《高等数学(第4版)》课件第七章 常微分方程初步

第七章常微分方程初步基本概念

微分方程、阶、解（特解、通解）求解方法一阶微分方程可降阶的高阶微分方程二阶常系数线性微分方程目录第一节

微分方程的一般概念第四节

线性微分方程解的结构第二节

一阶微分方程第五节

二阶常系数线性微分方程第三节

可降阶的高阶微分方程第

一节

微分方程的一般概念

二、一、引例二、二、基本概念高等数学第7.1节微分方程的一般概念

客观世界中的许多现象表现在数量上往往是某种函数关系.也就是说函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找函数关系，在实践中具有重要意义.

在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的条件，有时可以列出含有未知函数及其导数的关系式.这种包含了未知函数及其导数的方程就称微分方程.微分方程提出高等数学第7.1节微分方程的一般概念一、引例

例1

求一条平面曲线，使曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标平方的3倍,并且曲线过坐标原点.解

设所求的曲线方程为

则依题意，有两边积分，得又因为

所以

故所求的曲线方程为

高等数学第7.1节微分方程的一般概念

例2

一质量为m的物体受重力作用而下落，如果开始下落时位置和速度都为0，试求物体下落的距离

S与时间

t

的关系.解

设物体在时刻

t下落的距离为

因物体只受重力作用，所以物体两边积分，得的加速度为重力加速度即再两边积分，得又因为所以故物体下落的距离S与时间t的关系为

高等数学第7.1节微分方程的一般概念二、微分方程的基本概念

表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的，称为常微分方程；未知函数是多元函数的，称为偏微分方程.例如

都是微分方程，都是常微分方程，而

是偏微分方程.本章只讨论常微分方程，为方便起见简称为微分方程或方程.1、微分方程其中高等数学第7.1节微分方程的一般概念微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.例如2、微分方程的阶一阶二阶二阶一阶高等数学第7.1节微分方程的一般概念或

注

例如都是n阶微分方程.高等数学第7.1节微分方程的一般概念3、微分方程的解及解的分类

若将某函数代入微分方程,能使该方程成为恒等式,则称此函数为微分方程的解．例如都是微分方程

的解；都是微分方程

的解.

一般地，一个n阶微分方程的解若含有n个相互独立的任意常数，即若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则这个解称为该方程的通解.这里所谓任意常数相互独立，是指它们不能通过合并而使任意常数的个数减少.例如

是方程

的通解；

是

的通解.

确定了通解中的任意常数后，就得到微分方程的一个特定的解，称为方程的特解.例如

是方程

的特解；

是方程

的特解.有的解可能是隐函数高等数学第7.1节微分方程的一般概念4、微分方程的初值问题用来确定任意常数的条件称为初始条件.一般地，对于一阶微分方程，用来确定任意常数的条件是：其中

都是给定的值.对于二阶微分方程，用来确定任意常数的条件是：其中

都是给定的值.求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题.例如

引例1引例2都是初值问题.高等数学第7.1节微分方程的一般概念

微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.5、积分曲线

微分方程的某个特解的图形是积分曲线族中满足给定的初值条件的某一条特定的积分曲线.例1的积分曲线高等数学第7.1节微分方程的一般概念例3验证函数

（

为任意常数）是微分方程的通解，并求满足初始条件：

的特解.解将

代入微分方程，得左边==右边.所以，

是微分方程

的解.又因为解中含两个相互独立的任意常数，常数的个数与方程的阶数相同，所以该解是方程的通解.将初始条件

代入

和得

，所以方程满足初始条件的特解为第

二节

一阶微分方程

二、一、可分离变量的方程二、二、一阶线性微分方程高等数学第7.2节一阶微分方程一、可分离变量的方程

对于微分方程

，如果函数

可以表示成一个

的函数和一个

的函数的乘积，即微分方程可写成的形式,则称该方程为可分离变量的微分方程.例如

是可分离变量的微分方程.如何求解该微分方程呢？显然

是该方程的一个特解，

时，有两边积分，得故通解为另外

也是一个解.高等数学第7.2节一阶微分方程一般的可分离变量的微分方程

，求解方法：步骤1分离变量时，分离变量，得步骤2两边积分两边积分，得设

和

分别是

和

的原函数，则微分方程的通解为另外，若存在

使

，则

也是方程的一个解.注意

微分方程除了通解之外,还可能有一些常数解．高等数学第7.2节一阶微分方程分离变量，得两边积分，得即

从而

，解例１求微分方程

的通解.又

也是方程的解，故方程的通解为

高等数学第7.2节一阶微分方程例2

求微分方程

的通解.解分离变量，得两边积分，得故原方程的通解为即令

，则

，

代入原方程，得（或

）高等数学第7.2节一阶微分方程一般地，如果一阶微分方程

可写成的形式，则称此方程为齐次方程.对于齐次方程，可通过变量代换

化为可分离变量的微分方程来求解.令

，则

齐次方程

可化为

可分离变量的方程高等数学第7.2节一阶微分方程求解微分方程两边积分并还原为变量x,y,可得原方程的通解为代入上述方程并分离变量，得解

原方程可化为例3

变形为高等数学第7.2节一阶微分方程例4

求解微分方程解令

，则于是原方程可化为分离变量，得两边积分，得把

代入上式，得方程的通解为

说明:

利用变量代换将一个微分方程化为可分离变量的方程，或化为求解方法已知的方程，是解微分方程最常用的方法之一.高等数学第7.2节一阶微分方程练习

求方程的

通解.解代入原方程，得分离变量，得两边积分，得

把

代入，得方程的通解为如果方程变形为

呢？高等数学第7.2节一阶微分方程二、一阶线性微分方程形如

（1）

的方程称为一阶线性微分方程.（它是关于未知函数

及其导数

的一次方程），其中

称为方程(1)的自由项或非齐次项．当

恒等于零时，方程(1)成为

称为方程（1）所对应的齐次线性微分方程.当

不恒等于零时，方程(1)称为非齐次线性微分方程.例如为一阶齐次线性微分方程.为一阶非齐次线性微分方程.1、定义高等数学第7.2节一阶微分方程2、解法步骤1

先求解齐次线性方程（它为可分离变量的方程）分离变量，得两边积分，得于是一阶齐次线性微分方程

的通解为

注意

这里记号

表示

某个确定的原函数.可作为公式用问题非齐次线性微分方程

的解呢？高等数学第7.2节一阶微分方程步骤2

再求解非齐次线性方程设该非齐次线性方程解的为其中

为待定函数.把

代入方程

有即两边积分，得高等数学第7.2节一阶微分方程所以非齐次线性微分方程

的通解为

也可以写成

通解公式齐次线性方程通解非齐次线性方程特解

从上述求解过程可以看到，一阶非齐次线性方程的通解可以通过将相应的齐次线性微分方程的通解中的任意常数换成

x的函数C(x)得到，这种方法称为常数变易法.高等数学第7.2节一阶微分方程先求相应的齐次线性方程

的通解.代入所给非齐次方程，得两边积分,得于是所求方程的通解为解例5求一阶非齐次线性微分方程

的通解.分离变量，得两边积分，可得相应的齐次方程的通解为令则即高等数学第7.2节一阶微分方程也可以用公式法求解微分方程解该方程为一阶非齐次线性微分方程，这里所以由非齐次线性微分方程通解公式，得这里只考虑

x＞0是一种简化计算的方式，x<0时结果形式上是一样的.高等数学第7.2节一阶微分方程三、一阶微分方程应用举例（选讲）指数变化率问题

假定量

（人口、放射性元素、货币等）以正比于当前量的速度而增加或减少，即量

增加或较少的速度与当前量成正比.下列初值问题求

：并知道时刻

的量

，则可以通过解其中当

增加时，

当

减少时，

解得上述初值问题的解为高等数学第7.2节一阶微分方程（1）连续复利

假定以固定的年利率

投资

元，一年内

次将利息加入账目，则

年后账目资金总额为

如果连续地以正比于账户现金的速率将利息加入账目，则由指数变化率可知

年后账目资金总额为此时就是解初值问题.或理解成此时高等数学第7.2节一阶微分方程（2）放射性

当一个原子在放射中失去一些质量时，原子的剩下部分就重组成某种新元素的原子.这个放射过程和变化称为放射性衰减，其原子自然经过这一过程的元素，则是放射性元素.

实验指出：在任何给定的时间，放射性元素衰减的速率（单位时间改变的原子核数目）近似正比于现存放射性原子核的数目.于是放射性元素的衰减可以用方程来描述.这里

为常数，称为衰减常数.

如果时刻

存有放射性原子核数目为

，则时刻

仍存有的原子核数目为此时就是解初值问题令

，得（这里算出的t叫半衰期）高等数学第7.2节一阶微分方程（2）混合问题

含有某种化学品的液体（或气体）流入容器中，容器中原已装有一定量的含该化学品的液体.将混合物搅拌均匀并以一个已知的速度流出容器.

设

表示在时刻

容器中液体的总量，

表示在时刻

容器中化学品的总量，则在时间间隔

内，有化学品的改变量=化学品流入量-化学品流出量，高等数学第7.2节一阶微分方程解例某湖泊的水量为

V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为

流入湖泊内不含污染物A的水量为

流出湖泊的水量为

已知1999年底湖泊中A的含量为

超过国家规定标准.为治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过

问至少需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至

以内?(假设湖水中污染物A的浓度是均为的).设2000年初

，

年后湖泊中污染物A的总量为

则在时间间隔内湖泊中污染物A的改变量为高等数学第7.2节一阶微分方程解此一阶非齐次线性微分方程，得于是再由初始条件

得

因此

令

，得即至少经过

年，湖泊中污染物A的含量降至

以内.第

三

节

可降阶的高阶微分方程

二、一、

型的微分方程二、三、

型的微分方程二、二、

型的微分方程高等数学第7.3节可降阶的高阶微分方程

二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.求解的基本思路是设法降低方程的阶.一、

型微分方程特点：方程

的右端仅是自变量

的函数.解法：对方程

两边逐次积分

次可得到通解.注意每次积分都会出现一个任意常数，积分

次，就得含

个任意常数的通解.高等数学第7.3节可降阶的高阶微分方程例1求微分方程

的通解.解两边积分，得再两边积分，得再两边积分，得高等数学第7.3节可降阶的高阶微分方程二、

型微分方程特点：方程

的右端不显含未知函数

解法：令则从而方程化为这是关于

的一阶微分方程，设其通解为则积分便得原方程的通解为高等数学第7.3节可降阶的高阶微分方程例2求微分方程

的通解.解令

，则

，原方程化为

即分离变量，得两边积分，得即积分得原方程的通解为高等数学第7.3节可降阶的高阶微分方程解例3求微分方程

满足初始条件

的特解.两边积分，得两边积分,得故所求方程的特解为

令

则代入原方程并分离变量得由条件

得

所以由条件

得

高等数学第7.3节可降阶的高阶微分方程三、

型微分方程特点：方程

的右端不显含自变量

解法：令则从而方程化为这是关于

的一阶微分方程，设其通解为则分离变量后积分便得原方程的通解为高等数学第7.3节可降阶的高阶微分方程从而原方程可化为分离变量得两边积分得解分离变量并两边积分,便得原方程的通解为例４求微分方程

的通解.令则再由

得

第

四

节

线性微分方程解的结构

二、一、线性微分方程的概念二、三、非齐次线性微分方程解的结构

二、二、齐次线性微分方程解的结构高等数学第7.4节线性微分方程解的结构一、线性微分方程的概念

一般地，若微分方程关于未知函数及其各阶导数是线性的，则称此方程为线性微分方程.例如是线性微分方程；不是线性微分方程；是线性微分方程；高等数学第7.4节线性微分方程解的结构n

阶线性微分方程的一般形式为其中

都是某区间

I上的已知连续函数.称为系数，

是自由项.当

时，有相应的齐次线性微分方程：

高等数学第7.4节线性微分方程解的结构二、齐次线性微分方程解的结构

（叠加原理）

如果

与

是二阶齐次线性微分方程

定理1

的两个解,则它们的线性组合也是该方程的解,其中

是任意常数．证将

代入方程的左边，得故

是方程

的解.高等数学第7.4节线性微分方程解的结构例如

可以验证

都是微分方程的解,则由解的叠加原理可知也是微分方程

的解.也是微分方程

的解.哪一个可作为通解呢？为了解决通解的判别问题，下面引入函数线性相关与线性无关的概念.高等数学第7.4节线性微分方程解的结构定义

（函数组的线性相关性）设

为定义在区间

上的

n个函数,如果存在

n个不全为零的常数

,使得对任意的

都有成立,则称

区间

上线性相关的,否则称它们线性无关.问题：如何判断两个函数线性相关与否？(看它们的比是否恒为常数，如果恒为常数，则它们线性相关，否则线性无关.）的解，而

不是常数，所以

线性无关.从而它们的线性组合

是

通解.例如

前面提到的都是微分方程（因为这时

相互独立）高等数学第7.4节线性微分方程解的结构

（二阶齐次线性微分方程通解结构）

如果函数

与

是二阶齐次线性微分方程

定理2的两个线性无关的特解,则它们的线性组合就是该方程的通解．（

是任意常数）定理2不难推广到

n阶齐次线性微分方程的情形.推论如果

是

阶齐次线性微分方程的

个线性无关的特解，则就是该方程的通解.（

是任意常数）高等数学第7.4节线性微分方程解的结构三、非齐次线性微分方程解的结构定理3（二阶非齐次线性微分方程通解结构）设

是二阶非齐次线性方程的任一特解,是相应齐次线性方程

的通解,则是非齐次线性微分方程

的通解．证将

代入非齐次线性方程的左边，得又

含有两个相互独立的任意常数，所以故

是非齐次线性方程的解.是非齐次线性方程的通解.高等数学第7.4节线性微分方程解的结构定理4（二阶非齐次线性微分方程解的性质）

如果

与

分别是方程与的特解，则

是方程

的特解.该定理通常称为二阶非齐次线性微分方程解的叠加原理.

高等数学第7.4节线性微分方程解的结构

补充定理（解的性质）若

是非齐线性微分方程

的两个特解，则

是相应的齐次线性微分方程

的一个解.事实上，第

五

节

二阶常系数线性微分方程

二、一、二阶常系数齐次线性微分方程二、一、二阶常系数非齐次线性微分方程高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为其中

为常数.

由二阶齐次线性微分方程通解的结构知，要求通解只需求出它的两个线性无关的特解，然后去线性组合即可.问题：如何求方程

的两个线性无关的特解呢？分析方程的特点，不难发现所求函数与其一阶导数、二阶导数只差一个常数因子.而指数函数

（

为常数）刚好具有这一特性，

所以可用指数函数

来尝试.把它代入微分方程，确定合适的.

高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程设

（

为待定常数）是方程

的解，则代入方程并化简，得因为

所以可见，只要

满足上述代数方程，函数

便是微分方程的解.代数方程

称为微分方程

的特征方程.的特征方程高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程根据微分方程

写出特征方程

后，考虑特征

方程的根的情况：

时特征方程

有两个不相等的实根,设为这时可得微分方程

的两个线性无关的特解：因此微分方程

的通解为高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程

时这时只得微分方程

的一个特解：特征方程

有两个相等的实根,设为.为了得微分方程的通解，还需求出一个与

线性无关的微分方程的特解.为此，设

是微分方程的另一个特解，其中

是待定函数.把

代入微分方程并化简，得由于

是特征方程的二重根，所以由上式得.因为这里只要

不是常数，所以不妨取

于是

，从而微分方程

的通解为高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程

时特征方程

有一对共轭复根，

设为

这时得微分方程

的两个特解：

但它们都是复值函数形式，为得到实值函数形式的特解，利用欧拉公式（后面利用泰勒级数展开式去证）将

与

改写为：由叠加原理，实值函数也是微分方程的解，高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程并且

线性无关，由此，微分方程

的通解为综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤：第一步

写出微分方程的特征方程第二步

求出特征方程的两个根第三步

根据特征方程根的情况，直接写出微分方程的通解.高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程例1

求微分方程

的通解.解特征方程为解得两个不相等的实根

，因此所求微分方程的通解为解特征方程为例2

求微分方程

满足初始条件

的特解.解得两个相等的实根因此微分方程的通解为由初始条件

，知

，解得

，故

所求特解为高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程例3

求微分方程

的通解.特征方程为解得一对共轭复根

因此所求微分方程的通解为解即例4

已知某二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程有一根为

，试建立这个微分方程.解设微分方程为

，则特征方程为.由于

是特征方程一个根，则另一个根为.由韦达定理，知即

所以所求微分方程为高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为其中

为常数.它的一个特解

加上相应的齐次线性微分方程

的通解.由非齐次线性微分方程通解的结构知，方程

的通解等于

的通解的求法在前面已经解决，所以只需讨论求非齐次线性微分方程

的特解.一般来说，非齐次线性方程

的特解不易求，但当非齐次项为某些特殊类型的函数时，只用代数法就能求出特解

，该方法称为待定系数法.高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程

类型一这里

是

的

次多项式，

是常数.

由于非齐次项

是多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍是由多项式与指数函数的乘积构成，再结合微分方程特点，所以可推测该微分方程有形如的特解.其中

是待定多项式.代入方程

并消去

，得

高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程（1）若

，即

不是相应的齐次线性方程

的特征方程的根，则

为一个

次多项式，系数待定，故所求特解形式为（2）若

即

是特征方程的单根，则

必须是

次多项式，系数待定，所以可令

，从而所求特解形式为（3）若

即

是特征方程的二重根，则

必须是

次多项式，系数待定，所以可令

从而所求特解形式为高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程综上所述，可以得到结论如下：二阶常系数非齐次线性微分方程有特解形如其中，

是与

同次的待定多项式，

按

不是特征方程的根、是特征方程的单根、是特征方程的二重根依次取0,1,2.高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方程

例

5

求微分方程的一个特解．解相应的齐次线性微分方程的特征方程为有两个不相等的实根将

代入所给方程，整理后得

因为

是

型，其中且

不是特征方程的根，所以可设特解为

是一次多项式,比较两端同类项的系数，得解得因而所求的一个特解为高等数学第7.5节二阶常系数线性微分方