余角和补角（教学设计）-七年级数学上册（人教版）

4.3.3余角和补角教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册(以下统称“教材”)第四章“几何图形初步”

4.3.3余角和补角，内容包括：余角、补角的概念；余角和补角的性质；利用余角、补角的知识解决相关

问题；用方位角知识解决一些简单的实际问题.

2.内容解析

余角和补角是新人教版七年级上册第四章《几何图形初步》这一章中两个比较重要的基本概念.前面

学生对角的度量和大小比较的学习已经为学习角和补角打下了一定的基础，通过对余角和补角的性质的探

索，让学生初步了解学习运用几何语言分析和解决问题“简单说理”，为以后证明角的相等提供依据和方

法，是以后学习的重要基础.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：认识角的互余、互补关系及其性质.

二、目标和目标解析

1.目标

(1)了解余角、补角的概念.

(2)掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.

(3)了解方位角的概念，初步掌握方位角的判别；并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.

2.目标解析

学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的性质并会运用；学生初步接触和

体会演绎推理的方法和表述，并且能用简单的代数思想一方程思想来处理图形的数量关系；通过探索互余、

互补角的性质，培养学生乐于合作、勇于探究的精神.

三、教学问题诊断分析

七年级学生，童稚未尽.小学的学习方法、思维方式还占主要地位.以形象思维为主，还没有形成抽象

思维，尤其是知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养.因此学习这部分内容，一定要让他们多动手，

多看图，多讨论.在讨论交流中学习知识.

基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用

规范的语言描述性质.

四、教学过程设计

(一)情境引入

如图，要测量两堵围墙所形成的NAOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？画出图形，并简述你

的测量方法.

A

B

0

（二）自学导航

求下列各图中的两个角的和，并根据这些和把这四个图分成两组.你是怎么分的？每一组中的两个角

的和有什么共同的特点？

⑵（4）为一组,它们的和都是90°,⑴⑶为一组,它们的和都是180°.

【归纳】

一般地，如图（1）,如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一

个角的余角.

类似地，如图（2）,如果两个角的和等于180。（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一

个角的补角.

⑵

在一副三角板中，每块都有一个角是90°,那么另外两个锐角之和是多少度呢？这两个锐角之间有什

么关系？

30°+60°=90°（互余），45°+45°=90°（互余）.

图中给出的各角，哪些互为余角？

图中给出的各角，哪些互为补角？

(三)合作探究

思考1:

Na/a的余角/a的补角

5°

32°

45°

77°

62023，

x°(0<x<90)

观察可得结论：锐角的补角比它的余角大.

思考2：(1)若N1与/2,都互为补角，/2与的大小有什么关系？

(2)若N1与N2互补，N3与N4互补，且Nl=/3,那么N2与/4的大小有什么关系？

(1)因为N1与N2,/3都互为补角，

所以Z2=180°Zl,Z3=180°Z1

所以Z2=Z3

(2)因为N1与/2互补，/3与/4互补

所以Z2=180°Zl,Z4=180°Z3

因为Z1=Z3

所以Z2=Z4

【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角相等.余角的性质：同角(等角)的余角相等.

(四)考点解析

例1.已知Na的余角是它补角的高，求Na的度数.

分析:4a的余角90。一乙a

条件

2a的补角180。一乙a

乙a的余角=；x2a的补角

相等关系

解：Za的余角为90°Za,补角为180°Za.

根据题意，得90°Za=|(180°Za),

解得Na=67.5°.

【迁移应用】

1.若Na=29°45',则Na的余角等于()

A.60°55'B.60°15,C.150°55,D.150°15'

2.已知N1与N2互余，Zl=(7x2)°,Z2=(3x+2)°,则x的值是.

3.一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角的度数.

解：设这个锐角的度数为X。.

根据题意,得180x=3(90x),

解得x=45.

故这个锐角的度数为45。.

例2.(1)如图①，ZA0B=ZC0D=90°,Z1与N2相等吗?为什么？

⑵如图②，直线MN与PQ相交于点E,/I与N2相等吗？为什么？

P

①②

解：⑴相等.理由如下：

因为NC0D=90。，

所以/2+/B0C=90°.

因为NA0B=90°,

所以/l+NB0C=90°.

所以/1=N2.

（2）相等.理由如下：

因为点M,E,N在同一条直线上，

所以/MEN=180°,即/2+NPEN=180°.

因为点P,E,Q在同一条直线上，

所以/PEQ=180°,即/l+/PEN=180°.

所以N1=N2.

【迁移应用】

1.已知/I与/2互补，与/4互补，且/1=/3,那么（）

A.Z2>Z4B.Z2<Z4C.Z2=Z4D./2与/4的大小不确定

2.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点0,绕点0任意转动其中一个三角板，则与

/A0D始终相等的角是（）

A.ZBODB.ZABOC.ZBOCD.ZBA0

3.如图，D是直线EF上一点，ZCDE=90°,Z1=Z2,哪些角互为余角？哪些角互为补角？

解：N1与NADC,/I与/BDC,N2与NBDC,/2与NADC互为余角；

/I与/ADF,/I与/BDE,/2与/ADF,/2与/BDE,/CDE与/CDF互为补角.

例3.NLN2互为补角，且N1>N2,则N2的余角是（）.

A.Z1+Z2B.Z1Z2C.Z190°D.90°Z1

陟思路分析

【迁移应用】

L如图，0是直线AB上一点，0E平分/AOB,ZC0D=90°,则图中互余、互补的角各有（）

A.3对、3对B.4对、7对C.4对、4对D.4对、5对

E

AOB

2.若Na和互补，且则下列表示/B的余角的式子：①90°NB；②Na90°；③［（/

a+NB）；④其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

例4.如图，已知NA0B和NC0D都是/B0C的余角，OE,OF分别为NAOB和/C0D的平分线，且/

A0D=130°.

（1）求NB0C的度数；（2）求NE0F的度数.

OD

»思路分析

ZAOD=ZAOB+ZBOC+ZCOD,

ZAOB+ZBOC=90°,

NC0D+NB0C=9Q°

]

ZAOD+ZBOC=180°

ZAOB=ZCOD=900-ZBOC,

ZAOE=！/AOB,ZDOF=^-ZCOD

ZEOF=ZAOD-AAOE-ZDOF

解：⑴因为/AOB和/COD都是NBOC的余角,

所以/A0B+NB0C=90°,NC0D+NB0C=90°,

所以(ZAOB+ZBOC+ZCOD)+ZB0C=180°,

即NA0D+ZB0C=180°.

因为/A0D=130°,

所以NB0C=180°ZA0D=50°.

(2)因为NAOB和NCOD都是/BOC的余角，ZB0C=50

所以NA0B=/C0D=40°.

因为OE,OF分别是/AOB,ZCOD的平分线，

所以/A0Eg/A0B=20。,ZDOF=|ZCOD=2O°,

所以NE0F=/A0DNA0END0F=130°20°20°=90°.

【迁移应用】

1.如图，NA0B和NA0D分别是NA0C的余角和补角，且0C是/BOD的平分线，求NCOD的度数.

解：设/AOB=x°.

因为/AOB是NAOC的余角，所以NA0C=(90x)°.

因为/AOD是/AOC的补角，

所以/A0D=180°ZA0C=180°(90x)°=(90+x)°，所以NC0D=NA0DNA0C=(90+x)°(90x)°=(2x)°,

ZBOC=ZAOCZAOB=(90x)°x°=(902x)°.

因为0C是NBOD的平分线,

所以/COD=NBOC,

所以2x=902x,

解得x考.所以/C0D=2x=45°.

2.如图,0D平分NBOC,0E平分NAOC.

(1)若NB0C=70°,ZA0C=50°.

①求/AOB及其补角的度数；

②求ND0C和NAOE的度数，并判断ND0E与NA0B是否互补，说明理由.

⑵若/BOC=a,/AOC=B,则/DOE与/AOB是否互补？说明理由.

解:(1)①NA0B=NB0C+NA0C=70°+50°=120°,NA0B的补角为180。ZA0B=60°.

②ND0C=35°,ZA0E=25°,/DOE与/AOB互补.理由如下：

因为0D平分NBOC,0E平分NAOC,NB0C=70°,ZA0C=50",

所以/D0C=：-1/B0C=35。，ZC0E=j-1ZA0C=25°.

所以ND0E=ND0C+NC0E=35°+25°=60°.

由①知NA0B=120°,

所以NDOE+NAOB=60°+120°=180°.

所以ND0E与NA0B互补.

(2)ZD0E与/AOB不一定互补.理由如下：

由题意，得/DOC三/B0C=|a,ZCOE=iZAOC=i0,

ZA0B=ZB0C+ZA0C=a+&,

所以/DOE=NDOC+NCOE=-13t+-1)=：-1(ot+B)

所以ZD0E+ZA0B=|(a+B)+(a+0)=j(a+P).

因为a+B的度数不确定，

所以NDOE与NA0B不一定互补.

(五)自学导航

方位角

1.正东、正南、正西、正北分别是射线OA、OB、OC、0D

2.东南方向是射线0G,东北方向是射线0H,西南方向是射线OF,西北方向是射线0E.

3.东南方向(),东北方向(),西南方向(),西北方向().

4.射线0A表示的方向是：；射线0B表示的方向是：；射线0C表示的方向是:

例5.如图，指出0A是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线:

⑴射线0B：南偏东25°；

⑵射线0C：南偏西60°；

(3)射线0D：西北方向.

北

南

解：射线0A表示北偏东30°方向.

(1)射线0B如图所示.

(2)射线0C如图所示.

（3）射线0D如图所示.

北

南

【迁移应用】

L如图，下列说法中错误的是（）

A.OA的方向是东北方向

B.OB的方向是北偏西30°

C.0C的方向是南偏西60°

D.OD的方向是南偏东30°

北

南

2.海面上货轮A在客轮B的北偏东68°方向上，则客轮B在货轮人的（）方向上.

A.北偏东68°B.南偏西68°C.北偏东22°D.南偏西22°

3.如图，已知射线0A与射线0B的夹角为90°,射线0A表示北偏西25。的方向，则射线0B表示的

方向为.

北