2025北京海淀高二下学期期末数学试卷含答案

xx1海淀区2025年高二年级学业水平调研数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）B（3）D（4）A（5）C（6）A（7）C（8）A（9）D（10）D二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11（11）5100（12）(1,)

（13）5960（13）5960（14）(3,)（15）①②④说明：两空题每个空2分4分4分，有错的则给０分15题对一个给2分，对两个给3分，都对给2x2x解：（Ⅰ）因为f()xe(xx1)(2x1)e

(x2x1)2x2e(所以f(0)2，又f(0)1，所以曲线yfx()在点(0,f(0))处的切线方程为y2x1

……1分……2分……3分

……4分……5分（Ⅱ）因为f()xe(x1)(x2)，xR，

(x2x1)2xx令f(x)0，解得x1或x2，

……6分随着x的变化，f(x)与f'(x)的变化情况如下表：x(,1)1(1,2)2(2,)高二数学参考答案第1页（共5页）36所以(36所以()14.PA20145所以EX()084842843841f(x)00f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)的单调递增区间为(,1)和(2,)，单调递减区间为(1,2).

……8分……9分解：（Ⅰ）设事件A为“从表中提供的AI大模型中任取一个，幻觉率低于2%”，……1分9（Ⅱ）随机变量X的取值范围是{0,1,2,3}，

……2分……3分PX(PX(0) ，6CCC320C9384CC2118C3984

12PX(1)36PX(3)PX(2) PX(2) ，3C93C3 8414584 3184……5分随机变量X的分布列如下表所示，X012P208445841884181（Ⅲ）来自乙公司.（18）（共11分）解：（Ⅰ）当a1时，fx()x2xlnx，所以f'()x2xlnx1，

……6分

……8分……10分……1分记gx()f'(x)2xlnx1，其定义域为(0,)，1212x1所以g'(x)2 ，……2……2分xxxx高二数学参考答案第2页（共5页）111111111a令g令g'(x)0，得x1，……3分2随着x的变化，gx()与g'()x的变化情况如下表： 1 1x(0,1)22(1,)2g'()x0gx()↘极小值↗11所以gx()的最小值为g( )ln2，……4……4分……5分22所以切线l的斜率的最小值为ln2.（Ⅱ）因为f'(x)2xalnxaa2a2xa令g(x)f'(x)2xalnxa，g'(x)2 ，xxxx因为a0，所以g'(x)0，gx()在(0,)单调递增.又因为g(ea)2eaa(111)2ea12e110,g(1)2a0，

……6分……7分……8分 所以存在x所以存在x0(e1,1)，使得g(x0)0,即f'(x0)0随着x的变化，f(x)与f'(x)的变化情况如下表：x11

(ea,x0)0(x0,1)f'()x0f(x)↘极小值↗所以f(x)存在极小值.（Ⅲ）a2.

……9分

……11分高二数学参考答案第3页（共5页）11n1n，为奇数，y,s}，其中（Ⅲ）设xn1n，为偶数，（19）（共10分）解：（Ⅰ）P(3)数列：①1，2，3；②1，3，2；

③3，1，2；④3，2，1（任取两个）……3……3分（Ⅱ）当n3时，因为a1,a2,a31,2,3，a1a2a1a22或a1a32，所以a1,a21,3或a1,a31,3，所以a11,3．

……4分当n4时，因为1,2,,n；2,1,3,4,5,,n；nn,1,n2,,1；n1,nn,2,n3,n4,,1均是Pn()数列，所以a1可以为1,2,n1,n．假设，存在3a1n2，则此时1a12n．,},}记B{a12,a14,a16,记C{a12,a14,a16,

t，其中ta，a，11由条件②，a12之后必有a14，a16，……，直到集合B中某一个数出现在数列An的最后两项中；同理集合C中必有某一个数出现在数列An的最后两项中．由于集合B，C中的数均与a1同奇偶，所以an1，an同奇偶．不妨设an1，an均为奇数，考虑数列An中最后一项偶数，必不能满足条件②，矛盾，假设错误．……6分所以a所以a11,2,n1,n．nn，为奇数，

nn，为偶数．由（Ⅱ）知，an1，an必为一奇一偶．考虑{1,3,5,,x}在数列An中出现的先后顺序，与（Ⅱ）同理，首次出现的必为最小值1或最大值x，高二数学参考答案第4页（共5页）5页）,y}22种．b2k,y}22种．b2k12k12k!(k(2kC2k121)!22k12424．x11接下来依次出现剩下的数中的最小值或者最大值，共22种先后顺序．同理，{2,4,6,

y在数列中出现的先后顺序共先确定{1,3,5,,x}分别为第几项，注意到该集合恰有一个数在最后两项中，x11x11所以共C2C122种方法，n2n22x11x11y1x1xy1n2 2所以bn 2所以bnCn2C12222C222．当n2k1时，x2k1，y2k2，b2k1Ckk21322k2；当n2k时，x2k1，y2k，b2kCkk21222k1，k2,3,4,．(2k2)!bCk122k1(k1)!(k1)!b2k1Ckk2132(2k3)!2k222k22k2