有理数中规律和新定义综合应用的六大题型（北师大版）

专题2.11有理数中规律和新定义综合应用的六大题型

【北师大版】

考卷信息：

本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对有

理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！

【题型1数列型规律探究】

1.(2023春・山东济宁•六年级统考期末)如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第

2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第〃个图形的小圆个数是()

*•••

•・•••・・・

...•・••・・•••

••••・・•••

•*,

①②③④

A.(3九一2)个B.(3n+2)个C.(5n+1)个D.(5n—1)个

【答案】B

【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第〃个图形的小圆个数.

【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即5=2x1+3,

第2个图形有8个小圆，即8=2x2+(3+1),

第3个图形有11个小圆，即ll=2x3+(3+2),

依此规律，第"个图形的小圆个数是：2n+[3+(n-D]=3n+2,

故选：B.

【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律.

2.(2023春・安徽滁州•七年级校考期中)某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，

2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数

是()

A.253B.255C.257D.259

【答案】C

【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成.

【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，乘U3个，3=2+1；

2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5=22+1；

3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9=23+1；

n个小时后细胞存活的个数是2〃+1,

当〃=8时，存活个数是28+1=257.

故选：C.

【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键.

3.（2023春・河北保定•七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律

最后一个三角形中，y的值是（）

生生签

A.380B.382

【答案】B

【分析】根据已知图形得出下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，据此可得答案.

【详解】解：由4=lx2+2,

8=2x3+2,

14=3x4+2,

22=4x5+2,

得到规律：下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，

>=19x20+2=382,

故选：B.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出右边数字是左边数字与1的和，

下面数字是上面两个数字乘积与2的和.

4.（2023春・全国•七年级期末）如图，在数轴上，点4表示数1,现将点4沿数轴作如下移动，第一次将点4向

左移动3个单位长度到达点第二次将点儿向右移动6个单位长度到达点42,第三次将点&向左移动9个

单位长度到达点&，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点4021，那么点4021所表示的数

为（）

A.一3029B.-3032C.-3035D.-3038

【答案】B

【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可.

【详解】「A表示的数为1,

；.4=1+(3)xl=2,

：.A2-2+(3)x(2)=4,

；.43=4+(3)x3=5=2+⑶，

：.A4=5+(3)x(4)=7,

：.A5=1+(3)x(5)=8=2+(3)x2,

二4。21=-2+^^x(-3)=-3032,

故选B.

【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.

5.(2023春•江西上饶•七年级校考期中)把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：

(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),(10,11,12,13,14,15,16),现用等式AM=(i，j)表

示正整数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A8=(3,4),则A2020=()

A.(44,81)B.(44,82)C.(45,83)D.(45,84)

【答案】D

【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；

【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2nl

则1+3+5+7+…+(2nl)=]x2nxn=n2,

当n=44时，n2—1936,

当n=45时，n2=2025,

2020在第45组，且20201936=84,即2020为第45组的第84个数；

故选：D.

【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用

方法；

134

6.(2023春・湖南永州•九年级校考期中)观察下列算式发现规律:7=7,72=49,7=343,7=2401,

75=16807,76=117649,.......,贝！)72020的个位数字是.

【答案】1

【分析】根据7的指数从1到5,末位数字从7,9,3,1,7进行循环，再用2020除以4得出余数，再写

出72。2。个位数字.

【详解】解：t71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,上述的几个式子，易知1次方为末

位数字是7,2次方末位数字是为9,3次方末位数字是为3,4次方末位数字是为1,5次方末位数字是为

7,

个位数字的变化是以7,9,3,1为周期，即周期为4,

2020+4=505,

；.72。2。的个位数字为1,

故答案为：1.

【点睛】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键.

【题型2裂差型规律探究】

1.（2023春•浙江杭州•七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为豹勺矩形，接着把

其中一个面积为:的矩形等分成两个面积为：的矩形，再把其中一个面积为:的矩形等分成两个面积为J的矩

形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+;+;+;+尚+2+2+++三=________.

24o163Z64128256

【分析】根据题意及图形可得;=《，.…依此规律可进行求解.

222442488

【详解】解：由图及题意可得：

111,111,11

-=14-,--1-——1-,--1---1-二1-，…；

222442488

依止匕规律可得：1+-+-+-+—+—+—H——4---=—■；

248163264128256256

故答案为：裂.

256

【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可.

2.（2023春•福建泉州•七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：

第1个等式：的=*="（1-§；第2个等式:«2=^=|xg-J）;

第3个等式：03=备=号*@_习；第4个等式：&4=焉=|*（巳—目；

请回答下列问题:

（1）按以上规律列出第5个等式：的==;

（2）用含n的代数式表示第九个等式：an==（n为正整数）;

（3）求CZ]++Cl3H-----+&2018的值.

（4）求」+^+^+^+……+--—的值

5X1010X1515X2020X252015X2020

【答案】（1）,=工*0一工）；（2）--=.....—）；（3）—；（4）金

9x112\911/（2n-l）（2n+l）2\2n-l2n+lJ403710100

【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；

（2）由题意可知：分子为1,分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1,分母是以这两个奇数为分

母差的一半，由此得出答案即可；

（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；

（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果.

【详解】解：⑴高=\x(W)；

⑵1=1_______

I(2n-l)(2n+l)-2^2n-l271+1)'

(3)%++…+。2018，

2'335403540377

1〜1、

-X(1----------)，

2'4037，

2018

4037

1

（4）金+嬴+康+康+…...+2015X2020’

1八111111111-

51010151520202520152020

1,11、

-X(--------------),

5、52020，

1403

-X-------,

52020

403

10100,

【点睛】本题考查的是有理数运算中的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，并运用运算规律解决问

题”是解题的关键.

3.（2023春・北京•七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉,

例如：|6+7|=6+7；|7-6|=7-6；|6—7|=—6+7；6—7|=6+7

（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：

①|7+2|=_；

@l—1+||=_;

⑵用简单的方法计算：ET+ET+ET+盛-嬴・

【答案】（1）①7+2；…兼1

【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案;

（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案.

【详解】解：（1）①：7+2>0,

|7+2|=7+2；

(g)V-|+1<0,

二段+冷，

/八11,11,11,,11

⑵原式=5一与+[z+[m+-+薪-痂

11

22021

2019

4042

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键.

4.（2023春•河北保定•七年级校联考期中）观察下列各式:

11

—1x-=—1+-

1111

——X-=-----F-

2323

1111

34-3+4

(1)按照上述规律，第4个等式是：_________________________________

(2)第九个等式是：_________________________

(3)运用你发现的规律计算：(.X£)+(—：x2)

(4)(-1x-)+(--x-)-I-x(--—x-)=

\八2/\237V34/I202120227------------------

[答案]=+：

4545

」+工

⑵V已nn+1

2

(3)—W

/八2021

(4-赤

【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案;

(2)根据题目规律可发现，一;岛=—+1

n+1*

(3)按（2）的公式运算即可得出答案;

(4)由规律式子变形，中间部分互相抵消,只剩首项和尾项，即可算出答案.

【详解】(/1八)----1-X-1=------1--1,—1;

4545

111

(2)------=----------1----------

nn+1nn+1'

1r,(11\1,11,1_11_2

(3)--X-+(-----X-)=---------1-------------1--

56,\67/56675十7-35；

(4)原式=-1+I—I+12021

20二21+二20222022

【点睛】本题考查找规律，抽象概括出规律并能计算是解题的关键.

5.（2023春•河南新乡•七年级校考期中）（1）［义］=

123

-X-X-=

234-

-1x2-x-3x-4=

2345

x+士(=1123471

猜想：-X-X-X-X........X——=

2345n+1

（2）根据上面的规律，解答下列问题:

1

①计算:岛T）x（e-1）义（表T）Xxfi-l'jxfi-l

,3,2

②将2020减去它的也再减去余下的点再减去余下的［……,依次类推，最后减去余下的茄篇，则剩余的结

果是多少?

【答案】（1）;;1;京；（2）①一磊，②1

【分析】（1）约分计算即可求解;

（2）①先算括号里面的减法，再约分计算即可求解；②根据题意列出算式2020x（1-》x（lX...X

（1一焉），再先算括号里面的减法，再约分计算即可求解•

121

【详解】解:(1)-X

233

1231

-x-X-=

2344

12341

X-X-X-=

23455

1234n1

-x-x-X-Xx___=___

2345n+ln+1

故答案为：111

4；5；n+l；

⑵①岛一1)x(/T)x舄.1)X...X(j-1)X(1-1)X(|-1)

999897321

---------X-----X-----X...X-X-X-

1009998432

1

100,

②依题意有:

111

2020x(l--)x(l--)x...x(l-——)

乙O4U4U

122019

=2020x-x-x...x

232020

=1.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，第（2）问根据题意列出算式是解本题的关键.

6.（2023春・浙江金华•七年级统考期中）我们知道：11211113211_1

21X21X21X2232X32X32x334

43士；…‘反过来’可得：a=1一a111111…，各式相加，可得：6+

3X43X42X3233X434

_41।.11_1_3

—।|一±1—一

士+七2233444

根据上面的规律，解答下列问题:

⑴贵+嘉+出+短+点+备=

Q）计算：腺+之+焉+…+1

97X101*

1111

（3）计算:而乃+石石茄+痂菽6+…+94X97X1。。

【答案】（琮

25

⑵而

⑶氏

【分析】(1)根据规律，裂项相减即可求解;

⑵每项提好然后根据规瓶裂项相减即可求解;

(3)每项提出；，然后根据规律，裂项相减即可求解.

6

11

【详解】(1)解:十J_..

1x22X33X44x55x66X7

11111111111

=1——+-------4-———+---+-——+

2234455667~~7

1

=1

7

6

7

(2)解:原式=；x(lV+L+A[+…+?—

110025

-X----=------

4101101

1111111

(3)解：原式=*x(高一4X7+4X77X10+7X1010X13+…+94X9797X100.

iXf--------)=

6\4970072425

【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键.

【题型3新定义型规律探究】

L(2023春•四川成都・七年级校考期中)已知："言=3,/=嗡=处党=.=15,一,

观察上面的计算过程，寻找规律并计算C&=

【答案】165

【分析】对于4(b<a)来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始，依次减1,

b个连续的自然数相乘.

5x4x36X5X4X3

【详解】解「*=言=3,===10,C1=15,

1x2x31X2X3X4

11x10x9x8x7x6x5x4.._

••・%=------------------------=165,

“1X2X3X4X5X6X7X8

故答案为：165.

【点睛】此题考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键.

2.(2023春•全国•七年级期末)符号“广表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

(1)/(I)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,...；

(2)/(|)=2,/(|)=3)/(J)=4,/(|)=5,....

利用以上规律计算：/(-^-)-/(2008)=____.

ZUUo

【答案】1

【分析】直接利用运算公式化简，即可得出答案.

【详解】解:<0-7(2008)

ZUUo

=20082007

二1,

故答案为：1.

【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，

并应用发现的规律解决问题.

3.(2023春•江西宜春•七年级统考期中)对于正数支，规定/(X)=W，例如:/(2)=展=|，/⑶=*=［，

11

f©=占=£f®=壬=J……利用以上规律计算：

23

/(短)+，(含)+，岛)+……+f(9+/G)+，⑴+，⑵+……+/(2。19)的值为:一.

【答案】2018|

【分析】按照定义式/(%)=忘，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的%最后再求和即可.

【详解】〃短)+f(嘉)+f(表)+-■••+居)+居)+f⑴+f⑵+-■••+f(2019)

=—+—+—+++++-+••-+-+—+—

2020201920184323201820192020

12019.,,1.2018,,,1,2017.,zl,3.A2.1

、202020207v20192019yv201820187、4"、33，2

=2018+-

2

=201屋

2

故答案为：2018|

【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键.

4.(2023春・山西临汾•七年级校联考期中)探究规律，完成相关题目.

老师说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算.”

然后老师写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：

(+5)团(+2)=+(|5|+|2|)=+7；

(—3)回(—5)=+(|3|+|5|)=+8；

(-3)0(+4)=-(|3|+|4|)=-7；

(+5)团(-6)=-(|5|+|6|)=-11；

00(+8)=8；

(-6)00=6.

小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※(加乘)运算的运算法则了.“聪明的你也明白了吗？

(1)归纳※(加乘)运算的运算法则.

两数进行※(加乘)运算时，运算法则是：_；

特别地，0和任何数进行※(加乘)运算，或任何数和0进行※(加乘)运算运算法则是：

⑵计算：

①(-5)团[0团(-3)]；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致)

②[(一4)团3]团[(一10)团(-5)].

【答案】(1)两数进行※(加乘)运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；0和任何数进行

X(加乘)运算，或任何数和0进行※(加乘)都等于这个数的绝对值

(2)①一8；②一22

【分析】(1)归纳总结得到加乘法则，写出即可；

(2)各式利用得出的法则计算即可求出值.

【详解】(1)两数进行※(加乘)运算时，运算法则是：两数进行※(加乘)运算时，同号得正，异号得

负，并把它们的绝对值相加；

特别地，0和任何数进行※(加乘)运算，或任何数和0进行※(加乘)运算运算法则是：0和任何数进

行※(加乘)运算，或任何数和0进行※(加乘)都等于这个数的绝对值；

(2)①根据题中的新定义得：

(-5)0[00(-3)]

=(-5)133

=-(5+3)

=—8；

②根据题中的新定义得：

[(一4)团3]团[(一10)团(-5)]

=-7015

=-(7+15)

=-22.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

5.(2023春・重庆潼南•七年级统考期末)阅读材料，探究规律，完成下列问题.

甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*(加乘)运算.“然后他写出了一些按照*(加乘)运算的运算法

贝U进行运算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(一9)=+10；(—3)*(+6)=—9；(+4)*(—4)=-8；0*

(+1)=1；0*(-7)=7.乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*(加乘)运算的运算法则了.“聪

明的你也明白了吗？

(1)请你根据甲同学定义的*(加乘)运算的运算法则，计算下列式子：

(-2)*(-7)=_；(+4)*(-3)=_；0*(-5)=

请你尝试归纳甲同学定义的*(加乘)运算的运算法则：

两数进行*(加乘)运算时，

特别地，0和任何数进行*(加乘)运算，

(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*(加乘)运算中还适用吗？

请你任选一个运算律，判断它在*(加乘)运算中是否适用，并举例验证.(举一个例子即可)

【答案】(1)+9-75同号得正，异号得负，并把绝对值相加等于这个数的绝对值

(2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析.

【分析】(1)根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则；

(2)对于加乘运算的交换律，可举例(-3)*(-5),(-5)*(-3),进行运算后再判断，对于加乘运算的结合

律，可举例[0*(一3)]*(-5),0*[(—3)*(-5)],进行运算后再判断即可.

【详解】(1)解：根据加乘运算的运算法则可得：

(―2)*(—7)=+9；(+4)*(—3)=—7；0*(—5)=5.

归纳可得：

两数进行*(加乘)运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加.

特别地，0和任何数进行*(加乘)运算，等于这个数的绝对值.

(2)解：加法的交换律仍然适用，

例如：(-3)*(-5)=8,(-5)*(-3)=8,

所以(—3)*(—5)=(-5)*(—3),

故加法的交换律仍然适用.

加法的结合律不适用，

例如：[0*(—3)]*(-5)=3*(-5)=-8,

0*[(-3)*(—5)]=0*(+8)=8,

所以[0*(—3)]*(—5)丰0*[(-3)*(-5)],

故加法的结合律不适用.

【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳

总结运算法则是解本题的关键.

6.(2023春・北京房山•七年级统考期末)将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组.在这几个数字

前任意添加“+”或“”号，可以得到一个算式.若运算结果可以为0,我们就将这个数组称为“运算平衡”数组.

(1)数组1,2,3,4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；

1234=

(2)若数组1,4,6,6是“运算平衡”数组，则小的值可以是多少？

(3)若某“运算平衡”数组中共含有几个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？

【答案】(1)是，+123+4=0；(2)m=±l,±3,+9,±11；(3)这n个整数互不相同，在这n个数字前任

意添加“+”或“”号后运算结果为0.

【分析】(1)根据“运算平衡”数组的定义即可求解；

(2)根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的方程，解方程即可；

(3)根据“运算平衡”数组的定义可以得到n个数的规律.

【详解】解：(1)数组1,2,3,4是“运算平衡”数组，+123+4=0；

(2)要使数组1,4,6,皿是“运算平衡”数组，有以下情况：

l+4+6+m=0；l+4+6+m=0；14+6+m=0；l+46+m=0；l+4+6m=0；14+6+m=0；l+46+m=0；l+4+6m=0；146+m=O；

14+6m=0；l+46m=0；146+m=0；14+6m=0,l+46m=0,146m=0；146m=0；共16中情况，

经计算得m=±l,±3,±9,±11；

(3)这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“”号后运算结果为0.

【点睛】本题考查了新定义问题，理解“运算平衡”数组的定义是解题关键.

【题型4含M型规律探究】

1.(2023春•全国•七年级期末)观察下列等式：

(1)I3=I2

(2)13+23=32

(3)I3+23+33=62

(4)13+23+33+43=102

根据此规律，第10个等式的右边应该是a?,贝必的值是()

A.45B.54C.55D.65

【答案】C

【分析】根据所给的算式，探索其底数之间的关系，根据规律解答即可.

【详解】其底数之间的关系为：

(1)1=1

(2)1+2=3

(3)1+2+3=6

(4)1+2+3+4=10

(10)1+2+3+…+10=55

故选：C

【点睛】本题考查的是探索数字之间的规律，关键是要善于观察，抓住其底数之间的关系.

2.(2023•浙江嘉兴•七年级校联考期中)数列：0,2,4,8,12,18,…是我国的大衍数列，也是世界数

学史上第一道数列题.该数列中的奇数项可表示为唉，偶数项表示为

如：第一个数为9=0,第二个数为9=2,…

现在数轴的原点上有一点P,依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃.

第1秒时，点P在原点，记为P1；

第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2,此时点P2所表示的数为2；

第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3,此时点P3所表示的数为2；

按此规律跳跃，点P20表示的数为.

【答案】110

【分析】通过总结规律和数轴上表示即可求解.

【详解】第1秒时，点P在原点，记为P1;

第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2,此时点P2所表示的数为2；

第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3,此时点P3所表示的数为2；

第4秒时，点P向左跳8个单位，记为P4,此时点P3所表示的数为6；

第5秒时，点P向右跳12个单位，记为P5,此时点P4所表示的数为6；

第6秒时，点P向左跳18个单位，记为P6,此时点P5所表示的数为12；

第7秒时，点P向右跳24个单位，记为P7,此时点P6所表示的数为12；

P6P4P2PlP3P5P7

ol.lI111,1I1,1111%。

-13-T2-1H0-9-8-7-6-5M-3-2-101234567891011121314

通过规律得出以。为轴左右两边的绝对值相等，符号相反，只要求出一边即可得出结论，通过秒数为奇数

1对应0,3对应2,5对应6,7对应12,以此推类得出奇数所对应的数值为将P21代入得110,所

以P20为110.

答案为110.

【点睛】本题主要考查了规律和数轴，正确找出规律是关键.

3.(2023春・广东珠海•八年级校联考期末)观察下列式子：

0x2+1=12...①

1x3+1=22...②

2x4+1=32...③

3x5+1=42...④

(1)第⑤个式子，第⑩个式子;

(2)请用含〃(”为正整数)的式子表示上述的规律，并证明:

⑶求值：(1+高)(1+六)(1+/(1+左)…⑺赤京).

【答案】(1)4x6+1=52,9x11+1=102；(2)(〃-1)(〃+1)+1=/；(3)

【分析】(1)观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方;

(2)根据(1)中发现的规律解答即可；

(3)先通分，然后根据(2)中结论解答即可.

【详解】解：(1)第⑤个式子为4x6+1=52,第⑩个式子9x11+1=102,

故答案为4x6+1=52,9xll+l=102；

(2)第〃个式子为(n-1)(〃+1)+1=/2,

证明：左边=/-1+1=/,

右边=/,

...左边=右边,

BP(n-1)(n+1)+l=n2.

1x3+12x4+13x5+12016X2018+1

(3)原式=-----------X-----------X-----------■Xx---------------------

1X32X43X52016X2018

2232425220172

------X-------X-------XX...X------------------

1X32X43x54X6-----------2016x2018

2X2017

2018

_2017

1009,

【点睛】本题考查了规律型数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用

发现的规律解决问题.

4.(2023春・四川乐山•七年级统考期中)⑴把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来:

1/(1+抓1号)

11

1*(1+0(1-R

11

14(1+')(')

11

1G(1+/1-])

(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1-*=

(3)利用上述规律计算下式的值：(l1)x(l1)x(li)x...x(i-L)x(1_J_)

【答案】(1)见解析；(2)(1+；)(1—；)；(3)券.

【分析】(1)根据有理数的乘法和乘方运算分别计算结果可得；

(2)根据以上表格中的计算结果可得；

(3)根据以上规律，将原式裂项、约分即可得.

【详解】(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：

11

1-专(1+/1-5)

1/11

11

1/(1+4)(')

1-曰1（1+加11—N1

（2）观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1一七=q+》（i—

故答案为（1+~）（1—；）

（3）原式=（吗）（1*呜）（今（1中/…刘琮）（琮）x（1喻）《脸）

101

200

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法和乘方运算法则及数字的变化

规律.

5.（2023春・河南郑州•七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：I2=北衿；12+22=F；12+22+

66

3c?2=-3-x4-x-7；Iy27+2<-»27+372+A472=4-x-5-x-9；...

66

⑴根据上述规律，求I?+22+32+42+52的值；

（2）你能用一个含有n5为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；

⑶根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152.

【答案】⑴55

(3)780

【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可;

（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可;

（3）原式利用得出的规律计算即可求出值.

【详解】(1)M+22+32+42+52=55；

(2)12+22+……+n="(n+l)(2n+l)

(3)II2+122+132+142+152=(I2+22+……152)-(I2+……102)=1240-460=780.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.（2023春.北京.七年级北京四中校考期中）阅读材料.

我们知道，l+2+3+...+n上生罗，那么12+22+32+...+!?结果等于多少呢？

在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1,即12,第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22,…；

第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+...+n,即1?.这样，该三角形数阵中共有智2个圆圈，所有圆圈中数

的和为l2+22+32+...+n2.

窘

行

等

JT行-

室

新

第-1

而

图2

【规律探究】

将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数

(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为,

由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(l2+22+32+...+n2)=,因此，

l2+22+32+...+n2=.

【解决问题】

根据以上发现，计算：与鲁士手的结果为_____.

1+2+3H-----FlO

【答案】2n+l,"("+D-+1),i+1)(2"+1)；7.

26

【分析】根据图1和图2,归纳总结得到一般性规律，利用此规律确定出所求即可.

【详解】解：【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数

阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三

个圆圈中数的和均2n+l；由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+...+n2)

^(n+1)(2n+l)；因此，y+22+32+…+/=帅+1)3+1)；

26

【解决问题】根据以上发现，计算：：二：二：的结果为7.

1+2+3H-----hll)

故答案为2n+l;03+1)；n(n+l)(2-D

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【题型5定义两个数的运算】

1.(2023春・天津•七年级校考期末)现定义运算“*”，对于任意有理数a,b满足a*b=fa或0如

5*3=2x5-3=7,-2x1=-j,若x*3=5,则有理数x的值为()

A.4B.11C.4或11D.1或11

【答案】A

【分析】对x的取值分为两种情况，当xN3和x<3分类求解，得出符合题意得答案即可.

【详解】当XN3,则X*3=2X-3=5,X=4；

当x<3,则x*3=x-2x3=5,x=ll,但11>3,这与x<3矛盾，所以此种情况舍去.

.,.若x*3=5,则有理数x的值为4,

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题目中运算规则是解题的关键.

2.(2023春・重庆万州•七年级统考期末)定义一种新运算“⑤”，规定：a⑤b=2a-3b等式右边的运算

就是加、减、乘、除四则运算，例如：20(-3)=2x2-3x(-3)=4+9=13,102=2x1-3x2=

2-6=-4.贝式-1)®[30(—2)]的值是().

A.-2B.-18C.-28D.-38

【答案】D

【分析】根据新运算的运算法则，先计算3(8)(-2),再计算(-1)(8)[30(-2)]即可得解.

【详解】解：由题意，得：30(—2)=2x3-3x(—2)=12,

/.(-1)®[30(-2)]=(-1)012=2X(-1)-3X12=-38；

故选D.

【点睛】本题考查定义新运算.理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键.

3.(2023春・浙江台州•七年级校考期中)定义：对于任意的有理数a,b(a力b),a㊉6=+a+b)

⑴探究性质：

①例：302=；2©3=；(-3)©2=；(-3)0(-2)=；

②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含“，b的式子表示出a㊉6的一般规律；

(2)性质应用：

①运用发现的规律求a―92.5)©16.33J©，(—33.8)©(—4)7的值；

②将-11,-10,-9,-8……，7,8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两

个数中任一数值记作。，另一个记作6,求出a㊉d10组数代入后可求得10个a㊉b的值，则这10个值

的和的最小值是.

【答案】⑴①3,3,2,-2；②见解析，一般规律为a㊉b=｛设：：

(2)①16.33；②—10

【分析】(1)①根据定义a㊉b=g(|a-b|+a+b),a力b即可求解；②举例3㊉(-2),(-2)㊉(-3),通

过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；

(2)①直接利用规律进行求解；②不妨设a>6,则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a,由此

即可解决问题.

【详解】(1)解：①a㊉b=](|a-+a+b),a4b,

3©2=|(|3-2|+3+2)=3,

2㊉3=|(|2—3|+2+3)=3,

(—3)㊉2=£(|—3—2|—3+2)=2,

(-3)®(-2)=j(|-3+2|-3-2)=-2,

故答案为：3,3,2,-2；

②例如：3㊉(-2)=黄|3+2|+3-2)=3,

(-2)㊉(-3)=|(|-2+3|-2-3)=-2,

通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，

用a,6的式子表示出一般规律为a㊉b=

(b,b>a

(2)解：①f(-92.5)©16.33j©f(-33.8)©(-4)J

=16.33©(-4)

=16.33；

②不妨设a>b,则代数式中绝对值符号可直接去掉，

代数式等于a，

a为偶数，b=a-1

最小值=(—1。)+(—8)+(—6)+(—4)+(—2)+0+2+4+6+8=-10,

故答案为：—10.

【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找

到新定义的运算规律，利用规律进行求解.

4.（2023春•江西景德镇•七年级统考期中）材料一：对任意有理数a,b定义运算“⑤"，a®b=a+b-等

如：102=1+2-等，10203=1+2-等+3-等=-2。17.

材料二：规定二］表示不超过a的最大整数,如［3.1］=3,［-2］=-2,［—1.3］=—2.

(1)2⑤6=，［—兀］比］=.

(2)求1020304...0202202023的值:

（3）若有理数相，"满足m=2［n=3［n+1］,请直接写出zn（8）+71］的结果.

【答案】⑴-等，-64

(2)2023

小2053

⑶一―厂

【分析】（1）根据材料1新定义的运算“⑤”的概念即可求出206的值，根据材料2中的定义即可求出［-回㈤

的值；

（2）根据新定义函数把l（8）2（8）3O4...（8）2022（8）2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1③

20304...0202202023的值；

（3）根据m=2［汨=3［九+1］求出m的值和71的范围，再求出［m+九］的值，即可得出?n便）