数学初二竞赛试题及答案

数学初二竞赛试题及答案

单项选择题（每题2分，共20分）1.若分式\(\frac{x-1}{x+2}\)有意义，则\(x\)的取值范围是（）A.\(x\neq1\)B.\(x\neq-2\)C.\(x=1\)D.\(x=-2\)2.一次函数\(y=2x-3\)的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.一个多边形的内角和是\(1080^{\circ}\)，则这个多边形是（）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形4.直角三角形的两条直角边分别为\(3\)和\(4\)，则斜边为（）A.\(5\)B.\(6\)C.\(\sqrt{7}\)D.\(\sqrt{10}\)5.若点\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\gt0)\)的图象上，且\(x_1\lt0\ltx_2\)，则\(y_1\)与\(y_2\)的大小关系是（）A.\(y_1\lty_2\)B.\(y_1\gty_2\)C.\(y_1=y_2\)D.无法确定6.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.\(\sqrt{8}\)B.\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)C.\(\sqrt{10}\)D.\(\sqrt{12}\)7.用配方法解方程\(x^2-4x+1=0\)，配方后的方程是（）A.\((x-2)^2=3\)B.\((x+2)^2=3\)C.\((x-2)^2=5\)D.\((x+2)^2=5\)8.已知\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，则\(\cosB\)的值为（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)9.一个等腰三角形的两边长分别为\(3\)和\(7\)，则它的周长为（）A.\(13\)B.\(17\)C.\(13\)或\(17\)D.无法确定10.已知\(a\)、\(b\)、\(c\)是\(\triangleABC\)的三边，且满足\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)，则\(\triangleABC\)是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形多项选择题（每题2分，共20分）1.下列运算正确的是（）A.\(a^2\cdota^3=a^5\)B.\((a^2)^3=a^6\)C.\(a^6\diva^2=a^3\)D.\((ab)^3=a^3b^3\)2.下列函数中，\(y\)随\(x\)的增大而增大的是（）A.\(y=3x\)B.\(y=-2x+1\)C.\(y=\frac{1}{x}(x\gt0)\)D.\(y=x^2(x\gt0)\)3.下列图形中，是中心对称图形的有（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形4.关于\(x\)的一元二次方程\(x^2+bx+c=0\)有两个相等的实数根，则（）A.\(b^2-4c\gt0\)B.\(b^2-4c=0\)C.\(b^2-4c\lt0\)D.\(b^2=4c\)5.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.\(1\)，\(2\)，\(3\)B.\(2\)，\(3\)，\(4\)C.\(3\)，\(4\)，\(5\)D.\(4\)，\(5\)，\(10\)6.下列数据是某班六位同学定点投篮（每人投\(10\)次）的情况，投进篮筐的次数为\(6\)，\(9\)，\(8\)，\(4\)，\(0\)，\(3\)，这组数据的平均数、中位数和极差分别是（）A.平均数是\(5\)B.中位数是\(4.5\)C.极差是\(9\)D.中位数是\(5\)7.若点\(A(1,m)\)，\(B(2,n)\)在一次函数\(y=-x+b\)的图象上，则\(m\)与\(n\)的大小关系是（）A.\(m\gtn\)B.\(m\ltn\)C.\(m=n\)D.无法确定，与\(b\)有关8.下列二次根式中，与\(\sqrt{2}\)是同类二次根式的是（）A.\(\sqrt{8}\)B.\(\sqrt{12}\)C.\(\sqrt{18}\)D.\(\sqrt{20}\)9.一个三角形的三条中位线长分别为\(3\)，\(4\)，\(5\)，则这个三角形的周长是（）A.\(12\)B.\(24\)C.\(36\)D.\(48\)10.下列命题中，正确的是（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形判断题（每题2分，共20分）1.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)。（）2.函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)中，自变量\(x\)的取值范围是\(x\geq1\)。（）3.所有的等边三角形都相似。（）4.方程\(x^2-3x+2=0\)的根是\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。（）5.一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。（）6.反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的图象是中心对称图形。（）7.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。（）8.若\(x^2+kx+9\)是一个完全平方式，则\(k=6\)。（）9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（）10.两个锐角分别相等的两个直角三角形全等。（）简答题（每题5分，共20分）1.化简：\(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48}\)答案：先将各项化为最简二次根式，\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)，则原式\(=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}-\sqrt{3}+12\sqrt{3}}{3}=\frac{17\sqrt{3}}{3}\)。2.解方程：\(x^2-5x+6=0\)答案：分解因式得\((x-2)(x-3)=0\)，则\(x-2=0\)或\(x-3=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。3.已知一次函数\(y=kx+b\)的图象经过点\((1,3)\)和\((-1,-1)\)，求\(k\)，\(b\)的值。答案：把点\((1,3)\)和\((-1,-1)\)代入函数得\(\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\)，两式相加得\(2b=2\)，\(b=1\)，把\(b=1\)代入\(k+b=3\)得\(k=2\)。4.如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)交\(AC\)于点\(D\)，求\(\angleBDC\)的度数。答案：因为\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，所以\(\angleABC=\angleC=72^{\circ}\)。又因为\(BD\)平分\(\angleABC\)，所以\(\angleABD=36^{\circ}\)，则\(\angleBDC=\angleA+\angleABD=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}\)。讨论题（每题5分，共20分）1.在平面直角坐标系中，一次函数\(y=-x+4\)的图象与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于\(A\)、\(B\)两点。若点\(P\)在坐标轴上，且\(\triangleABP\)的面积为\(8\)，求点\(P\)的坐标。答案：先求出\(A(4,0)\)，\(B(0,4)\)。\(AB\)长度为\(4\sqrt{2}\)。设\(P\)点坐标，分\(P\)在\(x\)轴和\(y\)轴讨论。在\(x\)轴上时，设\(P(x,0)\)，\(\frac{1}{2}|x-4|\times4=8\)，解得\(x=0\)或\(x=8\)；在\(y\)轴上时，设\(P(0,y)\)，\(\frac{1}{2}|y-4|\times4=8\)，解得\(y=0\)或\(y=8\)。所以\(P\)点坐标为\((0,0)\)，\((8,0)\)，\((0,8)\)。2.已知一个多边形的内角和与外角和的差为\(1080^{\circ}\)，求这个多边形的边数。答案：多边形外角和是\(360^{\circ}\)，设边数为\(n\)，则内角和为\((n-2)\times180^{\circ}\)。由题意\((n-2)\times180^{\circ}-360^{\circ}=1080^{\circ}\)，化简得\((n-2)\times180^{\circ}=1440^{\circ}\)，\(n-2=8\)，\(n=10\)，所以边数是\(10\)。3.已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)与一次函数\(y=x+2\)的图象交于\(A\)、\(B\)两点，且点\(A\)的横坐标为\(1\)，求\(k\)的值及\(A\)、\(B\)两点的坐标。答案：把\(x=1\)代入\(y=x+2\)得\(y=3\)，所以\(A(1,3)\)，把\(A(1,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(k=3\)。联立\(\begin{cases}y=\frac{3}{x}\\y=x+2\end{cases}\)，得\(x+2=\frac{3}{x}\)，即\(x^2+2x-3=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=-3\)，所以\(B(-3,-1)\)。4.如图，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=6\)，\(BC=8\)，点\(P\)从点\(A\)出发，沿\(AD\)向点\(D\)运动，速度为\(1\)个单位/秒，点\(Q\)从点\(C\)出发，沿\(CB\)向点\(B\)运动，速度为\(1\)个单位/秒，\(P\)、\(Q\)两点同时出发，运动时间为\(t\)秒。当四边形\(PBQD\)为菱形时，求\(t\)的值。答案：由题意\(AP=CQ=t\)，则\(PD=8-t\)，\(BQ=8-t\)。因为四边形\(PBQD\)为菱形，所以\(PB=PD\)。在\(Rt\triangleABP\)中，\(AB=6\)，\(AP=t\)，\(PB=8-t\)，根据勾股定理\(AB^{2}+AP^{2}=PB^{2}\)，即\(6^{2}+t^{2}=(8-t)^{2}\)，\(36