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文档简介
2.4圆的方程【划重点】1.掌握圆的定义及标准方程与一般方程.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.会用待定系数法求圆的方程.4.能准确判断点与圆的位置关系.【知识梳理】知识点一圆的标准方程(1)条件:圆心为C(a,b),半径长为r.(2)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)特例:圆心为坐标原点,半径长为r的圆的方程是x2+y2=r2.知识点二圆的一般方程1.圆的一般方程当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形条件图形D2+E2-4F<0不表示任何图形D2+E2-4F=0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))D2+E2-4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))为圆心,以eq\f(\r(D2+E2-4F),2)为半径的圆知识点三点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点M在圆外|CM|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2【例题详解】一、求圆的标准方程【答案】D【分析】根据圆心坐标及半径,即可得到圆的方程.故选:D.【答案】D【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在的中垂线上,联立方程可得圆心坐标,再求出半径即可得解.故选:D(3)求满足下列条件的圆的方程:【分析】(=1\*romani)设出圆的方程,代入A、B两点坐标,求出圆心和半径,从而求出圆的方程;(=2\*romanii)先求出交点坐标,进而求出半径,写出圆的方程.【答案】C故选:C.【答案】A故选:A【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解,属于基础题.二、圆的一般方程的辨析【答案】A【分析】将圆方程化为标准方程,即可求得圆心坐标和半径.故选:A.【答案】B【分析】运用配方法,结合圆的标准方程的特征进行求解即可.故选:BA. B. C. D.【答案】D【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.故选:D.【答案】C【分析】由题意可知所求的直线过圆心,所以先求出圆的圆心,然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.【详解】要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,故选:C三、求圆的一般方程例3(1)过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(
)【答案】A【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程,将三个点的坐标代入得到方程组,求出圆的方程.故选:A【答案】C【分析】根据题意,利用两点间的距离公式求得圆的半径,写出圆的标准方程,进而得到圆的一般方程,得到答案.故选:C.(1)求圆C的方程;【分析】(1)设圆的一般方程,代入点,得到方程组,解出即可;四、点与圆的位置关系A.圆上B.圆内C.圆外 D.无法判定【答案】A【解析】直接将点的坐标代入圆的方程即可判断;故选:A【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判定,属于基础题.A.相离 B.相交 C.相切 D.与k取值有关【答案】B∴直线与圆相交,故选:B【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组,从而可得出答案.故选:C.【答案】在圆内故答案为:在圆内【答案】C【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解.故选:C.五、求动点的轨迹方程(1)求圆的一般方程;(2)设是圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程.圆心的纵坐标为.跟踪训练5已知圆C经过(2,6),(5,3),(2,0)三点.(1)求圆C的方程;【分析】(1)设圆C的方程的一般式,代入三点求系数得圆的方程.【课堂巩固】A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【分析】将圆的方程配成标准式,即可判断.故选:B【答案】A故选:AA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A故选:A【答案】故答案为:.【答案】【分析】由圆的方程可确定圆心,根据直线过圆心可构造方程求得结果.故答案为:.(1)求圆心所在直线的方程;(2)求周长最小的圆的标准方程;(3)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程;(4)若圆心的纵坐标为2,求圆的标准方程.【答案】(1)x-3y+3=0【分析】(1)利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可;(2)利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可;(2)当线段AB为圆的直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,又∵圆心也在直线2x-y-4=0上,∴圆心是这两条直线的交点,(4)设圆心的坐标为(m,2),由(1)知m-3×2+3=0,得m=3,【分析】(1)根据三点确定一个圆,把三点坐标代入圆的一般式列方程求解即可;(1)求点的轨迹的方程;解法二:【课时作业】【答案】A【分析】利用代入法,通过解方程组进行求解即可.故选:A【答案】C【分析】求出线段的中点的坐标即得解.故选:CA.x-2y+1=0 B.x+2y-1=0C.2x+y-2=0 D.x-2y-1=0【答案】D【分析】利用配方法求出圆心坐标,结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.因为直线2x+y-3=0的斜率为,故选:D【答案】D【分析】由圆的方程确定圆心,利用点到直线距离公式进行求解.故选:D【答案】B【分析】根据配方法,结合二次函数的单调性进行求解即可.故选:B【答案】B故选:B【答案】B故选:B.A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定【答案】B【分析】根据直线与圆的位置关系,求得满足的关系式,结合点与圆位置关系的判断方法,判断即可.故选:B.【答案】BC【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.则C是圆,故B正确.故选:BC【答案】ACD【分析】先将圆方程化为标准方程,求出圆心和半径,然后逐个分析判断即可所以A正确,故选:ACD【答案】【分析】由方程得出曲线表示的轨迹是圆,求出半径即可求出面积.故答案为:.然后利用斜截式写直线方程,最后整理为一般式即可.15.已知关于x,y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+3=0.(2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y1=0上且在第二象限,半径为,求圆C的方程.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)由二元二次方程能表示圆的一般方程的条件易证得所求;【详解】(1)因为方程x2+
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