《高等数学(第4版)》课件 8.5 泰勒级数

第

五

节

泰

勒

级

数

二、一、泰勒级数二、二、泰勒公式二、三、函数展开成幂级数高等数学第8.5节泰勒级数一、泰勒级数上一节有讨论在收敛域内，求幂级数的和函数.本节讨论相反的问题，即能否将一个已知的函数表示成幂级数.给定函数

，能否找到一个幂级数，在其收敛域内恰好以

为和函数？函数

能展开成幂级数需要什么条件？

问题如果函数

能展开成一个幂级数，那么该幂级数的系数是什么？高等数学第8.5节泰勒级数假设函数

是收敛区间为

的幂函数的和函数，即则于是高等数学第8.5节泰勒级数如果幂级数在区间

上收敛于函数

，则该幂级数必定是高等数学第8.5节泰勒级数

设函数

在含有

的某个开区间

内具有任意阶的导数，则级数称为

在

处的泰勒级数.特别地，

在

处的泰勒级数称为

的麦克劳林级数.函数

的泰勒级数是否收敛？如果收敛，其和函数是否为

？定义1高等数学第8.5节泰勒级数二、泰勒公式无论在近似计算还是在理论分析中，对于一些较复杂的函数，往往希望用一些较简单的函数来近似表达.在微分的应用中，如果函数

在点

可导，则在点

附近，有近似公式

用

来逼近函数

，误差为

而多项式函数就是一类较简单的函数.如果函数

在点

处有更高阶的导数，能否用更高阶的多项式来逼近呢？关于

的一次多项式，记为发现：如果提高精确度？如何估计误差呢？高等数学第8.5节泰勒级数

设函数

在含有

的某个开区间

内具有直到

阶的导数，则定义2称为

在

处的

阶泰勒多项式

.例如

函数

在

的泰勒级数和

阶泰勒多项式分别为：

泰勒级数阶泰勒多项式高等数学第8.5节泰勒级数对函数

，在

附近用其泰勒多项式来近似替代函数

，观察下图发现：随着泰勒多项式阶数的增加，它们就越来越接近于函数.启示：一般函数

用更高阶的泰勒多项式来逼近，依此提高精确度.高等数学第8.5节泰勒级数

（泰勒定理）如果函数

在含有

的某个开区间

内具有直到

定理1阶的导数，则对任意

，有其中

，这里

是

与

之间的某个值.阶泰勒公式拉格朗日型余项高等数学第8.5节泰勒级数证设

，只需证明由已知条件知

在

内

阶可导，且令

，则高等数学第8.5节泰勒级数则由柯西中值定理，得而故高等数学第8.5节泰勒级数函数

按

的幂展开的

阶泰勒公式为

其中

为拉格朗日型余项.当

时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式所以泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广.可见，以多项式

近似表达函数

时，其误差为若在区间

内

则高等数学第8.5节泰勒级数可见，当

时，

是比

高阶的无穷小.在不需要余项的精确表达式时，

阶泰勒公式也可写成这里

称为皮亚诺型余项.在泰勒公式中令

，则或写成称为麦克劳林公式.高等数学第8.5节泰勒级数三、函数展开成幂级数现在回答是否成立？即函数

的泰勒级数是否收敛于

？函数

的泰勒多项式

是

的泰勒级数的前

项部分和

，

由泰勒公式

，知

，即高等数学第8.5节泰勒级数

如果函数

在含有

的某个开区间

内具有任意阶导数，则在

定理2内函数

在点

处的泰勒级数收敛于

的充分必要条件是：定义

如果在含有

的某个开区间

内函数

的泰勒级数收敛于

，即在成函数

在区间

内可展开成泰勒级数.高等数学第8.5节泰勒级数（1）求出函数

的各阶导数；（2）求函数及其各阶导数在

处的值；（3）写出幂级数（麦克劳林级数）并求出收敛半径R.

（4）在收敛区间内考察余项的极限

利用泰勒公式或麦克劳林公式将函数

展开成幂级数的方法,称为直接展开法．利用直接展开法将函数

展开成

的幂级数的具体步骤：是否为零，如果余项的极限为0，则在收敛区间内函数

等于它的麦克劳林级数.高等数学第8.5节泰勒级数例1将

展开成

的幂级数.解因为所以从而

函数

的麦克劳林级数为其收敛半径为对任意确定的数x,有由级数

收敛知

又

与

无关，是有限数，所以

高等数学第8.5节泰勒级数故得函数

的展开式为

例2将

展开成

的幂级数.解因为所以于是函数

的麦克劳林级数为高等数学第8.5节泰勒级数其收敛半径为对任意确定的数x,余项的绝对值故

，于是得函数

的幂级数展开式为高等数学第8.5节泰勒级数

例4

将函数

展开成

的幂级数，其中

为任意常数.解因为所以于是得幂级数高等数学第8.5节泰勒级数由于

所以级数的收敛区间为二项展开式

当m为正整数时，展式只有m+1项，这时正是中学所学的二项式定理.

可以证明，当

时，

，于是得函数

的幂级数展开式为（可考虑柯西型余项在区间的端点处，展式是否成立要看m的值而定.高等数学第8.5节泰勒级数当

时，即是几何级数（等比级数）的求和公式

对于大多数函数而言，通过求导计算泰勒级数的系数很烦琐，并且分析余项是否趋于零也不是容易的事情.

利用已有的函数的幂级数展开式、幂级数和函数的运算性质以及变量代换等来求函数的幂级数展式，这种方法称为间接展开法．例4

将函数

展开成

的幂级数.解对上面的展开式逐项求导得高等数学第8.5节泰勒级数

说明：假定函数

在开区间

内的展开式为若函数

在该区间的端点

（或

）处连续，上式右边的幂级数在端点

（或

）仍收敛，则根据幂级数和函数的连续性，该展开式对

（或

）也成立.例5

将函数

展开成

的幂级数.解注意到

，而所以将上式两边从0到

逐项积分，得高等数学第8.5节泰勒级数因为当

时，上式右边的级数变为易知收敛，且函数

在

处连续.所以函数

的展开式为高等数学第8.5节泰勒级数例6