《锐角三角函数（第2课时）》教案

1/8《锐角三角函数（第2课时）》教案

第2课时一、教学目标【知识与技能】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念；2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、课型新授课三、课时第2课时共4课时四、教学重难点【教学重点】 理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值、直角边之比是固定值.【教学难点】 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程导入新课（出示课件2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？探索新知知识点一余弦的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？（出示课件4）学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE，因此.教师归纳：（出示课件6）在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cosα=sin(90°－α),或sinα=cos(90°－α).（出示课件7）出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项加以强调：1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.知识点二正切的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？（出示课件10）学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示.证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D，∴Rt△ABC∽Rt△DEF.∴，即.教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.（出示课件12）如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.即tanA=出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？学生答：互为倒数.教师问：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？学生答：锐角A的正切值可以等于1；当a=b时；可以大于1，当a＞b时.出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.知识点三锐角三角函数的定义出示课件16：锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.考点1已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.例如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.解：由勾股定理,得因此，师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点2已知一边及一锐角三角函数值求函数值.例如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，，求cosA,tanB的值．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵在Rt△ABC中，∴又∴教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.课堂练习（出示课件22-28）练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。课堂小结（出示课件29）本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.即tanA=⑶锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.课前预习预习下节课（28.1第3课时）的相关内容.知道特殊角的三角函数值.课后作业1、教材第65页练习第2题.2、课堂第98～99页第1,4,6,8，10,12题.板书设计锐角三角函数（第2课时）余弦：正切：三角函数：教学反思本节课是从边的长度、角的度数等相关方面进行探究.教学中，关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学，都给予了鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性.本节课中学生忙于解决问题，而缺乏对知识的思考.要多花点时间来研究如何调控课堂气氛，学生的注意力是比较容易分散的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言，越是宽松活泼的气氛，越容易被他们接受.知能演练提升能力提升1.如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,在下列结论中:①sinα=CDAC;②cosα=BDAB;③tanα=ACAB;④cosα=ADA.4 B.3 C.2 D.12.如图,CD是一个平面镜,光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B,设入射角为α(入射角等于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C,D.若AC=3,BD=6,CD=12,则tanα的值为()A.43 B.3C.45 D.3.如图,某游乐场一滑梯的高为h,滑梯面与铅垂面的夹角为α,则滑梯长l=()A.ℎsinα BC.ℎcosα D.h·4.如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC,若tanB=53,则tan∠CAD的值为(A.33 B.C.13 D.5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=12∠BAC,则tan∠BPC=.6.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,若AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值是.

7.如图,矩形ABCD的周长为30cm,两条邻边AB与BC的比为2∶3.求:(1)AC的长;(2)sinα,cosα,tanα的值.8.如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的☉O经过点D,E是☉O上一点,且∠AED=45°.(1)试判断CD与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若☉O的半径为3cm,AE=5cm,求∠ADE的正弦值.9.如图,在平面直角坐标系中,射线OM在第一象限,点A的坐标为(1,0),以原点O为圆心,OA长为半径画弧,交y轴于点B,交OM于点P,作CA⊥x轴交OM于点C.设∠AOM=α,求点P和点C的坐标.(用α的三角函数表示)创新应用★10.通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边腰=BCAB(1)sad60°=;

(2)对于0°<∠A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是;

(3)如图②,已知sinA=35,其中∠A为锐角,试求sadA的值

知能演练·提升能力提升1.B2.A∵∠AEC=∠BED,∠C=∠D,∴△AEC∽△BED.∴ACBD=CEDE解得CE=4.∴tanα=tanA=CEAC3.C4.D(方法一)由tanB=53,设AD=5k,AB=3k,如图,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠ADE=90°,DE∵DC=12BD,∴CD∴DE=13AB∴tan∠CAD=DEAD(方法二)如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E.∵tanB=53,即AD∴设AD=5x,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD,∴△CDE∽△BDA,∴CEAB∴CE=32x,DE=52∴AE=152x∴tan∠CAD=ECAE5.43如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D则AD平分∠BAC,且D为BC的中点,所以BD=4,根据勾股定理可求出AD=3.因为∠BPC=12∠BAC所以∠BPC=∠BAD,所以tan∠BPC=tan∠BAD=BDAD6.2(方法一)如图,连接BE.∵四边形BCED是正方形,∴DF=CF=12CD,BF=12BE,CD=BE,BE⊥CD,∴根据题意得AC∥BD,∴△ACP∽△BDP,∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3.∴DP=PF=12CF=12在Rt△PBF中,tan∠BPF=BFPF=2∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2.(方法二)如图,连接AH,BH,易知AH⊥BH,且CD∥BH,于是tan∠APD=tan∠ABH=AHBH=27.解(1)∵AB+BC=15cm,AB∶BC=2∶3,∴AB=6cm,BC=9cm,∴AC=AB2+BC(2)在Rt△ABC中,sinα=ABAC=21313,cosα=BCAC8.解(1)CD与☉O相切.理由是:连接OD,则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CDO=∠AOD=90°,∴OD⊥CD,∴CD与☉O相切.(2)连接BE,则∠ADE=∠ABE.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,AB=2×3=6(cm).在Rt△ABE中,sin∠ABE=AEAB∴sin∠ADE=sin∠ABE=569.解过点P作PD⊥x轴于点D.