锐角的三角比与解直角三角形（原卷版）

专题04锐角的三角比与解直角三角形

易错点一：涉及锐角三角函数的概念时，是否

明确“对边”“邻边”“斜边”都是在“直

❶易错分析角三角形”中.

易错点二：实际问题中对坡角、俯角'仰角与

方位角等找不准无法准确理解题意易出错.

.锐角的三角比与

解直角三角形

提分策略一：求锐角三角函数值的问题.

提分策略二：特殊锐角的三角函数值的应用.

❷提分策略

提分策略三：解直角三角形的问题.

提分策略四：利用解直角三角形解决实际问题.

易错点一：涉及锐角三角函数的概念时，是否明确“对边”“邻

边”“斜边”都是在“直角三角形”中.

匣啕因阿

掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三角函数值.

易H错H题”通

1.（2022•宝山区模拟）如图，在AABC中，ZB=45°,AC=2,cosC=-.的垂直平分线交AB于点

5

E,那么的值是

2.（2021•浦东新区校级自主招生）如图，小正方形面积为20,大正方形面积为100,求sin夕cos。.

3.（2020•上海）如图，在AABC中，AB=4,BC=1,NB=60。，点。在边BC上，CD=3,连接4D.如

果将AACD沿直线皿翻折后，点C的对应点为点E,那么点E到直线83的距离为一.

易错点二：实际问题中对坡角、俯角'仰角与方位角等找不准无

法准确理解题意易出错.

解决实际问题时，常因对名词术语如俯角、仰角、方位角、坡角等概念了解不清导致错误.

1.（2023•静安区校级一模）有一把长为6米的梯子AB,将它的上端A靠着墙面，下端3放在地面上，梯

子与地面所成的角记为e,地面与墙面互相垂直（如图1所示）.一般满足50嗨灯75。时，人才能安全地

使用这架梯子.

（1）当梯子底端3距离墙面2.5米时，求々的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？

（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着

墙面下滑1.5米到墙面上的。点处停止，梯子底端3也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），

此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由.

图1图2

2.（2022•宝山区模拟）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安

装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员

停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示.

设备名称红外线体温检测仪

测温区域示意图设备需安装在垂直于水平面的墙面上.

①水平面；

②竖直墙面；

③设备安装位置；

④OC的长是设备安装高度；

⑤他的长是测温区域的宽度.

技术参数设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角.

探测最小角：ZOAC=31°探测最大角：NOBC=72。

（1）如果该设备的安装高度为2加时，请求出图中线段AC的长度；（结果精确到01”）

（2）如果学校要求测温区域的宽度为3僧时，请求出该设备的安装高度.（结果精确到0.1㈤

（参考数据：sin72°®0.95,cos72°®0.32,tan72°®3.00,sin31°»0.52,cos31°®0.86,tan31°®0.60）

②

y

①->

ABC

⑤

3.（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面3c平行于地面皿，斜坡4?

的坡比为i=且AB=26米.为了防止山体滑坡,保障安全，学校决定对该土坡进行改造.经地质

12

人员勘测，当坡角不超过53。时，可确保山体不滑坡.

（1）求改造前坡顶与地面的距离3E的长.

（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成AF（如图所示），那么斯至少是多少米？（结果精

确到1米）

(参考数据：sin53°«0.8,cos53°«0.6,tan53°®1.33,cot53°®0.75).

4.（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角

为a,那么此时飞机与目标A点的距离为一千米.（用a的式子表示）

5.（2022•松江区校级模拟）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点

C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角NACE=30。；（2）量得测角仪的高度CD=a；（3）量得测角仪到旗

杆的水平距离=利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为一.

6.（2022•徐汇区模拟）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点。处后进球，已知小明与篮板底

的距离3C=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线仞与水平线的夹角为a,已知tana的值为0.3,

则点D到地面的距离8的长为米.

7.（2023•嘉定区一模）如图，某飞机在离地面垂直距离1000米的上空A处，测得地面控制点3的俯角为

60°,那么飞机与该地面控制点之间的距离4?等于米（结果保留根号）.

8.（2022•金山区校级模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60。，沿山坡向上走

200米到达3处，在3处测得点P的仰角为15。.已知山坡脑的坡度，=1:括，且〃、A、B、P在同一

平面内，那么电视塔的高度为米.（结果保留根号形式）

9.（2022•松江区校级模拟）如图，在路边安装路灯，灯柱BC高10根，与灯杆AB的夹角ABC为60。.路

灯采用锥形灯罩，照射范围上长为9.8〃?，从E两处测得路灯A的仰角分别为4DE=80.5。，

ZAED=45°.求灯杆AB的长度.（结果保留整数）参考数据：cos80.5°«0.2,tan80.5°»6.0.

10.（2023•嘉定区一模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》.这本著作建立起了从直

接测量向间接测量的桥梁.直至近代，重差测量法仍有借鉴意义.

如图2,为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆3C和DE,两杆间距相距6米，

D、B、4三点共线.从点3处退行到点P,观察山顶A,发现A、C、尸三点共线，且仰角为45。；

从点。处退行到点G,观察山顶A,发现A、E、G三点共线，且仰角为30。.（点尸、G都在直线

上）

（1）求FG的长（结果保留根号）；

（2）山峰高度的长（结果精确到0.1米）.（参考数据：V2«1.41,•a1.73）

图1图2

11.（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度BE,从与建筑物底端3在同一水平线的点A出发，沿

着坡比为i=1:2.4的斜坡行走一段路程至坡顶D处,此时测得建筑物顶端E的仰角为30。，再从D处沿水

平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为60。，建筑物底端3的俯角为45。，

如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物班的高度与兑）的长.（参考数据：73®1.732）

E

A

B

12.（2022・上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆4?的长.

（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆至底部。米的点。处，测角仪高为6米，从C点测得

A点的仰角为求灯杆钻的高度.（用含a,b,a的代数式表示）

（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将

一高度为2米的木杆CG放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着3c方向移动1.8米至DE

的位置，此时测得其影长正为3米，求灯杆的高度.

图（2）

13.（2022•青浦区模拟）如图，斜坡的坡度为1:6,坡顶3到水平地面（AD）的距离AB为3米，在3

处、C处分别测得团顶部点E的仰角为26.6。和56.3。，点A、C、。在一直线上，求_LAD）的

高度（精确到1米）.

（参考数据：sin26.6°®0.45,cos26.6°~0.89,tan26.6°«0.5,sin56.3°»0.83,cos56.3°«0.55,

tan56.3°«1.5)

提分策略一：求锐角三角函数值的问题.

解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长,

依据三角函数的定义进行求解.

1.（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系xQy中，己知点A（2,l）与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为

/3,那么tan分的值是（）

A.2B.-C.—D.A/5

25

2.（2021•宝山区校级自主招生）如图，在AABC中，点。在3C上，AB=6,BD=4,AC=CD=5,则

cosZADC=.

提分策略二：特殊锐角的三角函数值的应用.

1.（2023•虹口区一模）计算：cos245°-tan30°+cot230°.

2sin60°

2sin60。

2.（2023•普陀区一模）计算:-4cot30°-cos230°

2sin450+tan45°

2

3.（2023•金山区一模）计算：4sin4?50-tan45°+2cot30°-sin60°.

2cos60°

提分策略三：解直角三角形的问题.

避H坑H大H招

作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，是解直角三角形常用的方法.

a®®®®

1.(2023•徐汇区二模)如图，4)、AE分别是AABC边3c上的高和中线，已知BC=8,tan3=工，ZC=45°.

3

(1)求距的长；

(2)求sinNBAE的值.

2.(2023•松江区一模)如图，己知AABC中，AB=AC=1O,BC=12,。是AC的中点，DELBC于点

E,ED、54的延长线交于点尸.

(1)求NABC的正切值;

(2)求变的值.

DE

3.(2023•徐汇区一模)如图，在AABC中，已知NC=90。，sinA=』.点。为边AC上一点，NBDC=45。，

13

AD=7,求CD的长.

CDA

2

4.（2023•虹口区一模）如图，在RtAABC中，440=90。，BC=9，sinB=-，点石在边AC上，且AE=2£C,

3

过点石作。石//3。交边AB于点O,NACB的平分线CF交线段DE于点尸，求DF的长.

5.（2023・青浦区一模）如图，在八钻。中，AD_L8C,垂足为点。，砥平分NABC交49于点石，BC=5,

sinZC=^

AD=4,

5

(1)求sinNBAD的值;

（2）求线段£F的长.

BDC

提分策略四：利用解直角三角形解决实际问题.

BaS®S

1.（2022•黄浦区校级二模）如图所示为一个圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中四

边形ABCD为等腰梯形，AB//DC,支点A与3相距8根，罐底最低点到地面CD距离为1%.设油罐横截

面圆心为O,半径为5m，/。=56。，求：U型槽的底部CD的长.（参考数据：sin56°«0.83,cos56°«0.56,

tan56O®1.5,结果保留整数）

2.（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季

整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正

南方向的居民楼.该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖

一栋高25米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29。（参考数据：sin29°«0.48；

cos29°X0.87；tan29°®0.55）

（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？

（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）

3.（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费

者眼睛的伤害.根据7Hx观影标准，当观影水平视场角的度数处于33。至U40。之间时（如图1）,双

眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位.

（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米,

小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的3c的长）在什么范围内的激光电视就能享受观看体验？（结果精确

到0.1m,参考数据：sin33°«0.54,tan33°»0.65,sin40°«0.64,tan400®0.84,sin16.5°®0.28,

tan16.5°®0.30,sin20°®0.34,tan200~0.36）

（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售

价比去年降低4000元,在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，

BC

电视屏幕

A»沙发

图2

4.(2022•崇明区二模)为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑

点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”.锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰

部发力带动下肢做左右摆式运动.

图1

(1)如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂。4的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在

侧摆运动过程中的最低点位置，点3为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，ZBOA=25°,求踏板中

心点在最高位置与最低位置时的高度差.(精确到0.1厘米)(sin25。a0.423,cos25O»0.906,tan25°«0.466)

(2)小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗

比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？

5.（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25

米.根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AZ）,AB,Z5C是两根与地平线都垂直的支撑杆（支

撑杆底端分别为点3、C）.

（1）求点3与点C离地面的高度差9的长度；

（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且NZMB=66。.求扶手AD的长度.

（参考数据：sin66°»0.9,cos66°~0.4,tan66°«2.25,cot66°«0.44）

一、单选题

1

1.（2024.上海普陀.统考一模）在RtAABC中，已知NAC3=90。，tanB=-,BC=3,那么AC的长等于

（）

A.1B.9C.V10D.3V10

2.（2023•上海杨浦・统考一模）如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C处架起测角仪，测角仪的

高CD=1.4米，从点。测得教学大楼顶端A的仰角为a,测角仪底部C到大楼底部8的距离是25米，那

么教学大楼A3的高是（）

A

D4.

'B

A.1.4+25sinaB.1.4+25COS6Z

C.1.4+25tancrD.1.4+25cotcr

3.（2023・上海虹口・统考一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心

的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角NA08为40。，那么小球在最高位

置和最低位置时的高度差为（）

A.（50-50sin40。）厘米B.（50-50cos40。）厘米

C.（50-50sin20。）厘米D.（50—50cos20。）厘米

二、填空题

4.（2024・上海杨浦•统考一模）在中，XABC=90°,BDLAC,垂足为点。，如果AB=5,

BD=2,那么cosC=.

5.（2024•上海普陀・统考一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶

点的位置上，连结A3、CO相交于P,根据图中提示添加的辅助线，可以得到cosZBPC的值等

6.（2024•上海杨浦・统考一模）小华沿着坡度力=1:3的斜坡向上行走了5M米，那么他距离地面的垂直高

度上升了一米.

7.（2024•上海杨浦・统考一模）如图，已知在菱形A3CD中，cosB=1,将菱形A3co绕点A旋转，点

B、C、。分别旋转至点E、F、G,如果点E恰好落在边上，设防交边C£＞于点那么之的

DH

值是.

AD

3

8.（2023・上海虹口•统考一模）如图，在AABC中，AB=AC^5,tan2=-，点M在边BC上，

4

&W=3,点N是射线瓦1上一动点，连接MN,将沿直线翻折，点8落在点方处，联结

B'C,如果那么BN的长是—.

9.（2024.上海杨浦・统考一模）如图，已知AABC与△ABD相似，^ACB=^ABD=90°,AC=瓜,

BC=s/3,BD<AB,连接C。，交边A3于点E,那么线段AE的长是

三、解答题

2cot45°

10.（2024•上海普陀・统考一模）计算:sin245°+3cot600-

tan60°-2sin30°

11.（2024•上海普陀・统考一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但

由于山坡A2前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测

量：

A

第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为37。；

第二步：从C处后退30米，在。处测得山顶A的仰角为26.6。；

第三步：测得小河宽为33米.

已知点2、C、。在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡A