4.3.1+等比数列的概念及通项公式（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的概念及通项公式思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同特征？1，2，4，8，….实例1：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的个数依次是实例2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为探究1：等比数列的概念数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____2特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一常数（等比）1，2，4，8，….你能通过运算发现数列的取值规律吗？探究1：等比数列的概念1.等比数列的概念:

一般地，若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q

表示.(q≠0)2.等比数列定义的符号语言:(q为常数，且q≠0；n∈N*)(q为常数，且q≠0；n≥2且n∈N*)[或

]等比数列的概念思考：(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？(2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？(3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？常数列是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1.非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；q<0时，等比数列各项符号正负间隔，奇数项和偶数项分别同号。等差数列的项和公差都可以为0；等比数列的项和公比都不可以为0.(1)1，3，9，27，…

(2)5，5，5，5，…(3)1，-1，1，-1，…(4)

1，0，1，0，…

判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q,如果不是，说明理由．是是是a1=1,q=3a1=5,q=1a1=1,q=-1不是(5)

0，0，0，0，…(6)

1,a,a2,a3,…(7)

x0,x,x2,x3,…不是a1=x0,q=x是不一定题型一

等比数列的判定1.等比数列的概念:(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0；(1)等比数列｛an｝中,an≠0；(3)若q＝1，则该数列为常数列．(4)常数列a,a,a,a,

…时,既是等差数列，又是等比数列;时,只是等差数列，而不是等比数列.或注意事项:解惑提高题型一等比数列的判定[例1]

(1)判断下列数列是否为等比数列．①1,3,32,33，…，3n－1，…；②－1,1,2,4,8，…；③a1，a2，a3，…，an，….题型一等比数列的判定[例1]

(1)判断下列数列是否为等比数列．①1,3,32,33，…，3n－1，…；②－1,1,2,4,8，…；③a1，a2，a3，…，an，….(2)已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否为等比数列．巩固训练能否在下列两个数中间插入一个数，使这三个数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字探究2：等比中项的概念思考：如果在a与b的中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G应该满足什么条件？反之，若即a,G,b成等比数列.∴a,G,b成等比数列则

(ab>0)(ab>0)

探究2：等比中项的概念

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b组成一个等比数列，则中间的数G叫做a与b的等比中项，且注意：(1)若实数a、b有等比中项，则a、b符号相同；(2)若实数a、b有等比中项，则该等比中项必有两个值若G2=ab，则a，G，b一定成等比数列吗？

思考：类比等差数列中，n>1时，2an=an-1+an+1,等比数列中，相邻三项有什么样的关系？等比中项的概念题型二

等比中项及应用(2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(

)A．2 B．4C．6 D．8[答案]

B应用等比中项解题的两个关注点(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示．(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要关注项的符号关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．你能根据等比数列的定义推导出它的通项公式吗?(n-1)个式子……方法一:累乘法……方法二:归纳法11-=nnqaa11-=nnqaa探究3：等比的通项公式3.等比数列的通项公式解惑提高等比数列

，首项为,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1(1)已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.重点点析：(2)已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.(3)等比数列的奇数项符号一定相同,偶数项符号也都相同.相邻两项的符号可以不同题型三

等比数列的基本运算1.a1和q是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出．2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解决.探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立相似的关系？等比数列的第项是指数函数

当x=n时的函数值，即．

等比数列的序号和项对应的点是指数函数图像上一系列孤立的点。探究4：等比数列的单调性

探究：类比指数函数的性质，判断公比的等比数列的单调性？指数函数，时，指数函数单调递增；

，指数函数单调递减．

①当，因为，则单调性与相同，即，等比数列单调递增，

，等比数列单调性不变，，等比数列单调递减．

②当，因为，则单调性与单调性相反，即，等比数列单调递减

，

，等比数列单调性不变，，等比数列单调增．探究4：等比数列的单调性探究新知类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与函数的有什么关系？

等差数列等比数列与函数的关系图像

an=a1qn-1

探究新知类比等差数列单调性判断，等比数列的单调性如何？an=a1qn-1

等差数列等比数列与函数的关系单调性

题型四

等比数列单调性[点拨]本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9.

[解析]

因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.[答案]

A

A[素养提升]

在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同，求等比数列的某一项或者某些项时要注意项的正负问题．这也要求我们在解题时，不仅要关注眼前，更要整体考虑，并注意挖掘隐含条件．课堂小结等比数列名称等差数列

概念

常数通项公式1中项性质an=am+(n-m)d从第2项起,每