2025年江苏省苏州市某校九年级数学二模试卷（解析版）

2024-2025学年第二学期阶段练习试卷

九年级数学学科

一、单选题（每题3分，共24分）

1.-5的绝对值是（）

£1

A.5B.-5C.D.-

55

【答案】A

【解析】

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案.

【详解】解：「51=5.

故选A.

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别.解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形

沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个

点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.根据中心对称

和轴对称的定义，进行判断即可.

【详解】解：A、轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意;

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意;

故选B.

3.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学

习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（）

A.1.29xl08B.12.9xl08C.1.29xlO9D.129xl07

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为ax10"，其中14时<10,〃为整数.确定w的

值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值

210时，〃是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为1.29义109,

故选：C.

4.下列运算正确的是（）

A.—B.尤592=尤C.*尤5=尤10D.（X5）5=彳1°

【答案】c

【解析】

【分析】根据合并同类项，同底数塞乘除法以及幕的乘方进行判断即可.

【详解】解：A.x5+x5=2x5,不符合题意；

B.x5-？x5=l,不符合题意；

C.x5-x5=xw,符合题意；

D.（尤5）5=了25,不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查整式的合并同类项，同底数幕乘法和除法法则以及塞的乘方的运算，熟练地掌握以上运

算是解决问题的关键.

5.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

]_____।।_______[»

aQcb

22

A.a>c>bB.c-a>b-aC.a+b<0D.ac<be

【答案】D

【解析】

【分析】根据a,b,c对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】解：由数轴得：a<Q<c<b，|«|<H<

故选项A不符合题意；

,:c〈b,：.c-a〈b-a,故选项B不符合题意；

V|a|<|/?|,a<b,.'.a+b>0,故选项C不符合题意;

,:a<b,c#0,ac2<be2，故选项D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键.

6.如图，已知N1=N2=N3=5O°,则N4的度数是（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【答案】C

【解析】

【分析】由Nl=N3=50°可得。〃4可得N2=N5=5O。，再利用邻补角的含义可得答案.

【详解】解：如图，标记角，

VZl=Z3=50°,

：.a//b,而N2=50°,

：.Z2=Z5=50°,

AZ4=18O°-Z5=13O°；

故选C

【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键.

7.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的.

种类甲种类乙种类丙种类丁种类

平均数2.32.32.83.1

方差1.050.781.050.78

A.甲种类B.乙种类C.丙种类D.丁种类

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可.解题的

关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，

稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

【详解】解：•••由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，

四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，

.•・乙种类开花时间最短的并且最平稳的，

故选：B.

8.如图①，是形如“7”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示.如图②，用4个同样的拼

块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形中，则。的值为（）

「屈口叵

A2行RA/10

-----------------JJ.----------------V_z.-----------------------------

9353

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意得出EG=HF=2a,PF=a，PE=4a—a=3a,AD=6,

ZA=ZD=ZP=/PEG=ZPFH=90°,先由勾股定理求出所，再证人AEG^PFE,

△DHFs^PFE，根据相似三角形的性质可得AE=DH=®a，AG=DF=^^-a，最后根据正

55

方形的边长为6得到1°a+®+之叵a=6，解方程即可得到。的值.

55

【详解】解：依题得：EG=HF=2a,PF=a,PE=4a—a=3a,

AD=6,ZA=ZD=/P=/PEG=NPFH=90。,

AD

H

G

BC

:.EF=y/PE2+PF2=J16a>ZPEF+ZPFE=90°,

ZPEF+ZAEG=90°,ZDFH+ZPFE=9Q°,

ZAGE+ZAEG=9Q°，ZDFH+ZDHF=9QP,

ZPEF=ZDFH=AAGE,NPFE=ZAEG=/DHF,

.-.AAEG^APFE,ADHFSAPFE,

AEAGEG2aPHDFHFla

,PF-PE-FE-VWa'~PF~~PE~~FE'

AE=DH=^-a-AG=DF=^^~a，

55

\-AD=AE+EF+DF=6,

nnA/10r—3\/10_於

即----a+yJlOdH---------4=6，

55

解得。=巫.

3

故选：B.

【点睛】本题考查的知识点是勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解一元一次方程、正方

形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

二、填空题（每题3分，共24分）

9.因式分解：2/—8=.

【答案】2（x+2）（x-2）

【解析】

【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可.

本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键.

【详解】2%2-8=2(%2-22)

=2(x+2)(x-2).

故答案为:2(x+2)(x-2).

10.一个圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是.

【答案】18万

【解析】

【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.根据视图的意义得到圆锥的母线长为6,底面圆的半径为3,然后根据圆锥

的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面

积公式求解.

【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为6,底面圆的半径为3,

所以这个圆锥的侧面积=1*6X2;TX3=18万.

2

故答案为：18万.

11.如果一个多边形的每个外角都等于36°,则这个多边形的边数为.

【答案】10

【解析】

【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据正多边形的边数等于360。除以每一个外角的度数列式计

算即可得解，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解

题的关键.

【详解】解：360°-36°=10,

故这个多边形的边数为10,

故答案为：10.

12.己知关于x的一元二次方程2d—x+a=o,有两个相等的实数根，则。的值是.

【答案】-##0.125

8

【解析】

【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程G；2+bx+c=()(aw0)的根与A="2—4a有如下关系:

当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实

数根.利用判别式的意义得到A=(-1)2-4x20=0,然后解关于”的方程即可.

【详解】解：•.•关于》的一元二次方程2f—x+a=0有两个相等的实数根，

A=(-1)2-4X2«=0,

解得：a=一,

8

故答案为：—.

13.如图，四边形ABCD内接于AD，的延长线相交于点E,AB.DC的延长线相交于点

F.若NA=50。，NE=45。,则NF=°.

【答案】35

【解析】

【分析】根据圆内接四边形的性质得到NAOC+NA8C=180°,ZECD=ZA=50°,ZBCF=ZA=

50。，根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】解：：四边形ABC。内接于。0,

AZADC+ZABC^1SO°,NECD=NA=50°,NBC尸=NA=50°,

：.ZEDC+ZFBC=180°,

360°-180°-50°-50°=80°,

'：ZE=45°,

.-.ZF=35°,

故答案为：35.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接

四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键.

14.已知关于x的二次函数y=2(x-lF+3,当—l<x<2时，函数，的取值范围为.

【答案】3<y<ll

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当

九=1时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛

物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键.

【详解】解：由二次函数y=2（x-lF+3可知，对称轴为直线1=1,2>0,

...当x=l时，二次函数y=2（x—厅+3有最小值3,

由卜1—,根据距离对称轴越远，函数值越大，

...当x=-1时，y=11,

...当—l<x<2时，函数）的取值范围为3Wy<ll,

故答案为：3<y<ll.

15.如图，在Rt^ABC中，ZE4C=90°,AB=2亚,AC=6,点E在线段AC上，且AE=1，D

是线段3C上的一点，连接DE，将四边形A5DE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE,当点G恰好落

在线段AC上时，sin/E4C=

【答案】B

3

【解析】

【分析】作EHLAC交AC于点"，有折叠性质得到EG=48=20，AE=EF=1，

FGHF

N5AC=N£FG=90°后，再由勾股定理求出EG,结合sinNEEG=—=——、

EGEF

EFEHHF

cosNFEG=—=—求出HF、EH,由勾股定理求出AF后，根据sin/EAC=—即可得解.

EGEFAF

【详解】解：作收，4。交人。于点〃,

B

由折叠性质可得FG=AB=2桓，AE=EF=1,ZBAC=/EFG=9Q。,

:.EG=y/EF2+FG2=3'

HF

sinZFEG=—

EGEF

HF_2V2

-,

1-----3

即入半

EH

vcosZFEG=—

EGEF

1EH

••一，

31

114

即石”=—,AH=AE+EH=l+-=-,

333

・•.HMAHF中，AF=YIAH2+HF2=^-

3

2V2

HF

sinZFAC=—32=也

AF2娓—3

3

故答案为：息.

3

【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、勾股定理解直角三角形、解直角三角形的相关计算，解题关键是

熟练掌握解直角三角形的相关计算.

16.如图，在四边形A3CD中，AD//BC,AD=DF=2CF=2,BC=5,BF交AE于点、M.若

ZAEB=ZBFE,且432=4欣.4£，则AB的长为.

AD

【解析】

【分析】延长A尸,5c交于点G,证明△AD「sZ\GCF,根据相似三角形的性质结合

4nDFAFGF1

AD=DF=2CF=2,BC=5,得出一=—=—=2,即可求出CG=1,——=—,BG=6,根

CGCFGFGA3

据AB2=4欣-AE，证明VR4〃sVE43,得出N1=N2，结合已知条件=得出

Z1=Z3,证明43〃所，即可得VGEEsVGlB,根据相似三角形的性质得出

GEGFEF1

—=—=—=—,求出GE=2,BE=4,设EF=a,则AB=3a,证明丫跖18尔皿£产，得出

BGAGAB3

^-=—=3,设4W=3c,则ME=c,AE=4c,根据钻2=R^.AE，得出。二且.，则

MFME2

叵a，根据VABMSVAEB,得出生=也，求出BM=26，即可求出

2ABEB

MF^—,BF^—，过点E作方NJ_£C,谡CN=m,则BN=5—加，根据勾股定理列方程求出

33

778

m=—,即CN=正，解出EN=^，根据/=石尸2=硒2+对2,求出。，再根据43=3。，即可

求解.

【详解】解：延长4户,3。交于点G,

-：AD//BC,AD=DF=2CF=2,BC=5,

：.AADF-AGCF,

,AD=DF=AF=

CGCFGF'

1

CG=

3

二.BG=6,

,•*AB2=AM-AE>

.ABAM

•・瓦一年‘

又/BAM=/EAB，

/.NBAM^NEAB，

.•.N1=N2,

Z2=Z3,

"1=4

:.AB//EF,

C.NGFE^NGAB,

GEGF_EF_1

"BG^AG~AB~3,

:.GE=2,

:.BE=6-2.=4,

设EF=a,则AB=3a,

,：AB//EF,

:.NMAB^NMEF,

•_M_B—__M_A=__A_B—3

"MFMEEF，

设AM=3c,则ME=c,AE=4c,

AB~=AM-AE<

(3af=3c•4c,

.V3

••c=—Cl，

2

则AM=h叵a，

2

•/NABMsVAEB,

.AMBM

--=----.

ABEB

3百

_BM,

3a4

•••BM=2百，

.•.MF=-AfB=—,BF=—+2^=-,

3333

过点E作RV_LEC,

没CN=m,则3N=5—m,

FN2=BF2-BN2=CF2-CN2，

弩J-（5-m）2=l-m2,

77

解得：m=—,即CN=正，

78

EN=BC—BE—CN=5—4——=—,

1515

a2=EF2=EN2+FN2

=EN2+FC2-CN2

故答案为：生叵.

5

【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定，二次根式的混合运算等知识

点，解题的关键是证明三角形相似，正确做出辅助线是解题的难点.

三、解答题(共82分)

17.计算：(-1)3+2tan600-712+(K-2)°.

【答案】0

【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数累、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算

乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

【详解】解：(一Ip+2tan60。一g+(兀一2)°

=-1+2?若2A/3+1

=-1+2A/3-2-J3+1

=0.

—<1

18.解不等式组：<2

x<3(x+2)

【答案】-3<x<3

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出其

公共部分即可.

【详解】解：解不等式土。得：x<3；

2

解不等式x<3(x+2),得：x>-3；

不等式组的解集为：—3<xW3.

19.先化简巴士-2+巴二，再从1,0,3中选一个合适的数作为。的值代入求值.

)a*,

〃一1j_

悟案】二I

2

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值，分式在意义的条件，准确化简分式是解题的关键；先计算括号里的减

法，再计算除法即可得到化简后的式子，再根据分式有意义的条件确定。的值并代入计算即可.

、

【详解】解：/巴2巴1—2十里2二]

IaJa

/-2a+1a"-1

aa

(ci—1)~a

=-------x------------

a(tz+l)(o-l)

tz—1

tz+1

a^O,a+lwO,a—IwO,

，aw0,a丰—1,awl,

；・a=3；

当a=3时，原式=J3-1=—1.

3+12

20.如图，点E是矩形ABC。的边BC上的一点，且AE=A£>.

（1）尺规作图：在的延长线上找一点E，使AF平分ND4E；（不直接作的角平分线，保留

作图痕迹，不写作法）；

（2）连接。尸，试判断四边形的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析；

（2）四边形AEED是菱形，理由见解析.

【解析】

【分析】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题.

（1）以E为圆心，E4为半径作交的延长线于点连接DE即可；

（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

【小问1详解】

解：图形如图所示：

小问2详解】

结论：四边形AEED菱形.

理由：•.•四边形ABCD是矩形,

：.AD//BF,

:.ZDAF=ZAFC,

•.•AF平分NZME，

:.^DAF=^FAE,

:.NFAE=NAFC,

:.EA=EF,

-.-AE=AD，

:.AD=EF，

四边形AEED是平行四边形,

-.-AE=AD,

四边形是平行四边形.

21.某学校开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校

团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按人优秀，B：良好，C：合格，D；不

合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

(2)抽取的这些学生得分的中位数落在.等级;

(3)扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是O

(4)如果该校共有学生2200人，请估计该校不合格的学生人数.

【答案】（1）见解析（2）B

(3)90(4)220

【解析】

【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数：

(1)用4优秀的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；再求出C合格的人数，再补全统

计图即可；

(2)根据中位数的定义求解即可；

(3)用360度乘以C组对应人数占比即可得到答案；

(4)用2200乘以样本中D组对应的人数占比即可得到答案.

小问1详解】

解：12+30%=40人，

这次学校抽查的学生人数是40人，

AC：合格的人数为40—12—14—4=10人，

补全统计图如下所示：

M数

14

12

10

8【小问2详解】

6

4

2-

0ABeD等级

解：把这40人的成绩按照从低到高排列，第19名和第20名的成绩都落在B等级,

，中位数落在B等级；

故答案为：B；

【小问3详解】

解：360°X—=90°,

40

扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是90°,

故答案为：90；

【小问4详解】

4

解：2200x—=220人，

估计该校不合格的人数为220人.

22.央视春晚的西安分会场与动画片《长安三万里》形成联动，让李白穿越千年，在古城西安现身，使得

除夕夜的西安犹如回到了繁荣兴旺的长安时代.李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗

仙”.《将进酒》是李白不受重用，接连受到打击后满怀愤慨所作的名篇.小明和小刚将这首诗中的四句

分别写在编号为A,B,C,。的4张卡片上,如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张

卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏.

ABCD

人生得意须尽欢莫使金樽空对月天生我材必有用千金散尽还复来

（1）小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为:

（2）小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上

的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率.

【答案】（1）!

4

⑵-

3

【解析】

【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况

数与总情况数之比.

（1）直接利用概率公式可得答案；

（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.

【小问1详解】

解：由题意得，小明从中抽取一张卡片，恰好抽至广天生我材必有用”的概率为

4

故答案为：—.

4

【小问2详解】

解：列表如下:

ABCD

A（A，B）(AC)(AD)

B（3，A）(B©（B，D）

C(CA)S)(CD)

D（D，A）(D,B)(DC)

共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：（3,A）,（A3）,（D,C）,

（c,r＞）,共4种，

41

...两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为一=-.

123

23.图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，AB=6cm,BC=4cm,ZABC=85°，

"8=120°.求点A到CD的距离.(精确到0.01,参考数据:sin65°«0.906-cos65°»0.423-

tan65°«2.145,豆=1.732)

【答案】点A到的距离为6.00cm

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是

解题的关键.过点A作，CD于E,过点2作5尸，AE于尸，过点C作CGLBF于G,则四边形CEFG

是矩形，然后求出/无1E的度数，从而求出/CBG的度数，最后解直角三角形即可.

【详解】解：如图所示，过点A作AELCD于E,过点B作防，AE于尸，过点C作。G，陟于G,则

四边形CEFG是矩形，

EF=CG,ZAFB=ZBGC=ZAEC=90°；

VZABC=85°,ZBCD=120°,

ZBAE=360°-ZABC-ZBCD-ZAEC=65°,

ZABF=90°-ZBAF=25°,

ZCBG=ZABC-ZABF=60°,

B

在RuABF中，AF=ABcosZBAF«2.538cm,

在RU5CG中，CG=BC・sinZCBG«3.464cm,

EF=CG=3.464cm,

:.AE=AF+EFx6.00cm；

答：点A到。。的距离为6.00cm.

24.如图，直线y=2x+6与反比例函数y=8(x>0)的图象交于点A(m,8),与了轴交于点8.

(1)求优的值和反比例函数的解析式；

(2)点N是直线A3上的一点，过点N作平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点连接

BN,

BM，---=3,求ABMN的面积.

AN

O

【答案】(1)1；y=—

x

(2)4或14

【解析】

【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质：

(1)先求出机的值，利用待定系数法即可求解；

(2)过点A作APL龙轴于点P,过点N作NQLx轴于点Q,证明△NBQSAABP,分点N在线段明

上，点N在线段的延长线上，两种情况讨论即可.

【小问1详解】

解：：直线y=2x+6经过点A(m,8)

2加+6=8

m=1

A（l,8）

•.•反比例函数经过A（l,8）

k=8

Q

•♦•反比例函数的解析式为y=—；

x

【小问2详解】

解：过点A作AP,无轴于点P,过点N作NQL无轴于点Q,

令y=2x+6=0,解得：x=-3,

.•.3（-3,0）,

AP=yA-yB=8,BP=XA-XB=4,

AB=VfiP2+AP2=4^-BP=4,

：.ZNQB=ZAPB=90°,

ZNBQ=ZABP,

：.ANBQS^ABP,

.BNBQBnBN_BQ

ABBPANPQ

①点N在线段84上，

BN.

——=3,

AN

.芈=3,

PQ

BQ=3PQ,

'；BQ+PQ=BP=4,

/.BQ=3,PQ=1,

，Q与。重合，如图,

...点N在y轴上，即点N为AB与y轴交点重合,

将x=0代入y=2x+6,则y=6,

N（0,6）,

84

在反比例函数y=—中，当y=6时，尤=一，

x3

...唱,6）

114

M

S&BNM=­^-yN=]X§X6=4,

②点N在线段A4的延长线上，

.•・N（3,12）,

Q2

在反比例函数y=—中，当y=12时，%=—,

x3

.同|,12）

S*BNM=gx13一■|]xl2=14,

综上所述，S&BNM=4或14.

25.如图，在VA5C中，AB=AC,以A3为直径作。。与AC交于点E,过点A作。。的切线交的

延长线于点。.

(1)求证：/D=/FBC,

(2)若CD=2BC,AE=6,求AB.

【答案】(1)证明见解析

(2)9

【解析】

【分析】(1)根据切线的性质可得NZMO=90°,从而可得ND+NASD=90°,根据直径所对的圆周角是

直角可得NAEB=90。，从而可得NACB+/£BC=90°,然后利用等腰三角形的性质可得

?ACB"1ABC,从而利用等角的余角相等即可解答；

(2)根据已知可得班＞=3BC,然后利用(1)的结论可得△DABSABEC,从而利用相似三角形的性质可

得A3=3EC,然后根据A3=AC,进行计算即可解答.

小问1详解】

证明：；AD与O。相切于点4

ZDAO=90°,

ZD+ZABD=90°,

1/AB是。。的直径，

ZAEB=90°,

ZBEC=1800-ZAEB=90°,

ZACB+ZEBC=90°,

'：AB=AC,

?ACB1ABC,

:.ZD=/EBC；

【小问2详解】

解：*/CD=2BC,

：.BD=3BC,

•：ZDAB=ZCEB=90°,ZD=/EBC,

：.ADABSABEC,

BDAB

*■---=----=3，

BCEC

：.AB=3EC，

■：AB=AC,AE=6,

：.AE+EC=AB,

6+EC=3EC,

/.EC=3,

：.AB=3EC=9o

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切

线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

26.如图1,。/与直线。相离，过圆心/作直线a的垂线，垂足为且交。/于P、。两点（0在尸、H

之间）.我们把点P称为。/关于直线a的“远点”，把的值称为。/关于直线。的“特征数”.

（1）如图2,在平面直角坐标系中，点E的坐标为（0,4）,半径为1的。。与两坐标轴交于点A、

B、C、D.

①过点E画垂直于y轴的直线m则。。关于直线机的“远点”是点（填“A”、“B”、

“C”或"D”）,。。关于直线机的“特征数”为；

②若直线”的函数表达式为y=gx+4,求OO关于直线〃的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系xQv中，直线/经过点加（1,4）,点尸是坐标平面内一点，以尸为圆心，血为半

径作。?若。P与直线/相离，点N（—1,0）是。/关于直线/的“远点”，且。尸关于直线/的“特征

数”是46，求直线/的函数表达式.

【答案】(1)①D；10；②O。关于直线”的“特征数”为6；(2)直线/的解析式为y=-3x+7或y=；x+?

【解析】

【分析】(1)①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心。作OH_L直线n,垂

足为点H,交。。于点P、Q,首先判断直线n也经过点E(0,4),在RtZ\EOF中，利用三角函数求出

ZEFO=60°,进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可;

4=左+h①

(2)连接NF并延长，设直线/的解析式为y=kx+bi,用待定系数法得到＜„,再根据两条直

n=mk+bx②

线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=--x+b用待定

k2)

1

0=—+力④〃-4二mk—k

k

系数法同理可得《,消去bi和b2,得到关于m、n的方程组＜1m；根据。尸

m有—n=—I—

n=---+"7(5)kk

k

关于直线/的“特征数”是4石，得出NA=JIU，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+l)2+n2=10,把

左2—4左一1

m-左2+1

代入，求出k的值，便得到n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线/的函数

4一2k

n=

k2+l

表达式.注意有两种情况，不要遗漏.

【详解】解：⑴①。。关于直线机的“远点”是点D,

0。关于直线机的“特征数”为DB-DE=2x5=10；

②如下图：过圆心O作OHL直线n,垂足为点H,交。。于点P、Q,

V直线n的函数表达式为y=氐+4,

4A/3

当x=0时，y=4；当y=0时,x:

3

，直线引经过点E(0,4),点F(—皿3,0),

3

PQ4G巧

在中，,,

RtZXEOF.tanZFEO=——E0=等=—3,

/.ZFEO=30°,

ZEFO=60°,

HO

在RtAAHOF中，VsinZHFO=——，

FO

.\HO=sinZHFO-FO=2,

.•.PH=HO+OP=3,

；.PQ-PH=2X3=6,

。。关于直线n的“特征数”为6；

⑵如下图，：点F是圆心，点N(—1,0)是“远点”，

，连接NF并延长，则直线NFJ_直线1,设NF与直线1的交点为点A(m,n),

，4=4+4①

n=mk+4②

②■①得：n-4=mk-k,③

又•.•直线NFJ_直线I,

二.设直线NF的解析式为y=-'x+b2(kWO),

k

将点N(—1,0)与A(m,n)代入y=—'x+b2中,

k

0=-+Z?2④

<k

m7有

n------+/?2(§)

、k

X/D1m…

④-⑤得：-n二二+丁，⑥

kk

联立方程③与方程⑥，得：

n—4~mk—k

1m

—n=——l—

kk

左2—4左一1

m=42+1

解得：<

4一2左

n--

42+1

“2_4“_1

...点A的坐标为]4—2k

K+1

又♦.•。尸关于直线/的“特征数”是4石，。尸的半径为&,

ANB-NA=4&，

即2&-NA=46，

解得：NA=V10，

.,.[m-(-l)]2+(n-0)2=(V10)2.

即(m+l)2+n2=10,

'k2-4k-l

m=-----,

1

把〈Kk2十+]1代入，解得k=-3或k=一；

4—2左3

n=-；---

Ik2+l

当k=-3时，m=2,n=l,

・••点A的坐标为(2,1),

把点A(2,1)与点”(1,4)代入y=kx+bi中，解得直线/的解析式为y=-3x+7；

,11

当k=一时，m=-2,n=3，

3

...点A的坐标为(-2,3),

把点A(-2,3)与点代