2025年中考数学二轮复习几何重难选填题：最值问题

专题3最值问题

将此类题的经典情况总结常用结论，为学生提供解题技能，易有解题思路.

线段或线段和差最值按原理分类：

1.定点到定点,线段最短（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；厂二

2.定点到定线（动点在定线上运动），垂线段最短；

3.定点A到定圆C（动点B在定圆C上运动）最值，如图，ABi最短，AB2最长.

为了能形成定点到定点、定点到定线或定点到定圆的最值基本型，通常改变线段的位置（形成等线段或比例固定

的线段）,一般都是改变线段端点的位置.

变换方式如下：

1.平移：适合双动点，且动点间的距离和方向不变；

2.对称：适合动点在定直线上移动；

3.旋转：适合动点由旋转（或等价于旋转）形成；

4.构造全等：适合双动点分别到不同定点的长度相等；

5.利用中位线（构位似图）；

6.利用直角三角形斜边中线等于斜边一半.

思路：从所求的线段或线段和差最值中确定定点、动点，判断最值基本类型或判断需要哪种变换方式转化成最

值基本类型.

类型1•定点到定点，线段最短

1.（构全等一定点到定点）2024辽宁模拟如图，在口ABCD中,AE为BC边上的高,F,G分别为高AE和边CD上的

动点且AF=DG,连接BF,AG.若AB=5,BC=4,/ADC=60。,则BF+AG的最小值为.

思路引导以此题为例分析，助明晰解题思路.

求BF+AG的最小值，B,A是两个定点，F,G是两个动点，且AF=DG,符合双动点分别到不同定点的长度

相等，故可构全等转换边位置求最值.由AF,BF在4ABF中，AG,DG在4ADG中,可构造其中一个三角形的

全等三角形转换边的位置，使BF与AG两个分开的线段形成共端点的线段，然后利用定点到定点，线段最短.

2.（构全等一定点到定点）2024抚顺模拟如图，在矩形ABCD中,AB=2,BC=2a,E是BC边上一动点,F是对角

线BD上一^3点，且BE=DF,连接DE,CF,则DE+CF的最小值为.

3.（平移一定点到定点）如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,AC=4,BD=6,则AD+BC的最小值为

4.（平移对称一定点到定点）|领跑改编|如图，在平面直角坐标系中，点A（-l,3）,B（2,4）,C（m,m）,D（m+l,m+l）,

则AC+BD的最小值为

5.（对称一定点到定点）|每领跑改编|如图,在等腰RgABC中,/ACB=9（F,AC=BC=4,E是AC的中点，D是直

线BC上一点，连接AD,把线段AD绕点D逆时针旋转90。得到线段FD,连接CF,EF,则CF+EF的最小值为一

6.（对称一定点到定点）|每领跑改编|如图,在矩形ABCD和矩形CEFG中,AD=2AB=6,E是DC上一点,G是B

C上一点CD=3CE,BC=2CG,M是BC上一动点，连接AM,N是AM的中点，连接ND,N^!jDN-FN的最大值为一

类型2•定点到定线，垂线段最短

7.（旋转一定点到定线）2024沈阳模拟如图，在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,P是对角线AC上的动点，连接DP,：®

直线DP绕点P顺时针旋转使NDPG=/DAC,且过点D作DGLPG,连接CG,则CG的最小值为.

以此题为例分析，助明晰解题思路.

求CG的最小值，C为定点，G为动点，且点G由旋转形成的,此时可借助旋转相似或旋转全等转移CG进

而求最小值.由/DPG=/DAC,四边形ABCD是矩形，可连接BD,BP得到△DGPs，进而得到

GDC,.\BP=CG,再根据“垂线段最短”求得BP的最小值即可.

8.（旋转一定点到定线）如图,C是直线AB外一点,CD，AB,CD=1,E是直线AB上任意一点，连接CE,将线段

CE绕点E顺时针旋转90。，得到线段EF,连接DF，则DF的最小值为.

9.（对称一定点到定线）如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是BC上一动点,E是AC上一动点，连接AD,

DE,则AD+DE的最小值为.

第7题图第9题图

10.（构全等一定点到定线）如图在△ABC中,BC=6,NACB=120o,E是AC上一动点,D是AB上一动点且AE=

BD,连接CD,过点E作EFLAB于点F,则EF+CD的最小值为.

11.（中位线一定点到定线）如图在RtAABC中,NBAC=9（T,AB=AC=4,D是AC延长线上的一点,CD=2,M是边

BC上的一点（与点B,C不重合），以CD,CM为邻边作口CMND,连接AN并取AN的中点P,连接PM,则PM的最

小值为.

类型3•定点到定圆最值

12.（隐圆、对称一定点到定圆）2024丹东二模如图，在边长为6的正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD

上的两个动点（不与端点重合）,AE,BF相交于点O,若线段AE与BF始终保持垂直,M是线段CD上的动点，

则BM+OM的最小值为.

以此题为例分析，助明晰解题思路.

ZAOB始终为直角，其所对边AB为定边，取AB的中点G（如图1）,则。G=为定值，所以点O在以

点G为圆心,|AB的长为半径的圆上运动.M是CD上一动点作定点B关于CD的对称点H，则BM=,

所以BM+OM的最小值转化为点到定圆G的最小值.

13.（隐圆、对称一定点到定圆）如图，四边形ABCD为矩形，AB=2聒AD=2V2..P为边AB上一点以DP

为折痕将4DAP翻折，点A的对应点为点A：连接AA，交PD于点M,Q为线段BC上一点，连接AQ,MQ,则AQ+MQ

的最小值为.

14.（隐圆一定点到定圆）2022抚顺本溪辽阳中考如图，正方形ABCD的边长为10,G是边CD的中点，E是

边AD上一动点，连接BE,WAABE沿BE翻折得到小FBE,连接GF,当GF最小时,AE的长为.

15.（旋转一定点到定圆）2024大连模拟如图在R3ABC中,NACB=9（T,AB=2,D为线段AB的中点，将线段B

C绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE,连接DE,则DE的最大值为—

E3；

/

第］3题图第14题图第15题图

1.如详解如图，过点D作口乂，人口,取口乂=八8=5,连接人乂.GM.ANADM=90。.

ZADC=60°,.\ZMDG=ZADM-ZADC=30°.

•••四边形ABCD是平行四边形，

AD=BC=4,AB=CD,ZABE=ZADC=60°.

•.•AE_LBC,；./AEB=90。.

ABAF=90°-4ABE=30°=乙MDG.

又AB=DM,AF=DG,；.AABF^ADMG.

BF=MG.BF+AG=MG+AG.

根据“两点之间，线段最短二得MG+AG>AM.

.,.BF+AG的最小值为线段AM的长

在RtAAMD中.根据勾股定理，得

AM=<AD2+DM2=V41.

ABF+AG的最小值为V41.

2.4详解如图，延长DA到点G,使DG=DB,连接GF,CG.

:四边形ABCD是矩形，

.AD\\BC,AD=BC=2近,CD=AB=2,ZBXD=:ZGDC=90°.AZGDF=ZDBE.

又DF=BE,DG=BD,ADGF^ABDE./.GF=DE.

；.DE+CF=GF+CF.

根据“两点之间，线段最短;得GF+CFNCG.

••.DE+CF的最小值为线段CG的长.

在RtAABD中,根据勾股定理，得BD=<AB2+AD2=2A/3.

DG=BD=2V3.

在RtACGD中，根据勾股定理彳导CG=y/DG2+CD2=4.

.,.DE+CF的最小值为4.

第2题图

3.2辰详解如图.过点C作CE〃BD,使CE=BD=6,连接DE,AE,设AC交BD于点O.

四边形BCED为平行四边形.

BC=DE.AD+BC=AD+DE.

VACXBD,.".ZAOD=90°.

VCEZ/BD,/.ZACE=90°.

在RtAAEC中，根据勾股定理彳导

AE=VXC2+CE2=2V13.

根据“两点之间线段最短”得AD+DENAE.

AAD+DE的最小值为22VH.

AAD+BC的最小值为：2旧.

4.2遍详解如图，将线段DB平移，使点D与点C重合，设点B平移后的对应点为点B.

.*.B'C=BD..,.AC+BD=AC+B'C.

C(m,m),D(m+l,m+l),B(2,4),AB'(l,3).

设CD所在直线的函数解析式为y=kx+b.

把点(3(111,111)。(111+1,111+1)代入y=kx+b彳导

m+b=m,解出rfc=1

\m+l)k+b=m+1.蝌守%=0.

/.CD所在直线的函数解析式为y=x、

•••点C在直线y=x上运动.

作点A关于直线CD的对称点A1,连接CA',B'A'.

AC=A'C.AC+B'C=A'C+B'C.

根据“两点之间,线段最短"，得A'C+B'C>A'B\

A'C+B'C,即AC+BD的最小值为AE的长.

过点A作AEJ_x轴于点F,交直线CD于点E,连接A，E、

ZAFO=90°,AE=A'E,xE=xA=-1.

把x=-1代入y=x彳导y=-1.,E(-1、-1)、

.•.AE=4=A'E.

过点C作CH_Lx轴于点H..\ZCHO=90°.

OH=CH=m.ZCOH=45°.

ZFOE=45°..\ZFEO=45°.

根据对称性彳导4AEC^AA'EC.

•••乙AEC=AA'EC=45°.

ZAEA'=ZAFO=90°..\A，E〃x轴、

=YE=-L%4—=4.

X4,=3.4(3,-1).

BAB

A'B'—(xA'-%，)2+CX-V，)2=2V5.

AAC+BD的最小值为2V5

5.2g详解如图1,连接BF,AF.

根据旋转的性质狷/ADF=9(T,AD=DF.

ZDXF=45°.—=cos45°=—.

AF2

VAABC是等腰直角三角形,/ACB=90。，

ZACD=90°.ZBAC=ZDAF=45°.

—=cos45°=—,^.BAF=^CAD.

AB2

AFD=ABC..I△ABFs△ACD.

・•・ZABF=ZACD=90°.AZCBF=45°.

•••点F在AB的垂线(垂足为B)上运动.

••.在线段CF,EF中.E,C为定点，

如图2,设AB的垂线为1,作点C关于直线1的对称点C,连接EC1,BC.

CF=C'F.CF+EF=C'F+EF.

根据“两点之间，线段最短"，得(C'F+EF>EC.

VE是AC的中点，；.CE=\AC=2.

过点E作EGLBC交CB的延长线于点G.AZG=90°.

•，点C,C关于直线1对称，

•••BC=BC=4,ACBF=乙C'BF=45".4CBC'=90°,

.­•乙CBG=90°=NG=AACB.

，四边形GBCE是矩形.

，CE=GB=2,GE=BC=4.，GC'=GB+BC'=6.

在RtAECG中根据勾股定理，得EC=在玉+GC'2=2V13.ACF+EF的最小值为2履.

第5题图1第5题图2

6、V10.详解如图,分别取AB,CD的中点H,K,连接HN,HK,CF,CN.

VN是AM的中点,，HN是AABM的中位线.

/.HN/7BM.

四边形ABCD是矩形,AB〃CD,AB=CD,NB=90。.

.•.HB=CK,HB〃CK".四边形HBCK是矩形.

.•.HK〃BC".H,N,K三点共线.

ZHKC=90°=ZHKD,DK=CK,Z.HK垂直平分CD.

；.DN=CN.

VCN-FN<CF,

当DN-FN=CN-FN=CF时,DN-FN有最大值.

"?AD=2AB=6,BC=2CG,AD=BC,

；.CD经AB=3,CG=3.

=CD=3CE,.\CE=1.

四边形CEFG是矩形，,EF=CG=3,ZFEC=90°.

在RtACFE中,根据勾股定理，得

CF=>JCE2+EF2=V10.

/.DN-FN的最大值为V10.

第6题图

7.掘路弓向DCB;APDB;V5

详解如图，连接BP,BD,BD交AC于点E.

:四边形ABCD是矩形,

11

...AB=DC=2,BE=：BD,CE=^ACfAD\\BCfZABC=ZDCB=90°,AC=BD.

：.BE=CE.ZDAC=ZACB=ZDBC.

在RtAACD中，根据勾股定理得AC=BD=^AB2+BC2=2而.

ZDPG=ZDAC,AZDPG=ZDBC.

VDGXPG,ZDGP=ZDCB=90°.AADGP^ADCB.

而DP=D"G的=刖.c;c.n茄DP=而DB=相r=

・•・ZPDB=ZGDC.AAPDB^AGDC.

求出BP的最小值即可得到CG的最小值.

根据“垂线段最短;得当BPXAC时,BP最短.

11

•••S^ABC=#8-BC=-AC•BPt

ABBC4A/54

・••BDPn=------=—,ARCRG=

AC55

8.鱼②解题如图，在DB上取一点G,使DG=CD,连接CG,CF,FG.

•.•CD_LAB,CD=1,；.CD=DG=1,/CDE=ZCDG=90°.

.­.乙GCD=ZCGD=45°.—=sin45°=—.

CG2

由旋转的性质彳导CE=EF,ZCEF=90°.

・•・ZECF=ZEFC=45°.

.・・匕=in45°=—^ECF=（GCD.

CFS2f

—=—^ECD=Z.FCG.

••CFCGf

：.AECD^AFCG.AZCDE=ZCGF=90°.

...点F在CG的垂线1（垂足为G）上运动,/DGF=45。.根据“垂线段最短”，得DFX1时，DF取得最小值.过点

D作DH_L1于点H.AZDHG=90o.

/.ZGDH=ZDGH=45°.

DH=DG•sin45°=y..-.DF的最小值为y.

9.称详解如图，作点A关于BC的对称点连接AA交BC于点H过点A作AFLAC于点F,连接AD.

AD=A'D,ZAFA'=90°,BC垂直平分AA：

/.AD+DE=A'D+DE,ZAHC=90°,AH=A'H.

根据“垂线段最短”，得AD+DE的最小值为线段AF的长.

AB=AC=5,BC=8,BH=CH=4.

在RtAACH中，根据勾股定理彳导AH=VXC2-CH2=3.

AA'=6,sinzCXH=^=|.

•.•在RtAAA'F中,sin^FAA'="=A'F=—.

115AAr5,5

・・・AD+DE的最小值为y

10.3遍详解如图，过点B作BG〃AC,过点D作DHLBG于点凡过点C作CKLBG于点K.

・•・ZA=ZABG,ZDHB=ZCKB=90°.

•.•EF±AB,.\ZEFA=ZDHB=90°.

又AE=BD,ZA=ZABG,.,.AEFA^ADHB.

EF=DH.EF+CD=DH+CD.

根据“垂线段最短"得DH+CD的最小值为线段CK的长.

VBG/7AC,.*.ZACB+ZCBK=180°.

•,.ZCBK=60o./.CK=BC-sin60°=3V3

.•.DH+CD,即EF+CD的最小值是3V3

第10题图

11.或详解如图，连接CN,取CN的中点E,连接PE,过点C作CFLDN于点F.

1

・•.NE=：NC/CFD=90°.

VP为AN的中点,・・・PE为ZkANC的中位线.

・•・PE\\ACfPE=^AC=2.

•・.四边形CMND是平行四边形，

・•・CM//DN,CD//MN,CD=MN=2.

・・・PE〃MN,PE=MN.

・•・四边形MNEP为平行四边形.

1

PM=NE=-NC.

2

APM的最小值为NC最小值的一半.

根据“垂线段最短"得NC的最小值为FC的长.

PM的最小值为FC长的一半

ZBAC=90°,AB=AC=4,AZACB=45°.

•・・CM〃DN,・・・ZACB=ZD=45°.

・•.FC=CD-sin45°=VX

APM的最小值为与

A

第11题图

12.3旧-3思路引导HM；H

详解：四边形ABCD为正方形、

，/ABC=9(T,AB=BC=6.

VAE与BF始终垂直即/AOB=90。、其对边AB为定边，，取AB的中点G,连接OG、如图.

•••BG=0G=-AB=3.

2

・••点O在以点G为圆心，|AB的长为半径的圆上运动.作点B关于CD的对称点H,连接MH,GHQH.

・・・BM=HM,BC=HC=6.

ABM+OM的最小值为HM+OM的最小值,BH=12.

在RtABGH中,根据勾股定理，得

GH=y/BG2+BH2=3V17.

当点H,M,O共线时,HM+OM最小最小值为OH的长.

XOH>GH-OG,.*.OH>3V17-3.

AOH的最小值为3VT7-3.

.♦.HM+OM,即BM+OM的最小值为：3Vly-3.

-------------------------1

第12题图

13.4a详解如图，作点A关于BC的对称点T,WAD的中点R,连接BT,QT,RT,RM.

AR=DR=近,AQ=TQ,AT=2AB=4A/3.

V四边形ABCD是矩形,，ZRAT=90°.

在RtARAT中，根据勾股定理，得

RT=yjAR2+AT2=5A/2.

,/点A,A关于DP对称,/.AA'XDP./.ZAMD=90°.

,•1AR=RD,RM=-AD—V2