《高等数学(第4版)》课件 1.1 函数

第四版高

等

数

学第1章

函数与极限分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁目录第一节

函数第四节

两极限存在准则

两个重要极限第二节

数列极限第五节

无穷小与无穷大第三节

函数极限第六节

函数的连续性第

一

节

函

数

集合1区间与邻域2

函数的概念3函数的性质4

反函数与复合函数5

初等函数61.集合第1.1节函数高等数学

若a是集合A的元素，则称a属于A，记作;否则称a不属于A,记作（或）.

根据集合中元素个数的多少，集合可分为有限集和无限集.不含任何元素的集合称为空集，用

表示空集.

一般地，将具有某种特定性质的对象组成的全体称为集合，将组成集合的对象称为该集合的元素.

通常用大写的英文字母A、B、C等表示集合，用小写的英文字母a、b、c等表示集合的元素.高等数学表示集合的方法:(1)列举法将集合的所有元素一一列举出来，写在一个花括号内.(2)描述法在花括号内指明集合元素所具有的性质.几个常用的数集:

一般，用N表示自然数集（非负整数集），用

表示正整数集，用Z表示整数集，用Q表示有理数集，用R表示实数集．第1.1节函数高等数学子集的概念

设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A

B(或B

A),读作A被B包含（或B包含A

）.

若A

B，且有元素a∈B

，但a

A，则说A是B的真子集，记作A

B.规定:

A.集合相等的概念若A

B

，且B

A，则称A与B相等,记作A=B.

第1.1节函数高等数学2.区间与邻域

设a和b都是实数，且a<b，数集

称为开区间，记作(a,b)，即

(a,b)={x|a<x<b}；数集

称为闭区间,记作[a,b];数集[a,b)={x|a≤x<b}和(a,b]={x|a<x≤b}为半开半闭区间.

以上这些区间都称为有限区间,其中

a和b分别称为区间的左端点和右端点，b-a称为区间的长度.2.1

区间第1.1节函数高等数学无穷区间第1.1节函数高等数学2.2

邻域

设有实数a和

，且

，称数集

为点a的

邻域，记作.即其中a称为这个邻域的中心，

称为这个邻域的半径.

称数集

为点a的去心

邻域，记作.第1.1节函数如下图高等数学说明（1）不需要强调邻域的半径时，用

表示点

a

的某邻域，用表示点

a

的某去心邻域.（2）为了方便，称区间

为点

a

的左

邻域，称区间为点

a

的右

邻域.第1.1节函数高等数学3.函数的概念

定义1

设

是一个非空实数集，如果按照某一确定的对应法则

，对于每个实数

，都有唯一的一个实数

与之对应，则称对应法则

是定义在实数集

上的函数，记为函数值的全体组成的集合称为函数

f的值域

.因变量定义域自变量第1.1节函数高等数学自变量因变量对应法则f函数的两基本要素:定义域与对应法则.函数定义域的确定有实际背景的函数，其定义域是使实际问题有意义的自变量集合.用数学表达式表示的函数，其定义域是使表达式有意义的自变量集合（函数的自然定义域）.第1.1节函数高等数学要使数学式子有意义，x必须满足因此函数的定义域为(1,2]．例1解求函数

的定义域.第1.1节函数高等数学函数的表示法解析法（公式法）、表格法和图形法.称坐标平面上的点集为函数

的图形.第1.1节函数高等数学几个特殊的函数（1）绝对值函数（2）符号函数1-1xy第1.1节函数高等数学（3）取整函数这里

表示不超过

的最大整数，称为

的整数部分.例如12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo阶梯曲线显然，对任意的

有（求极限时有用）第1.1节函数高等数学

上面几个函数在其定义域的不同区间，对应法则用不同的式子表达，这类函数称为分段函数.

例如某市出租车按如下规定收费：当行驶里程不超过3km时，一律收起步费10元；当行驶里程超过3km时，除起步费外，对超过3km且不超过10km的部分，按2元/km计费，对超过10km的部分，按3元/km计费.则车费

与行驶里程

之间的函数关系为第1.1节函数高等数学

狄利克莱（Dirichlet1805-1859德国）函数

黎曼（G.Riemann1826-1866德国）函数

拓展两个特殊函数第1.1节函数高等数学（1）有界性

设函数f(x)在实数集D上有定义.如果存在正数M，使得对任意的x∈D，都有

则称f(x)在D上有界,或称f(x)是D上的有界函数.否则称f(x)在D上无界．即对任何正数M,总存在一点

使

4.函数的性质函数有界时其图形必夹在两条平行于x轴的直线之间.第1.1节函数高等数学

例如

正弦函数

和余弦函数

在

内是有界的.正切函数

在

内是无界的，如下图.第1.1节函数高等数学

设函数f(x)在实数集D内有定义，若存在数A，使得对任意的x∈D，都有f(x)≤A(或

f(x)≥A)，则称f(x)在D内有上界(或有下界).A为f(x)在D内的一个上界(或下界)．另外,还可定义函数有上界或者有下界:函数f(x)在D上有界

函数f(x)在D上既有上界又有下界.

结论：第1.1节函数高等数学第1.1节函数（2）单调性

设函数f(x)的定义域为D，区间

，如果对任意的

当

则称函数

f(x)在I上单调增加（单调减少）,并称区间I为函数f(x)的单调增加区间（单调减少区间）．时，有单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.高等数学

若函数

y=f(x)在定义域

D内单调增加（单调减少）,则其图形沿

x轴正向逐渐上升（逐渐下降）.

第1.1节函数

从几何上看,若y=f(x)在定义域D内是严格单调函数,则任意一条平行于x轴的直线与它的图像最多交于一点,因此y=f(x)有反函数.高等数学（3）奇偶性偶函数的图形关于y轴对称

设函数

f(x)的定义域

D在数轴上关于原点对称,若对任意的

x∈D，有

则称f(x)为

D上的奇函数；若对任意的x∈D，有

则称f(x)为D上的偶函数．

奇函数的图形关于原点对称例如，

是奇函数；

是偶函数.

第1.1节函数高等数学例2解

讨论函数的奇偶性.所以

f(x)是（－∞,+∞）上的奇函数.

函数的定义域（－∞,+∞）是关于原点对称的区间，第1.1节函数高等数学（4）周期性

若T为f(x)的周期，则f(x)有无穷多个周期，对任何正整数k，kT都是f(x)的周期．通常函数的周期是指它的最小正周期(如果存在的话)．

设y=f(x)的定义域为D,若存在正数T,使得对任意的

x∈D,有x±T∈D,且

f(x+T)=f(x),则称f(x)为D上的周期函数,T称为

f(x)的一个周期．第1.1节函数高等数学并非每个周期函数都有最小正周期.例如，

狄利克雷（Dirichlet）函数易证这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期.因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期.第1.1节函数高等数学正弦函数和余弦函数都是以2

为周期的周期函数.第1.1节函数高等数学正切函数和余切函数的值域都是(－∞,+∞),且它们都是以

为周期的函数，它们都是奇函数.第1.1节函数高等数学5.反函数与复合函数

设有函数

若对于每一个

，都有唯一的

使得

则在

上定义了一个函数，记为

则称这个函数为函数

的反函数.这里

是自变量，

是因变量.但习惯上用

表示自变量，

表示因变量，故函数

的反函数记为严格单调函数必有反函数，且与其反函数有相同的单调性.函数

满足什么条件就一定有反函数？

思考（1）反函数第1.1节函数高等数学相对于反函数

，原来的函数

称为直接函数.在反函数图形上，即在直接函数图形上，即

函数

与其反函数

的图形关于直线

对称.

第1.1节函数高等数学解得例3

求函数的反函数.

解

函数的定义域为

值域为

由

故所求反函数为解得第1.1节函数高等数学反三角函数是三角函数在其特定的单调区间上的反函数.(1)反正弦函数y=arcsinx是正弦函数y=sinx在区间

上的反函数．其定义域为,值域为

,为单调增函数.(2)反余弦函数y＝arccosx是余弦函数y=cosx在区间[0,

]上的反函数．其定义域为

,值域为[0,

],为单调减函数.第1.1节函数高等数学(3)反正切函数y=arctanx是正切函数

y=tanx在区间内的反函数．其定义域为(－∞,+∞),值域为

，为单调增函数.

(4)反余切函数y=arccotx是余切函数y=cotx在区间(0,

)内的反函数，其定义域为(－∞,+∞),值域为(0,

),为单调减函数.第1.1节函数高等数学（2）复合函数

将函数

代入另一个函数

的自变量的位置，得到的新函数

称为函数

和函数

的复合函数.复合函数

的定义域是使