1.3中职数学一轮复习（充要条件）含答案

1.3充要条件（知识点总结）【考点梳理】1．充分条件和必要条件的概念(1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q．(3)如果p⇒q，但qeq\a\vs4\al()p，那么称p是q的充分不必要条件．(4)如果peq\a\vs4\al()q，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件．(5)如果peq\a\vs4\al()q，且qeq\a\vs4\al()p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件和必要条件与集合的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}若p是q的充分不必要条件则AB若p是q的必要不充分条件则BA若p是q的充要条件则A＝B若p是q的既不充分也不必要条件则AB之间没有子集关系3．充要条件的传递性1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件．2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件．考点一充要条件的判定【例题】（1）“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】由，可得或，则由“”可以得到“”；由“”不能得到“”则“”是“”的充分非必要条件，故选：A.（2）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，但，不充分，时，必要性满足，故是必要不充分条件，故选：B．（3）函数的图像关于直线对称的充要条件是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】∵函数的图像的对称轴为，∴函数的图像关于直线对称的充要条件是，即，故选：B.（4）“a＞b”是“a2＞b2”的__________条件.【答案】既不充分也不必要【解析】当a＝0，b＝﹣1时，满足a＞b，但a2＜b2；当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足a2＞b2，但a＜b，所以a＞b是a2＞b2的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要.（5）设，则“”是“”的（

）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且且，故选：A．【变式】（1）已知命题，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由解得，由解得或，显然，故是的充分不必要条件，故选：A.（2）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，即，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.（3）“”是“”的_____条件．【答案】充要【解析】充分性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，充分性成立；必要性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，必要性成立，综上所述，“”是“”的充要条件，故答案为：充要.（4）“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的_________条件．【答案】既不充分也不必要【解析】若四棱柱是直四棱柱，只需四棱柱的侧棱垂直底面，但底面不一定是矩形，即充分性不成立；反之：底面为矩形的四棱柱不一定为直四棱柱，即必要性不成立，所以“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要.（5）已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，则，即，取，满足，而有，即有pq，所以是的必要不充分条件，故选：B.考点二充要条件的应用【例题】（1）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得，则有，所以充分性成立；当时，可得，在的情况下，不成立，所以必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.（2）在中，“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在中，，则或，∴在中，“”是“”的必要不充分条件，故选：B．（3）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，故选：.（4）“”是“”的_________条件．（填：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）【答案】既不充分也不必要【解析】若时，成立，而不成立；若时，成立，而不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要.（5）设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，与的斜率相等，故平行，充分性成立，若“直线与直线平行”，则满足，解得：或1，经验证，：或1时，两直线不重合，故：或1，两直线平行，故必要性不成立，故选：A.【变式】（1）“”是“函数在R上为增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在R上为增函数，则，即，故时，为增函数，充分性成立；但为增函数，a还可以是，故必要性不成立，故选：A．（2）已知a，b∈R，则“ab＝0”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B．（3）“”是“关于的函数单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】D【解析】若，则函数单调递减，满足充分性；若函数单调递减，则，满足必要性，故“”是“关于的函数单调递减”的充要条件，故选：D.（4）是直线与直线平行且不重合的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】充分性：时，直线与直线可化为：直线与直线，此时两直线平行.故充分性满足；必要性：因为直线与直线平行，所以，解得：m=1.故必要性满足，故选：C.（5）“”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，由于，而，故A选项满足题意；令，则满足，但不满足，故B错误；由得：，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；令，则满足，但不满足，D错误，故选：A.【方法总结】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p⇒q及q⇒p的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若AB，则p是q的充分不必要条件；③若B⊆A，则p是q的必要条件；④若BA，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件；⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．1.3充要条件（章节练习）一、选择题1．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设，，，，但推不出，“”是“”的充分不必要条件，故选：A．2．命题；命题，则是成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设，，因为，所以是的必要不充分条件，故选：B．3．已知a是平面外的一条直线，b是平面内的一条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为a是平面外的一条直线，b是平面内的一条直线，且，由线面平行的判定定理得；因为a是平面外的一条直线，b是平面内的一条直线，且，则互为异面直线或，所以不一定成立.所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4．在中，“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】在中，，所以，所以在中，“”是“”的充要条件，故选：A.5．不等式成立是不等式成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式，得，解不等式，得，又，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件，故选：B.6．已知，为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数在上单调递增，则，则“”是“”的充要条件，故选：C.7．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】，则，其中，但，故是的充分不必要条件，故选：A.8．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是，故选：C.9．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，又，则，故充分性成立，反之，若，又，则，故必要性成立，故“”是“”的充要条件，故选：C.10．已知且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由“”可知，函数在上单调递增，所以，充分性成立；因为，所以当时，则；当时，则，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.二、填空题11．“”是“”的条件.【答案】充分不必要【解析】解不等式，可得或，或，因此，“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．12．设，则“”是“”的条件．【答案】必要不充分【解析】由，即，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．13．设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是.【答案】【解析】因为是的一个充分条件，则，所以，则的取值范围是，故答案为：．14．方程有实根的充要条件为. 【答案】【解析】由题意可得，解得，故答案为：.15．“直线l在平面a外”是“直线l与平面a平行”的条件.【答案】必要不充分【解析】“直线l在平面外”包括了直线l与平面平行，直线l与平面相交两种情况，所以由“直线l在平面a外”不能推出“直线l与平面a平行”，由“直线l与平面a平行”能推出“直线l在平面a外”，所以“直线l在平面外”是“直线1与平面平行”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．16．已知，，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是.【答案】【解析】因为q是p的必要不充分条件，所以，所以，因此，故答案为：．17．在中，“”是“”的条件.【答案】充要【解析】在中，由正弦定理及可得，即；反之，若，则，所以，故答案为：充要．18．已知直线：与直线：，则的充要条件是.【答案】【解析】因为直线：与直线：，且，所以，即；当时，直线：与直线：，很显然垂直，所以的充要条件是，故答案为：．解答题19．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】【解析】解：：，：，∵是的充分不必要条件，∴，∴即．20．已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围.【答案】，【解析】解：解不等式得，是的必要不充分条件，，解得，，即实数的范围为，．21．已知集合，．（1）当时，求，；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【解析】解：(1)，当时，，所以，；(2)是的充分不必要条件，∴A是B的真子集，故，即，所以实数m的取值范围是．22．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（