第十八章分式课件人教版八年级数学上册

章末复习第十八章

分式【2025新教材】人教版数学

八年级上册

授课教师：********班级：********时间：********第十八章

分式

章末复习一、知识框架构建

通过以上思维导图，清晰呈现分式章节的核心内容架构，便于整体把握知识脉络。二、重点知识回顾与详解（一）分式的概念定义：一般地，如果\(A\)、\(B\)（\(B\neq0\)）表示两个整式，且\(B\)中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)就叫做分式

。例如\(\frac{x}{x+1}\)，\(\frac{2}{a-b}\)都是分式，而\(\frac{3}{5}\)，\(\frac{x^2}{3}\)（分母不含字母）不是分式。有意义的条件：分式的分母不能为\(0\)，即当\(B\neq0\)时，分式\(\frac{A}{B}\)有意义。例如对于分式\(\frac{1}{x-2}\)，当\(x-2\neq0\)，即\(x\neq2\)时，该分式有意义。值为零的条件：分式的值为零需同时满足分子\(A=0\)且分母\(B\neq0\)。如分式\(\frac{x-1}{x+1}\)，当\(x-1=0\)且\(x+1\neq0\)，即\(x=1\)时，该分式的值为\(0\)。（二）分式的运算乘除运算乘除法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D}=\frac{A×C}{B×D}\)；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}=\frac{A×D}{B×C}\)（\(B\neq0\)，\(C\neq0\)，\(D\neq0\)）。乘除混合运算：按照从左到右的顺序依次进行计算，有括号先算括号内，运算过程中可先对分子分母因式分解，再约分简化计算。例如\(\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}÷\frac{x-1}{x+1}×\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}×\frac{x+1}{x-1}×\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+1}\)。乘方运算：分式乘方要把分子、分母分别乘方，\((\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}\)（\(B\neq0\)，\(n\)为正整数）

，如\((\frac{2x}{y^2})^3=\frac{(2x)^3}{(y^2)^3}=\frac{8x^3}{y^6}\)。加减运算同分母分式加减：分母不变，分子相加减，即\(\frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}=\frac{A\pmB}{C}\)（\(C\neq0\)）

，例如\(\frac{2a}{a-b}+\frac{b}{a-b}=\frac{2a+b}{a-b}\)。异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式，再按照同分母分式加减法的法则进行计算，即\(\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD}\pm\frac{BC}{BD}=\frac{AD\pmBC}{BD}\)（\(B\neq0\)，\(D\neq0\)）。确定最简公分母是关键，如计算\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}\)，最简公分母是\(6xy\)，通分后得到\(\frac{3y}{6xy}+\frac{2x}{6xy}=\frac{3y+2x}{6xy}\)。混合运算：运算顺序为先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。例如\((\frac{x^2}{x-1}-x-1)÷\frac{x}{x^2-1}\)，先对括号内化简，再进行乘除运算。负整数指数幂：当\(n\)是正整数时，\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(aâ‰

0\)），引入后同底数幂的运算性质适用于整数指数幂。如\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)，\(3^{-2}×3^4=3^{-2+4}=3^2=9\)。科学记数法：绝对值小于\(1\)的数可以用科学记数法表示成\(a×10^{-n}\)的形式，其中\(1\leq\verta\vert＜10\)，\(n\)是正整数，\(n\)等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）

，如\(0.000025=2.5×10^{-5}\)。（三）分式方程概念：分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程叫做分式方程，如\(\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}\)。解法：基本思路是将分式方程化为整式方程，步骤为去分母（方程两边同时乘以各分母的最简公分母）、解整式方程、检验（检验是否为增根以及是否符合实际意义）。例如解方程\(\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}\)，两边同乘\(x(x-2)\)化为整式方程\(3x=2(x-2)\)求解，最后检验。列方程解实际问题：步骤包括审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答。常见应用于行程、工程、销售等问题，如行程问题中根据时间、速度、路程关系列方程，工程问题依据工作量、工作效率、工作时间关系列方程

。三、经典例题解析（一）分式概念相关例1：当\(x\)为何值时，分式\(\frac{x^2-9}{x+3}\)有意义？值为\(0\)？分析：对于有意义，分母\(x+3\neq0\)；对于值为\(0\)，需分子\(x^2-9=0\)且分母\(x+3\neq0\)。解答：由\(x+3\neq0\)，得\(x\neq-3\)时，分式有意义；由\(x^2-9=0\)且\(x+3\neq0\)，即\((x+3)(x-3)=0\)且\(x\neq-3\)，解得\(x=3\)时，分式值为\(0\)。（二）分式运算相关例2：计算\((\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-2ab+b^2})÷(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2})\)分析：先对分子分母因式分解，再通分计算括号内式子，最后将除法转化为乘法进行运算。解答：\(\begin{align*}&(\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{(a-b)^2})÷(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{(a+b)(a-b)})\\=&[\frac{a(a-b)}{(a-b)^2}-\frac{a^2}{(a-b)^2}]÷[\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}-\frac{a^2}{(a+b)(a-b)}]\\=&\frac{a^2-ab-a^2}{(a-b)^2}÷\frac{a^2-ab-a^2}{(a+b)(a-b)}\\=&\frac{-ab}{(a-b)^2}×\frac{(a+b)(a-b)}{-ab}\\=&\frac{a+b}{a-b}\end{align*}\)（三）分式方程相关例3：解方程\(\frac{x}{x-2}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}\)分析：先确定最简公分母\((x-2)(x-1)(x+2)\)，去分母化为整式方程求解，最后检验。解答：方程两边同乘\((x-2)(x-1)(x+2)\)得：\(x(x-1)(x+2)-(x-2)(x-1)(x+2)=3(x-2)\)展开化简求解得\(x=1\)，检验：当\(x=1\)时，\((x-2)(x-1)(x+2)=0\)，所以\(x=1\)是增根，原方程无解。例4：某工厂现在平均每天比原计划多生产\(50\)台机器，现在生产\(600\)台机器所需时间与原计划生产\(450\)台机器所需时间相同，求原计划平均每天生产多少台机器？分析：设原计划平均每天生产\(x\)台机器，则现在每天生产\((x+50)\)台，根据时间相等列方程。解答：由题意得\(\frac{600}{x+50}=\frac{450}{x}\)方程两边同乘\(x(x+50)\)得：\(600x=450(x+50)\)解得\(x=150\)检验：当\(x=150\)时，\(x(x+50)\neq0\)，所以原计划平均每天生产\(150\)台机器。四、针对性练习基础练习若分式\(\frac{x-2}{x+3}\)无意义，则\(x\)的值为______。计算\(\frac{2a}{a^2-4}-\frac{1}{a-2}\)。解方程\(\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x}\)。提高练习化简\((\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})÷\frac{a}{a^2-1}\)。关于\(x\)的分式方程\(\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}\)有增根，求\(m\)的值。拓展练习甲、乙两人分别从相距\(36\)千米的\(A\)、\(B\)两地同时相向而行，甲从\(A\)地出发至\(1\)千米时，发现有物品遗忘在\(A\)地，便立即返回，取了物品又立即从\(A\)地向\(B\)地行进，这样甲、乙两人恰好在\(A\)、\(B\)中点处相遇，又知甲比乙每小时多走\(0.5\)千米，求甲、乙两人的速度。已知\(a^2-5a+1=0\)，求\(a^2+\frac{1}{a^2}\)和\(a^4+\frac{1}{a^4}\)的值。五、易错点归纳与复习建议（一）易错点归纳分式概念混淆：忽略分式有意义的条件，对分式值为\(0\)的条件理解不全面，导致错误判断。运算错误：分式运算中，乘除时约分不彻底，加减时通分错误，混合运算顺序混乱，负整数指数幂计算时符号出错。分式方程问题：解分式方程忘记检验，导致增根未排除；列分式方程解实际问题时，等量关系找错，单位未统一。（二）复习建议强化概念理解：通过对比整式与分式，加深对分式概念的理解，多做判断分式有意义、值为\(0\)的练习。勤加练习运算：针对分式运算的各类题型，进行专项练习，注意总结运算技巧和易错点，提高运算准确性和速度。重视方程学习：熟练掌握分式方程的解法步骤，养成检验的习惯；在解决实际问题时，认真审题，借助列表、画图等方法准确找出等量关系

。这份复习课件全面梳理了分式章节要点。你可结合自身学习情况，说说练习难度是否合适，或还有哪些知识想重点复习，我会进一步优化内容。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解知识结构分式概念基本性质运算分式方程约分通分乘、除、乘方加、减，及混合运算整数指数幂最简分式知识回顾知识点一分式一般地，如果

A，B

表示两个整式，并且

B

中含有字母，那么式子

叫作分式.整式整式分式A÷B=

被除式÷除式=商当______时，分式

有意义当______时，分式

无意义当

时，分式

值为0B≠0B=0A=0，B≠0举一反三训练1.若分式

有意义，则实数

x

的取值范围是（

）A.

x

≠–1

B.

x>

–1C.

全体实数

D.

x=–1Ax+1≠0x≠–12.若分式

的值为0，则

x的值是_____.2x≠0且

x2

–2x=0x=2分式的基本性质：分式的分母与分子乘（或除以）同一个不等于0的________，分式的值________.最简分式：分子与分母没有公因式的分式.约分：把一个分式的分子与分母的________约去.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式.整式公因式知识点二分式的基本性质其中A，B，C(C

≠0)是整式.不变1.下列各式从左到右的变形，一定正确的是（）C举一反三训练×10×10××√×c

可能为02.若实数

m，n

满足

2m–3n

=

0，且

mn

≠

0，则

的值为______.知识点三分式的运算先乘方，再乘除，然后加减.若有括号，先算括号里面的.加、减法：乘、除法：乘方：混合运算：举一反三训练1.计算：2.化简求值：其中x=4.当x=4时，

知识点四整数指数幂负整数指数幂：运算性质：(1)am·an=am+n

(m，n是整数)(2)

(am)n=amn

(m，n是整数)(3)

(ab)n=anbn

(n是整数)a×10–n

(1

|a|<10，n

是正整数)科学记数法：举一反三训练1.计算：2.石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000000034m.将0.00000000034用科学记数法表示为（

）A.3.4×10-8 B.3.4×10-10C.34×10-11 D.0.34×10-9B知识点五分式方程及其应用1.分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.2.分式方程的解法：分式方程去分母整式方程求解x=mx=m

是分式方程的解目标最简公分母不为0检验举一反三训练1.解下列分式方程：解：方程两边乘x(x+1)，得x2+3(x+1)=x(x+1)解得

x=检验：当x=时，x(x+1)≠0，所以，原分式方程的解为x=.解：方程两边乘(x+3)(x–3)，得2x(x–3)=6+2(x+3)(x–3)解得

x=2检验：当x=2时，

(x+3)(x–3)

≠0，所以，原分式方程的解为x=2.方程两边乘x(x+1)(x–1)，得7(x–1)–6x

=–3(x+1)解得：

x=1检验：当x=1时，x(x+1)(x–1)=0，因此x=1不是原分式方程的解.解：原分式方程可化为所以，原分式方程无解.2.若关于x

的方程的解是正数，则m

的取值范围为__________________.解析：方程两边乘x–2，得2x+m–x+1

=3(x–2)解得x=因为方程的解是正数，所以且x–2≠0.

解得m>–7且

m≠–3.m>–7且

m≠–33.某工程队修建一条1800m的道路，由于采用了新技术，所以工作效率比原计划提高了20%，结果提前3天完成任务.(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米；(2)这项工程，如果要求工程队比原计划提前6天完成任务，那么这个工程队实际每天需修建道路多少米？解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路

xm.由题意，得方程两边乘1.2x，得2160–1800=3.6x解得x=100.检验：当

x

=100时，1.2x

≠

0.所以

x

=100是原方程的解.答：这个工程队原计划每天修建道路

100m.(2)设这个工程队实际每天需修建道路

ym.由题意，得方程两边乘y，得18y–1800=6y解得y=150.经检验：y=150是原方程的解.答：这个工程队实际每天需修建道路

150m.一、核心考点巩固考点1

分式的有关概念

AA.甲对、乙不对

B.乙对、甲不对

C.甲和乙都对

D.甲和乙都不对返回2.下列关于分式的判断正确的是(

)D

返回考点2

分式的基本性质

B

返回4.下列各式变形正确的是(

)D

返回

A

返回

返回考点3

分式的运算7.下列计算正确的是(

)D

返回8.