西安市某中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷（含解析）

陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列城市地铁的标志图案中，是中心对称图形的是（）

A9"

A.a—2<b—2B.ac>be

C.一<—D.—5u<—5b

44

3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.—6ab2c3=—abc-6bc2B.4/—1=（2〃+l）（2a-1）

C.—3b）=/—3abD./+26t+l=〃（a+2）+l

4.不等式1x+lV2的解集在数轴上表示正确的是（）

2

5.若等腰三角形的一边长为4cm,周长为18cm,则此等腰三角形的底边长是（）

A.4cmB.10cmC.4cm或10cmD.4cm或7cm

6.已知不等式Ax+〃v0的解集是％>1,则一次函数丁=履+匕的图象大致是（）

ZDCF=20°,/组垂直平分AB,交BC于点、D,连接AD,FG垂直

平分AC,交AO于点R连接CT,则4AC的大小为（）

C.80°D.90°

8.已知。、b、c是VASC的三边的长,且满足/+3ac+Z>2=2a£>+36c,则此二角形的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

9.如图，将VABC绕点A顺时针能转90。得到VADE,点B,C的对应点分别为点3石，连接CE,点。恰

好落在线段CE上，若CD=4,3C=2,则A。的长为（）

A.30B.3C.2y/5D.Vio

10.如图，VABC中，。是AB的中点，DE-LAB,ZACE+ZBCE=180°,EF_LAC交AC于尸，AC=24,

BC=18,则AF的值为（）

A

A.19B.20C.21D.22

二、填空题

11.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是命题.（填“真”或“假”）

12.将点A（孙2）向右平移3个单位到点B,且点B在y轴上，那么点A坐标为.

13.如图，将VA3C沿射线3C平移后，得到AAEC,若BC=12,9C=2,则平移距离为

14.如图，在VABC中，AB<AC,平分—BAC,过点8作于点，若NC=50。，ZCBD=15°,

则/ABD的度数为

A

-------------XC

15.若关于x的不等式组0\x-+a皿>29

的最小整数解是1,则实数a的取值范围是_____.

16.如图，在四边形ABCD中，AB=6,AD=2,四边形ABC。面积为10底，连接对角线AC、BD,其

中8。LAD,则AC+3C的最小值为

A

A

B

17.若尤取整数，则使分式”二|的值为整数的尤的值有____个.

2x+l

18.因式分解：+3x—3）（炉+3x+l）—5=.

19.如图，线段AB,小的垂直平分线交于点C,且NABC=NE£>C=68o,NA£B=94。，则/£皿的度数

为.

20.平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴的负半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点8,点C是线段A3

的中点，点。在x轴正半轴上，连接。，将射线C。绕着点C逆时针旋转45。，得到射线CE,射线CE交

y轴于点£,连接。E,若AODE的周长为14,则直线OE的解析式是.

三、解答题

21.计算:

（1）解不等式：—2x+l<x+4

2（x-l）<x+3

⑵解不等式组：'x+2x-5

136

22.因式分解：

⑴fy_2盯2+,3；

（2）a?（a—2）-a+2.

23.先化简：J1再从0,1,2,3中选择一个适当的数代入求值.

x—6%+9%-3x

24.如图，已知VA5c的三个顶点坐标分别是A（-2,2）,3（-l,4）,C（<5）.

(1)将丫钙。平移后得到445©,己知点c的对应点G的坐标为(2,3),画出△AUG

⑵将VABC绕原点。逆时针旋转90。后得到△A3Cz，画出AAB2G

25.如图，在VABC中，ZABC=90°,过点8作3D，AC于点。,BE平分/ABD交AC于点E.

(1)求证：V3EC是等腰三角形；

⑵若NCEB=75°,BC=4,求£>E的长.

26.西安以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡，五一期间，景区内某汉服商店计划购进一

批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和2件B型汉服共340元；购买4件A型汉服和3件8型汉服共

需760元.

⑴求A,B两种类型汉服的单价.

(2)该商店计划购买两种类型汉服共60件，且A型汉服的数量不超过8型汉服数量的请计算该商店购买

两种类型汉服各多少件时费用最少，并求出最少费用.

3

27.如图，在平面直角坐标系中，一次函数、=-4尤+6的图象分别交x轴、y轴于点A3,点C在x轴上,

2C平分ZABO.

(1)求线段OC的长；

(2)若点。是y轴上的一个动点，当△ABD是等腰三角形时，请求出点。的坐标.

28.在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动.

【问题呈现】如图1,VABC内部有一点P,连接上4、PB、PC,求上4+尸3+PC的最小值.

【问题解快】小明是这样做的：他将△APC绕点C顺时针旋转60。得到△aC,连接PD,可得△PCD为

等边三角形，故尸C=P_D,由旋转可得=因止匕上4+尸3+/^=上+尸3+尸。.

(1)由_______(数学依据)可知：P4+P3+PC的最小值与线段的的长度相等，此时N3PC=

(2)【类比应用】如图2,在VA3C中，NACB=60o,AC=6,3C=4,P为VA3C内一点，连接24、PB、PC,

求上4+PB+PC的最小值.

(3)【生活实际】如图3,是某新建公园的一块四边形空地，其中N8=90。,ZBA£>=105。，AB=BC=40米，

A£>=40后米，规划部门计划在等腰RtAMAQ区域种植花卉，其中/、N是边AB、3c上的两个动点，且

始终保持BM=QV.同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从尸点

分别向4。、。处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P,

使得%+PD+PQ最小，若存在，请求出PA+PD+PQ的最小值；若不存在，请说明理由.

《陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题》参考答案

1.A

解:是中心对称图形，故选项A符合题意；

©不是中心对称图形,故选项B不符合题意;

不是中心对称图形，故选项C不符合题意;

不是中心对称图形,故选项D不符合题意;

故选A.

2.D

解：A、不等式，>人两边同时-2可得，a-2>b-2f不等式变形错误，不符合题意；

B、当c>0时，ac>bc；当c=O时，ac=be；当evO时，ac<be,不等式变形错误，不符合题意;

C、不等式。>6两边同时y可得，不等式变形错误，不符合题意；

44

D、不等式a>b两边同时x(-5)可得，Ta<—5b,不等式变形正确，符合题意；

故选：D.

3.B

解：根据因式分解的定义，可知A,C,D选项不是把一个多项式转化成几个整式积的形式,

只有B选项，4/—1=(24+1/24—1)是因式分解,

故选：B.

4.B

解：1x+l<2,

一尤41,

2

x<2,

解得：x<2,

在数轴上表示为：

--------1------6-A,

02

故选：B.

5.A

解：当长是4cm的边是底边时，腰长为r=7cm,三边为4cm,7cm,7cm,等腰三角形成立;

当长是4cm的边是腰时，底边长是：18-4-4=10cm,而4+4vl0,不满足三角形的三边关系.

故底边长是：4cm

故选：A.

6.D

解：:不等式V。的解集是x>l,

二・当%>1时，y<0,

观察各个选项，只有选项D符合题意，

故选：D.

7.C

解：・・・QE垂直平分A3,

DB=DA,

：.ZBAD=ZABC=40°,

•・・FG垂直平分AC,

：.AF=CF,

：.ZFAC=ZACF,

,/NDCF=20。,

则在VABC中，ABAD+AABC+AFAC+ZACF+Z.DCF=180°,

・•・/班。=么。歹=80。+2=40。，

・・・^BAC=40°+40°=80°,

故选：C

8.A

解：,**a1+3ac+b2=Zab+3bc,

,•/+/—2ab+3cic—3bc=0，

(a—b)2+3c(«-Z?)=0,

(o—b)(a-b+3c)=0,

解得a-6=0或。一人+3c=0(a+c>b,a+c-b>0,故。-b+3c>0,舍去)

a=b,

此三角形的形状是等腰三角形.

故选：A.

9.D

解：：将VA2C绕点A顺时针能转90°得到VADE,

AZCAE=90°,CA=EA,DE=BC=2,

.•.△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=6,

CE~=CA2+AE2=2AC-,

,36=2AC2,

解得AC=30(负值已舍去)，

过点。作如图所示：

•.*ZE=45°,

ADEH是等腰直角三角形，

，DH=HE,DH2+HE2=DE2=4,

DH=EH=3,

AH=272，

在RtZXDE”中，亚，

故选：D.

10.C

解：连接AE,BE,

是A3的中点，DEJ.AB,

：.AD=BD,ZADE=ZBDE=90°,

又：DE=DE,

：.Z\ADE沿ABDE,

:.AE=BE.

过点E作石G，5C,交5C的延长线于点G,

VZACE+ZBCE=180°,NGCE+NBCE=1800,

:.ZACE=ZGCE,

VEF±AC,EG±BC,

：.EF=EG,

工小AFE沿小BGE,

：.AF=BGf

・EF=EG,EC=EC,

:.AEFC'EGC,

:.CF=CG,

；.AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC—AF,

：.2AF=BC+AC,

VAC=24fBC=18f

AF=21,

故选：C.

H.真

解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，

所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形"，是真命题.

故答案为：真.

12.A(-3,-5)

解：点A(m,机-2)向右平移3个单位到点8,

/.B(m+3,m—2),

•・•点B在y轴上，

/.m+3=0,

:.m=-3,

..A(-3,-5).

故答案为：A(-3,-5).

13.5

解：5c沿射线BC平移后，得到AAEC,

ABC=B'C,BB=CC,

BC'=12,B，C=2,

：.BC-B'C=BB'+CC'=IBB',

即12-2=2朋，

，BB'=5,

故答案为：5

14.65°

解：延长3D交AC于E,

BDLAD,

：.ZADB=ZADE=90°,

,/AO平分NA4C,

,ZBAD=ZEAD,

又：AD=AD,

/.ABAD^AE4D(ASA),

/.ZABD=ZAED=NC+NCBD=65°,

故答案为：65°.

15.~2Wa<—1

解：解不等式x-a>2得：x>a+2.,

解不等式-3+4xV9,得：x<3,

•••不等式组的最小整数解为1,

0VQ+2<1,

角军得：—2<a<—l,

故答案为：-2<a<-l.

16.4«

解：VAB=6,AD=2,BDA.AD,

BD=7AB2-AD2=472，

过点作CEL交AD延长线于点E,则

SAABD=^AD-BD=^x2x4s/2=4yf2,

,四边形ABC。面积为100,

,•S^BCD=S四边形ABC。-S^ABD=6'J^,

又,：SABCLGBDDE,

DE=3,贝！|AE=5,

延长AE至/使得AE=£F=5,

CE是AF的垂直平分线，

AC=FC,

贝IAC+BC=FC+BC>BF=y/BD2+DF2=446，当点C在8户上时取等号,

・•・AC+3C的最小值为4n.

17.4

6x-3_3（2x+l）-636

解:

2x+l2%+12x+l

由题意可知，2x+l是6的整数约数,

・・2%+1=1,2,3,6,—1,—2,—3,—6,

V27

解得：％=0,1,—,—1,--,一2,--,

其中％的值为整数有：x=0,1,-1,-2共4个.

故答案为：4.

18.(x+l)(x+2)(x-l)(x+4)

解：原式二(九2+3,2—212+3，一3—5

=(冗2+3,-2(x2+3x)-8

=(12+3%+2)(冗2+3%一4)

=(x+l)(x+2)(x-l)(x+4)；

故答案为：(X+1乂1+2乂工一1乂%+4).

19.138°

解：连接CE,如图所示：

・・•线段石的垂直平分线交于点C,

:.CA=CB,CE=CD,

:./CAB=ZCBA,ZCED=ZCDE,

...ZACB=180°-2ZABC,ZECD=180。—2ZEDC,

・.・ZABC=ZEDC=68°,

：.ZACB=ZECD=44°,

：.ZACB-ZBCE=ZECD-ZBCE,

即ZACE=ZBCD,

在/XACE和△3CD中,

AC=BC

<ZACE=ZBCD

CE=CD

・・・AACE^ABCD(SAS),

:.ZCBD=ZCAE,

・.,ZABC=ZEDC=68°,ZAEB=94°,

・•・ZCBD=ZBAE+68°,ZABE=180°-ZAEB-ZBAE=86°-ZBAE,

ZABE+ZABC+ZCBD=86°-ZBAE+68°+ZBAE+68°=222°.

・・・ZEBD=360°-222°=138°,

故答案为：138。.

20.y=-1.3%+4.2

解：:直线y=%+6与X轴的负半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点5,

当>=。时，则0=工+6,

解得x=-6,即4(-6,0)；

当尤=0时，则y=0+6=6,即8(0,6)；

,••点C是线段AB的中点，

C(-3,3)

点D的横坐标为t,

的周长为14,

A\4=OE+OD+ED,

在RtAEOD中，ED=yJOE2+t2>

即14=1+0正+，0炉+广，

设y=f+O&则y2=r+OE2+2d0E,

••14=y+-2/,OE,

.•.196-28y+y=/-2f-O£,

/.196-28(r+OE)=-2tOE

整理得：t-OE-i4(t+OE)+98=0,

解得。石="言

f-14

过点。作DHLCE交CE的延长线于点H；过点”作x轴的平行线，交过点。与y轴的平行线于点N,交

过点C与y轴的平行线于点M,

:将射线CD绕着点C逆时针旋转45。，得到射线CE,

：.ZECD=45°,

则VCHD为等腰直角三角形，

则£>〃=C〃，NDHC=90°,

设点H的坐标为（。力）,

ZNHD+ZMHC=90°,ZNHD+ZHDN=90°,

ZMHC=AHDN,

'：Z.HMC=ZDNH=90°,DH=CH,

...AHMC'DNH(AAS),

：.MH=DN,MC=HN,

艮Ra+3=b,b—3=t—a,

1

a二­t

2

解得

b=-t+3

[2

即点H的坐标为（?，g+3

设直线AC的表达式为>=履+匕，将X,C的坐标代入得:

—1tk,+b,=—1f+C3

<22

-3k+b=3

k=--

/+6

解得

6=二+3

£+6

y=—^―%++3=—(x+3)+3,

t+6t+6t+6y7

当兀=0时，y=——+3,

?+6

3/

=—+3,

1+6

.14/-983t

••—F3,

t—14t+6

解得：t=4(负值己舍去)

故点。的坐标为(4,0)

3x4

则OE=——+3=4.2,

4+6

故点£(0,4.2),

设直线ED的表达式为y=sx+n,

fn=4.2

则八，,

[0=4s+〃

故直线DE的表达式为y=-1.3%+4.2.

故答案为：y=-1.3x+4.2.

21.

(2)3vxv5

(1)解：-2x+l<x+4

—3x<3

解得：x>—1；

2(x-l)<x+3①

(2)解:上一2>小②

136

由①可得：x<5；

由②可得：x>3；

・,・原不等式组的解集为3<x<5.

22.(l)y(x-y)2

(^2)(。-2)(〃+1)(〃-1)

=y(1_y)2；

(2)解：原式=片(〃—2)-(a-2)

=(Q-2)(/—1)

=(a-2)(a+l)(a-l).

23.三，选兀=1代入，-1

x-3

2(%-2)x(x-3)

解:原式=

(x—3)2x—2

2x

x-3

由题意可知，%。2且工。3,

将x=l代入，原式=—1.

24.⑴见详解

Q)见详解

(1)解：△4片。1如图所示:

(2)解：与G如图所示.

25.⑴见详解

(2)OE=4-2^

(1)证明：•:BE平分NABD,

・•・ZABE=ZDBE=-ZABD,

2

,:BDLAC,

：.ZADB=90°=ZABCf

：.ZABE+ZCBE=NDBE+ZCEB=90°,

:./CBE=NCEB,

：.CB=CE,

即△CB石是等腰三角形；

(2)解：•・・ZCEB=75°,

：.ZCBE=ZCEB=75°,

：.ZC=180°-2x75°=30°,

BDLAC,

・•・/BDC=90。,

CE=CB=4,

：.BD=-BC=2,

2

JDC=yjBC2-BD2=273，

DE=CE-DC=4-2y/3.

26.(1)A类型汉服的单价为每件100元，5类型汉服的单价为每件120元

⑵购买5类型汉服40件，购买A类型汉服为20件，总花费最少为6800元

(1)解：设A类型汉服的单价为每件工元，8类型汉服的单价为每件y元，

fx+2y=340

根据题意有：.「7c

[4x+3y=760

故A类型汉服的单价为每件100元，B类型汉服的单价为每件120元.

(2)解：设总费用为卬，购买B类型汉服。件，则购买A类型汉服为(60-a)件,

60—〃4—a,

2

则心40,

根据题意有：w=100（60—a）+120〃=20a+6000,

V20>0,

工w随着a的增大而增大，

«>40

则当〃取最小值40时，w取的最小值.

当a=40时，60-40=20

20x40+6000=6800.

故购买5类型汉服40件，购买A类型汉服为20件，总花费最少为6800元.

27.⑴OC=3

⑵点。的坐标为（0,-6）或（0,16）或（0,-4）或（0,-3

3

（1）解：令y=0,贝!!有一一x+6=0,解得：％=8,

4

令％=0,则有y=6,

・・・A（8,0）,B（0,6）,

OA=8,OB=6,

AB=NoN+OB?=10，

过点C作CE/AB于点E,如图所示：

BC平分ZABO,

OC=CE,

"S'AOB=SvoBC+ABC，

—x6x8=—x6xOC+—xlOxCE,

222

解得：OC=3；

（2）解:当△ABD是等腰三角形时，则可分:

当=时，

,:AOLBD,

OB=OD=6,

/.0(0-6)；

当AB=3r>=10时，贝!|有8=03+80=16或8=即一。3=4,

0(0,16)或(0,-4)；

当A£>=5£>时，如图，

设O£»=x,则有应)=6+x=A£),

在RSAOD中，由勾股定理可得：尤2+82=（6+尤y,

7

解得：x=->

点D的坐标为（0,-6）或（0,16）或（0,-4）或（0,

综上所述：当是等腰三角形时,

28.（1）两点之间，线段最短；BE；120°；（2）2M；（3）20届米

解；（1）将△APC绕点C顺时针旋转60。得到△EZJC,连接PDBE,

由旋转的性质可得CP=CD,DE=AP,ZPCD=60°,

：.△P口>是等边三角形，

：.PD=PC,ZCPD=60°,

：.PA+PB+PC=DE+PB+PD,

\•两点之间，线段最短，

当&P、D、E四点共线时，£>E+PB+PD有最小值，即此时R4+PB+PC有最小值，最小值为线段8E

的长，

此时ZBPC=180°-NCPD=120°；

（2）将△APC绕点C顺时针旋转60°得到AEDC,连接PD,BE,

由旋转的性质可得CP=CD,DE=AP,ZPCD=ZACE=60°,CE=AC=6,

：.△P口＞是等边三角形，

APD=PC,ZCPD=60°,

：.PA+PB+PC=DE+PB+PD,

: