2025年初升高暑期数学专项提升讲义：因式分解（重难点突破）含答案

2025年初升高暑期数学讲义专题02因式分解重难点突破（含

答案）专题02因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运

算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较

多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公

式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

1、公式法（立方和、立方差公式）

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

（a+—cib+Z?2）—Y+Z?3（立方和公式）

（a—+ab+Z?2）=Y.（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

+人3=（a+—ab+b?）

/—F=（4—/?）（/+ab+Z?2）

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差

（和）.

2、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于

四项以上的多项式，如〃m+7弘+加+”6既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，

可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的

关键在于如何分组.

1.分组后能提取公因式

2.分组后能直接运用公式

3、十字相乘法

1./+（0+4）x+pq型的因式分解

2.一般二次三项式双2+bx+c型的因式分解

三、重难点题型突破

重难点题型突破01公式法

例1.（1）（2022.山东.济宁学院附属中学三模）把多项式2/一8分解因式，结果正确的是

A.2(X2-4)B.2(x-2)2C.2(x+2)(x-2)

（2）.下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（）

2B.X2-10X+25C.x2+y22

A.X+3X+9D.4X+X-1

【变式训练1-1】.（2021•全国•七年级专题练习）（多选题）下列各式不能写成完全平方式

的多项式有（）

B.x2-xy+^y2

A.x2+xy+y2

C.x2+2xy+4y之

【变式训练1-2】•分解因式：2机2—12m+18=

重难点题型突破02分组分解法

例2.（2022.广西北海•九年级期中）分解因式：a3-4a=

【变式训练2-1］、分解因式：a3-2a2+a=

【变式训练2-2】、（2022・湖南长沙市北雅中学二模）分解因式：2式一8》=

重难点题型突破03十字相乘法

例3.（2022•四川资阳•九年级期末）若夕是关于x的一元二次方程d+尤-1=0的两个

实数根，则代数式a27?+a俨的值是.

【变式训练3-1】、(2022•广西贵港•二模)下列因式分解正确的是()

A.2。一4"=2(a-2Z?)B.x?-9=(x+3)(x-3)

C.a2+4a-4=(a+2)2D.—x~-x+2=—2)

重难点题型突破04其它因式分解的方法

例4.⑴、（2022・四川自贡・中考真题）化简：一生?一二1+2=

a+4a+4a-3a+2

⑵、（2022•江苏南通•一模）若实数见〃满足疗+/+根2〃2+即切+9=0,贝IJ（机的

值为.

【变式训练4-1】.（2022•江苏宿迁七年级期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的

是（）

A.(x+y)(x-y)=x2-y2B.X2-2X+1=(X-1)2

C.尤2+2x+2=(x+l)2+1D.12xy2=2x-6y2

例5、分解因式

(1)(m+n)2-6(m+z?)+9

(2)m2(a-3)+4(3-a)

⑶2/—1012

1m—9

例6、（2022•陕西,交大附中分校模拟预测）化简：（1+—二）1/

m-3m-6m+9

例7、（2022•江苏扬州二模）先化简，再求值："匕"铲+9,其中4=6+3.

Va-\Ja-1

例8、（2022・河北・石家庄市第四十一中学模拟预测）如图：将一张矩形纸板按图中所画虚

线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为。，有两张正方形的乙种纸

板，边长为4有五张矩形的丙种纸板，边长分别为。，b（°>b）.

⑴观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为,还可

以用两边的乘积表示为则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式

（2）若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为90cm2,每个丙种矩形纸板的面积

为18cm2,求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和.

=专题02因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运

算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较

多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公

式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.

四、知识结构思维导图

五、学法指导与考点梳理

1、公式法(立方和、立方差公式)

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(q++“)=(立方和公式)

(a—b)(a?+ab+b~)=或—b*(立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

=(a_|_b)(a1—ab+b")

ci—b*—(a—b)(a2+ab+b2)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差

(和).

2、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于

四项以上的多项式，如7W+〃而+W+他既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，

可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的

关键在于如何分组.

1,分组后能提取公因式

2.分组后能直接运用公式

3、十字相乘法

1./+(p+q)x+pq型的因式分解

2.一般二次三项式依2+法+。型的因式分解

六、重难点题型突破

重难点题型突破01公式法

例1.（1）（2022.山东.济宁学院附属中学三模）把多项式2尤2_8分解因式，结果正确的是

（）

A.2（x?—4）B.2（x—2）2C.2（x+2）（x—2）D.2x]x—j

【答案】C

【解析】

【分析】

先提出公因式，再利用平方差公式进行解答，即可求解.

【详解】

解：2X2-8

=2（X2-4）

=2（x+2）（x-2）

故选：C

【点睛】

本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键.

（2）.下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（）

22222

A.X+3X+9B.%-10x+25C.%+jD.4x+x-1

【答案】B

【分析】

根据完全平方式的结构3+2ab+B或/二勿汁下的形式，即可作出判断.

【详解】

解：A、尤2+3%+9不是完全平方式，故不符合题意；

B、X2-10X+25=（X-5）2,是完全平方式，故符合题意；

C、f+y2不是完全平方式，故不符合题意；

D、4炉+%-1不是完全平方式，故不符合题意；

故选B.

【点睛】

本题考查了完全平方式的结构，正确理解结构是判断的关键.

【变式训练1-1】.（2021•全国七年级专题练习）（多选题）下列各式不能写成完全平方式

的多项式有（）

22

A.x2+xy+y2B.x-xy+^y

24

C.x+2xy+4y2D.—x-x+1

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据完全平方公式的结构特点判断即可.

【详解】

解：A、/+移+y2,不符合完全平方公式的结构特点，符合题意；

B、f-孙+!丁=（无一:大符合完全平方公式的结构特点，不符合题意；

C、x2+2xy+4y2,不符合完全平方公式的结构特点，符合题意；

D、一尤+1,不符合完全平方公式的结构特点，符合题意；

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【变式训练1-21.分解因式：2加-12祖+18=.

【答案】2（m-3）2

【分析】

先提公因式，再运用完全平方公式.

【详解】

解：原式=2（m-6/77+9）

故答案为：2（m-3）2.

【点睛】

本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关

键.

重难点题型突破02分组分解法

例2.（2022・广西北海,九年级期中）分解因式：d_4〃=.

【答案】a（o+2（a-2）

【解析】

【分析】

根据因式分解的方法，先用提公因式法因式分解，再根据公式法因式分解即可.

【详解】

解:a3-4a

=—4)

=。(。+2)(。-2),

故答案为：a(a+2(a-2).

【点睛】

本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的两种方法：提公因式法因式分解和公式法因式分

解是解决问题的关键.

32

【变式训练2-1］、分解因式：a-2a+a=.

【答案】a(a-l)2.

【分析】

观察所给多项式有公因式13,先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解.

【详解】

解：原式-2a+l),

故答案为：a(a—1)2.

【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分

解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法

分解为止.

【变式训练2-2］、(2022・湖南・长沙市北雅中学二模)分解因式：2尤3_版=.

【答案】2x(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】

先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可；

【详解】

解：2d-8x=2x(*2—4)=2x(x+2)(x-2),

故答案为：2x(x+2)(x-2);

【点睛】

本题考查了提公因式和公式法分解因式，掌握平方差公式片-62=(a+6)g—6)是解题关

键.

重难点题型突破03十字相乘法

例3.(2022・四川资阳•九年级期末)若［、夕是关于x的一元二次方程/+犬-1=0的两个

实数根，则代数式a邓+a"的值是.

【答案】工

【解析】

【分析】

l

根据一元二次方程的根与系数的关系&+〃=必=-1,再将1al3+a/因式分解

并代入计算即可.

【详解】

解：••・根据一元二次方程的根与系数的关系，

可知a+£=-2=-1=-1,a/3------1,

a1a1

''*cc~13+a0--a/3(a+0)—(—1)x(—1)=1

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，是一元二次方程的重点知识，解题关键是

熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系公式.

【变式训练3-1】、(2022・广西贵港二模)下列因式分解正确的是()

A.2。-4a6=2(a-28)B.x2-9=(x+3)(%-3)

C.+4a-4=(a+2)~D.—x2—x+2=—(x+l)(x—2)

【答案】B

【解析】

【分析】

直接根据因式分解的定义及方法判断每个选项即可得出答案.

【详解】

A.由提取公因式得2a-4他=2“(1-2份，故A错误，不符合题意；

B.由平方差公式得£-9=(X-3)(X+3),故B正确，符合题意；

C.由完全平方公式得a?+4a+4=(a+2)2,故C错误，不符合题意；

D.由十字相乘法得-犬-x+2=-(x+2)(x-1),故D错误，不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查因式分解的方法，熟练掌握各种运算方法是解题的关键.

重难点题型突破04其它因式分解的方法

例4.(1)、(2022•四川自贡中考真题)化简：，“一3―土二1+旦=

a~+4a+4a-3a+2

【解析】

【分析】

根据分式混合运算的顺序，依次计算即可.

【详解】

a-3a2-42

-5----------1----

a+4a+4a-34+2

---ci-—-3---ft-z-+-2-)-(c-i—--2)-1--2-

(a+2/ci—3Q+2

a—22a

=---1---=---

Q+2Q+2Q+2

故答案为T

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键.

⑵、(2022•江苏南通•一模)若实数小，ram2+n2+m2n2+Smn+9=0,贝U(机-“J的

值为.

【答案】12

【解析】

【分析】

首先将8〃z〃变形为2:加7+,然后分组，分别把+〃2+2〃"7和//+6机〃+9因式分

解，进一步利用非负数的性质得出租+”和〃〃，的值，然后再将变形为

2

(m+n)-4mn.最后将〃?+"和机〃的值代入计算即可.

【详解】

解：m2+n2+zn2n2+8rm+9=0,

m2+rT+m2n2+2mn+6mn+9=0,

(m2+2mn+”2)+(m2n2+6mn+9)=0,

•二(m+n)2+(mn+3)2=0,

•1-m+n=0,wz=—3,

(m—n)2

=m2—2mn+n2

=m2+2mn+zz2-4-mn

2

=(m+n)—4m几

=02-4x(-3)

=12.

故答案为：12.

【点睛】

本题考查利用完全平方公式进行因式分解，非负数的性质，代数式求值等知识，运用了整

体代入的思想方法.利用完全平方公式将代数式变形是解决本题的关键.

【变式训练4-1】.(2022•江苏宿迁•七年级期中)下列等式从左到右的变形，是因式分解的

是()

A.(x+y)(x-y)=尤?-,2B.x2-2.r+l=(x-1)2

C.x2+2x+2=(x+l)2+1D.12xy2=2x-6y2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，逐一判断即可.

【详解】

解：A.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

C.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

D.左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断.

【变式训练4-2】.(2021•山东潍坊七年级期末)(多选题)下列从左到右的变形，是因式

分解的是()

A.x2-9=(x+3)(尤-3)B.(y+1)(y-3)=(3-y)(y+1)

C.4yz-2y2z+z=2y(2z-zy)+zD.-8x2+8x-2=-2(2x-1)-

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义，以及提公因式法和公式法进行判断求解.把一个多项式化为几个整

式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.

【详解】

解：A.N-9=(x+3)(x-3),把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解；

B.(y+1)(y-3)片(3-y)(y+1)；

C.4yz-2Vz+z=2y(2z-zy)+z,等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解；

D.-8x2+8x-2=-2(2x-l)2,把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解；

故选AD.

【点睛】

本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的定义.

例5、分解因式

(1)(m+ri)~-6(m+n)+9

(2)tn~(tz—3)+4(3—d)

⑶2九2—IO%—12

【答案】(1)(m+,7-3)2，•⑵(。-3)(机+2)(加—2);⑶2(x-6)(x+l).

【分析】

(1)利用完全平方公式进行分解因式；

(2)先提公因式再利用平方差公式分解因式；

(3)先提公因式再利用十字相乘法进行分解因式.

【详解】

解：(1){m+n)2-6{m+n)+9-(m+n-3)2

(2)tn~(tz—3)+4(3—d)

—tn-(a—3)—4(。—3)

=(a—3)(疗—4)

=(a-3)(m+2)(m-2);

⑶2必—10%—12

=2(x2-5x-6)

=2（尤一6）（尤+1）.

【点睛】

本题考查分解因式，涉及提公因式、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，难

度较易，掌握相关知识是解题关键.

例6、（2022.陕西.交大附中分校模拟预测）化简：（1+-^-）1

m-3m-6m+9

【答案】m-3

【解析】

【分析】

利用通分，约分，因式分解等方法化简即可.

【详解】

m-3m2—6m+9

/m—2(m—3)2

(x

m-3m-2

=m-3.

【点睛】

本题考查了分式的化简，熟练掌握分式化简的基本技巧如约分，因式分解等式解题的关

键.

6

例7、（2022.江苏扬州二模）先化简，再求值：（2-空-2T9，其中。=6+3.

Va-\）a-1

【答案】空，1+4百

〃一33

【解析】

【分析】

直接根据分式混合运算法则即可得出答案

【详解】

(a—])(〃+1)

解：原式=

3—3)2

a+1

a—3

昌3+1

代入a=百+3得

A/3+3-3

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解题的关键