点建立空间直角坐标系如图所示，

则A(l,0,0),C(0,2,0),0(0,0,0)，a。,。」),

所以AC=(-1,2,0),1Ml=(1,0,1),

/、DA.,A.C1/in

则cos,AC)=---=」=业，

'/DA,\\AC〃71.应10

则异面直线AC与。4所成角的余弦值为®.

10

故答案为：叵.

10

2.-213

【分析】运用向量垂直坐标表示和模长公式计算即可.

【详解】alb＞则:•力=4x1+2机+0x12=0，解得m=-2.

则。=(4,-2,0),J=不+(-2尸+()2=20,b2=12+22+122=149.

\a-b\^^a-b^=yja2-2a-b+b2=720+149=^/i69=13.

故答案为：-2；13.

3.抛物线26

【分析】根据抛物线的定义得出尸点轨迹，建立空间直角坐标系后由空间两点间距离公式计算.

【详解】因为平面ABCD，平面AD2A，平面A3CD「、平面而Pe平面ABC。,

所以尸到直线AD的距离就是P到平面ADD,A的距离，

由P到平面A。。A的距离等于线段孙/的长度，可知点尸轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线,

建立如图所示的空间直角坐标系(A0的中点。为原点，与正方体的棱平行的直线为坐标轴),

M(1,0,0),A(-l,0,0),4(3,0,4),

点P的轨迹方程是丁=4Mo<x<3,0<y<2拒),

4P=7(^-3)2+/+16=2x+25,

所以尤=1时，耳乙1n=2后，

故答案为：抛物线；2加.

【分析】依题意可得“1=。，根据数量积的坐标表示得到方程，求出机的值，从而求出。的坐标，再利用

坐标法求模.

【详解】因为a=(4,〃⑼，b=(1,2,12)且a16,

所以力4=4>1+2m+0>12=0，解得根=一2,则。=(4,-2,。),

所以。一6=(4,-2,0)—(1212)=(3,T,T2),

所以,=^32+(-4)2+(-12)2=13.

故答案为：-2；13

5.(-1,1,0)

【分析】利用中点坐标公式求解即可.

【详解】因为41,1,2),B(-3,l,-2),

所以由中点坐标公式得线段A3的中点坐标是1(-一3，彳1+1,?号-?)，

化简得中点坐标为(T,1,0).

故答案为：(-14,0)

【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】根据题意，若a〃"，贝1Ja〃人又a=(x,3,2),6=(-1,y,l),

x——2

x321

所以[=—=「解得3,所以x+y=—.

Tv1[j=-2

故答案为：

2

7.72

【分析】利用肱V=-14B+LAD+，AC,两边平方可求得IMNI.

222

【详解】因为四面体ABCD是棱长为2的正四面体，所以N54C=N54D=NC4D=60。,

MN=MA+AD+DN=--AB+AD+-DC=--AB+AD+-(AC-AD],

所以MN=」A8+^AD+LAC,

222

.21/-2-2-2-\

两边平方可得M2V+AO+AC-2ABMD-ABAC+ADACJ

=；(2?+22+22-2x2x2xcos600-2x2x2xcos60°+2x2x2xcos60°)

=；(12-4)=2,

所以|MN|=A/L

故答案为：72.

【分析】求点B到直线G/的距离，结合BH=1,判断命题①；设牙,分别为A综AD,C£>的中点，证

明及M,N,尸,G,7T共面，再求六边形EMNFG”'面积判断命题②；建立空间直角坐标系，证明2R为平面

E/G的一个法向量，利用向量方法求直线与平面EFG所成角，取特殊点判断命题③错误；假设存在

H点满足条件，结合条件推出矛盾，判断命题④，由此可得结论.

【详解】由已知BBI=BC=BlCl=ClC=l,NBCF=ZBB,G=90°,

因为F,G分别为CG，8G的中点，

所以CP=BQ=g,

所以可=卜+出科/+出=*Gd居当,

设T为GB的中点，连接8T,则3TLG尸，BT=

所以点B到直线G/的距离为主@>1,又BH=1,

4

所以线段3H与G厂无交点，①正确;

设分别为AB1,A£),C。的中点，连接Ga'，H'E,EM,MN,NF,

因为H'G〃AC],A、CJ/EF,

所以H'GUEF,所以〃',G,E,尸四点共面，

所以点/Te平面印G,

因为FNIICQ,C\DIIB\A,B、AIIH'E,

所以FN//H'E,Fe平面EFG,HEu平面EfG,

所以Ne平面跖G,

同理可证Mw平面EFG,

所以及M,N,尸,G,〃'共面，

又EM=MN=NF=FG=GH'=H'E=—

2

所以平面WG截正方体所得到的截面图形为正六边形项WFG"',且边长为正,

2

所以面防G截正方体所得到的截面图形面积为6X」XYIX"=±8,②正确；

2244

以点B为原点，BA,BC,BB]为％%z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则8(0,0,0),A(1,1,1),《I，。，：)，尸(。,用'G(0，；，l)，

所以叫=(1,1,1),EF=(-1,1,0),GF=(o,g,-£|,

所以3〃•毋=一1+1+0=0,BDGF=0+---=0,

1l22

所以=(1,1,1)为平面EFG的一个法向量，

设//的坐标为(a,b,c),则B"=(a,方,c),

0<«<1,0<Z?<1,0<C<1,

因为B”二l,故力2+62+-=1，

设直线3H与平面EFG所成角为。,则

|a+Z?+c|

sin0=|cosBH,BD、|a+b+c

6doi+Z72+。2退da2+及+c

取"*=3=冬则si“=磊=1，

又0,IT-,所以O4T7,T1

2

IT

此时直线如与平面EFG所成角为丁③错误;

设平面砂G上存在点H,使得9_L平面跳G,

因为由平面EFG,所以BH//BR,

所以（a,8又选+及+d=1，

a力,b=@,c力，

所以

333

也2回_12V3_£

所以“T，3-，5,EH=

7'3'32

因为He平面EFG,

所以可设石"=x£^+yGb=\x,x+T，—gy],

所以》一9="一分

所以E-亭*邛小毛-冬

由第一个方程与第三个方程相加可得尤+4y=之-毡

,与第二个方程矛盾,

223

所以满足条件的点“不存在，④错误;

故答案为：①②.

9.(2,2,0)(答案不唯一，只需满足尤+y=4即可)

【分析】求出平面A3C的一个法向量用的坐标，根据APm=0可得出x、V所满足的关系式，即可得解.

【详解】设平面ABC的法向量为机=(a,b,c),AB=(2,0,-1),AC=(0,2,-1),

m-AB=2a-c=0

则取c=2,可得机=(1/,2),

m-AC=2b-c=0

因为尸在平面ABC内，则APu平面ABC,且AP=(x,y,-2),

AP-m=x+y—4=0,

故满足条件的一个点P的坐标为(2,2,0).

故答案为：(2,2,0)(答案不唯一，只需满足x+y=4即可).

10.—

6

【分析】根据条件建立空间直角坐标系，表示向量，结合公式求解即可得到结果.

【详解】

设AC=BC=CG=2,以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,2,0),4(。，2,2),3(2,0,0),©(0,1,1),

Z.BD=(-2,1,1),^=(0,0,2),

cos(BD,AA\—=^-,

'…/后26

/.BD与A4所成角的余弦值为逅

6

故答案为：T

11.(123)(答案不唯一)

【分析】由题意得｛。，反《可以构成空间的单位正交基底，设d=(x,y,z),则［=刈+淡+2/根据空间向

量基本定理及平面向量基本定理可得结果.

【详解】V67=(1,0,0),6=(0,1,0),"=(0,0,1),：.ab=bc=ac=o,

，a_Lb,。_Lc,Q_Lc,

{“,b,c}可以构成空间的单位正交基底，

设d=（x,y,z）,则d=xa+yb+zc,

,:仄a,b,c,d这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，

1与a,b,c中的任意两个向量均不共面，

根据平面向量基本定理可得X,y,Z均不为零，

；•向量d的坐标可以为。，2,3）（答案不唯一）.

故答案为：（1,2,3）（答案不唯一）.

12.①④

【分析】根据给定的长方体，建立空间直角坐标系，由。确定点尸，。的竖坐标关系，再利用空间位

置关系的向量证明判断①③；利用向量夹角公式求解判断②；利用点到平面距离的向量求法求解判断④即

可得解.

【详解】在长方体A3C。-中，AB=AD=2,AAl=4,建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),设P(2,0,f)(0<Z<4),2(0,2,s),

4

CP=(2,—21),OQ=(0,2,s),由。得CPDQ=%s—4=0,解得s=一,