【基本方法】正数和负数

5/51.1正数和负数1．正确理解具有相反意义的量的意义在实际生活中，常常把零上温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正，而把与它们意义相反的量规定为负，用负数表示．引入负数后，“0”不再仅仅表示没有，而是正数和负数的分界，具有初始位置的意义．(1)相反意义的量基准明确就是说变化过程方向明确，数量明确，不受其他数的影响，也不用关心起始点，此类问题只要规定好一个方面为正，则另一个方面为负就可以．(2)相反意义的量基准不明确有些数据型的量，起点不是以0开始的，则需要把某一个数值视为基准点0，如平均数等，以这个基准值为界，以上的记为“＋”，以下的记为“－”．把具有相反意义的量的表示方法和取“标准”(或“起始”位置)等知识结合在一起，综合性较强，是近几年中考的热点之一．【例5－1】某项科学研究，以45分钟为一个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如，9：15记为－1，10：45记为1等等．依次类推，上午7：00应记为()．A．3B．－4C．－2.15D．－7.45解析：本题中的标准是上午10时为0，表示方法是10时以前记为负，10时以后记为正，要求用新规定来表示7：00.7：00到10：00是180分钟，180÷45＝4，因为7：00在10：00以前，所以7：00应记为－4.答案：B【例5－2】一个物体可以左右移动，若规定向右移动为正，则向右移动10m应记作__________，向左移动4m应记作__________，－8m表示物体__________，0m表示物体__________，向左移动－2m就是向__________移动2m.解析：正、负数可以表示具有相反意义的量，若向右记为“正”，那么向左则记为“负”；或者说若正数表示向“右”，那么负数表示向“左”，零表示不动．答案：＋10m－4m向左移动8m原地不动右【例5－3】小王骑车向东走了10千米，又向西走了5千米．怎样用正负数表示？解：若规定向东为正，则小王骑车向东走了10千米，表示为＋10千米，向西走了5千米，可表示为－5千米；若规定向西为正，则小王骑车向东走了10千米，表示为－10千米，向西走了5千米，可表示为＋5千米．2.有理数的分类有理数有两种基本的分类方法，一种分类根据定义，另一种分类根据数的符号，即有理数的性质．不论哪种分类形式都要有明确分类的依据，分类时要做到不重不漏，两种分类形式不能混淆．必须弄清楚非负数和非正数的范围．正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数．注意：①“小数”属于分数；“自然数”属于整数．②在所有含“正”“负”字眼的数集中，都不能出现“0”．因为“0”既不是正数也不是负数．【例6】把下列各数填在相应的括号内：－3，2，－1，－eq\f(1,4)，－0.58，0，－3.1415926，0.618，eq\f(13,9)，5.23.整数：{…}；负数：{…}；分数：{…}；非负有理数：{…}；负分数：{…}．答案：整数：{－3，2，－1，0，…}；负数：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－1，－\f(1,4)，－0.58，－3.1415926，…))；分数：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－0.58，－3.1415926，0.618，\f(13,9)，5.23，…))；非负有理数：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，0，0.618，\f(13,9)，5.23，…))；负分数：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－0.58，－3.1415926，…)).3．正负数在实际生活中的应用(1)在股票交易中的应用日常生活中水位的变化，股市行情变化，温度升降等都可以用正数和负数表示，不仅能表示出变化的方向，而且还能表示出变化幅度的大小．例如：在股市上，上涨记为“＋”，下跌记为“－”，不涨不跌记为“0”．(2)在产品检测中的应用某一产品质量是否合格，都有一定的指标数值，而实际生产的产品，可能在这一标准上下波动，波动值在规定的范围内称为合格，超出了规定值，则不合格，某粮店出售的某种品牌的面粉袋上标有质量为(25±0.2)kg的字样，从中可以看出，在这袋面粉中，最多可以超出标准质量0.2kg，最低低于标准质量0.2kg，它的标准值是25kg.一般把产品的标准值记为0，在标准值以上的记为正，以下的记为负．解技巧根据标准数确定正、负数抓住标准数，标准以上记为“＋”，标准以下记为“－”，即比标准数量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．【例7－1】股市有风险，投资须谨慎，王先生上周五买进某种股票3000股，每股16元，下表为本周五个交易日的涨跌情况(单位：元)：星期一二三四五每股涨跌0.81.5－0.5－1.10.6相对于前一个交易日，哪天股票是上涨的，哪天是下跌的？分析：根据股票交易表示法，正数表示上涨，负数表示下跌．解：周一、周二、周五这三天是上涨的，周三、周四是下跌的．【例7－2】某品牌奶粉标准质量是454克，超出2克的记为＋2克，若低于标准质量3克以上，则视为不合格．现抽取10袋进行检测，结果如下：袋号12345678910记作－203－4－3－5＋4＋4－5－3(1)这10袋中，有几袋不合格？(2)质量最大的是哪袋，实际质量是多少？(3)质量最小的是哪袋，实际质量是多少？分析：此题是在基准数的基础上波动，所以在基准数的基础上加减．解：(1)有3袋不合格，分别是第4袋、第6袋和第9袋．(2)质量最大的是第7，8袋，实际质量均是454＋4＝458(克)；(3)质量最小的是第6，9袋，实际质量均为454－5＝449(克)．，4.按规律排列的有理数当数的范围扩大到有理数之后，按一定的规律排列有理数，就成为考查有理数的意义以及分类的有效手段，并且成为中考命题的热点．研究数学、学习数学、应用数学的过程，实际上就是探索、研究数学规律并运用数学规律的过程．解决此类问题的关键是建立数与它的序号之间的关系，其中数的符号是首先要考虑的，数的符号一般由数的序号的奇、偶性来决定．对于数字规律性问题，我们要注意观察各部分数字的变化规律以及各数字之间的关系．解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法．数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜想、费尔玛大定理等就是由数学家的探索、猜想而得到的，学习数学必须不断去探索、猜想、总结规律，才会有所发现，有所创造．【例8】观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的三个数，并说出第99个数是什么？第2013个数是什么？(1)1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，__________，__________，__________，…；(2)1，－2，3，－4，5，－6，7，－8，__________，__________，__________，…；(3)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，eq\f(1,6)，－eq\f(1,7)，__________，__________，__________，….分析：(1)(2)小题全部是按正数、负数、正数、负数……的规律排列的一组整数，(1)去掉数的符号后是1，(2)去掉数的符号后是按顺序排列的自然数；(3)是按负数、正数、负数、正数……的规律排列的一组分数，其分母是按顺序排列的自然数，即分母就是数的序号，分子是1.解：(1)1，－1，1，第99个数是1，第2013个数是1；(2