中考数学难点突破与经典模型专练：二次函数中的面积问题（学生版+解析）

专题40二次函数中的面积问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2022•全国•九年级专题练习）如图，已知抛物线y=-无2+px+q的对称轴为x=—3,过其顶点M的一条

直线y=与该抛物线的另一个交点为N（-1,1）.点尸的坐标为（0,1）,则APAW的面积为（）

A.2B.4C.5D.6

2.（2022・湖北・汉川市实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线卬、=合+法+。（。#0）与尤轴只有一个公共

点A（2,0）,与y轴交于点3（0,4）,虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线七，则图

中两个阴影部分的面积和为（）

A.4B.2C.6D.8

3.（2022•广东・江门市新会东方红中学二模）如图，抛物线y=-（x+m『+4的顶点为P,将抛物线向右平移

3个单位后得到新的抛物线，其顶点记为设两条抛物线交于点C,则△PMC的面积为（）

4.（2019•浙江•瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，抛物线y=-/+2x+3与x轴交于A、B两点（A在8

的左侧），与'轴交于点C,点尸是抛物线上位于x轴上方的一点，连接AP、BP,分别以AP、3P为边向△A3P

外部作正方形APE。、BPFG,连接跳入AG.点尸从点A运动到点8的过程中，△A3。与△A2G的面积和

的变化情况是（）

A.先增大后减小B.先减小后增大

C.始终不变D.一直增大

5.（2021•贵州铜仁•三模）如图，抛物线y=一炉+ax+b与直线y=相交于A（4,-3）,8（0,5）两点，点C

是抛物线的顶点.下列结论正确的个数（）

（1）AB=4右；（2）抛物线为：y=-尤2+2/5；⑶当0<x<4时，代数式/一4元的值是负数；（4）AABC

的面积为6

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.（2022・江苏.九年级专题练习）如图，点A是抛物线y=/图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐

标大于1,点E的坐标是（0,1）,过点A作A8〃x轴交抛物线于点8,过A、B作直线AE、BE分别交无轴

于点。、C,设阴影部分的面积为S,点A的横坐标为加，贝依关于加的函数关系式为（）

C.S=2mD.S=m2-m

7.（2020.浙江台州.九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-7一以与1轴交于O,A两点，

点B为x轴上一点且AB=30,将AB绕点A逆时针旋转45。得到AC,使得点C恰好落在抛物线上，点尸

为抛物线上一点，连接4P,PC,PCLAC,则ABAC的面积为（）

A.9B.3拒C.672D.3

2

8.（2020•浙江杭州•九年级专题练习）如图，已知二次函数y=§（x+3）（x-1）的图象与x轴交于点A、B,

与》轴交于点C,顶点坐标为则ABC与△ABD的面积之比是（）.

347

A.B.C.D.

47I

9.（2022•浙江温州•九年级期中）如图，抛物线＞=—2x+c与x轴交于点A,B两点,与y轴负半轴交于

点C,其顶点为M,点D,E分别是的中点，若2。仍与，ACO的面积比为9：10,则c的值为（）

y

M

35

A.—B.—2C.—D.—3

22

10.（2021.河南省淮滨县第一中学九年级期末）如图，二次函数产f—2x-3的图象与x轴交于点A,B,交

y轴于点C点。在该函数第四象限内的图象上，若△3CD的面积为一27，则点。的横坐标是（）.

O

33

A.1B.—C.—D.2

24

13

11.（2018•山东济南・三模）如图,抛物线y=--x2+x+-与坐标轴交于A,8两点，与y轴交于点C.CD//AB,

如果直线丫=网-2（心0）平分四边形的面积，那么上的值为（）

二、填空题

12.（2022•北京市师达中学九年级阶段练习）已知抛物线y=/-4与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,

则ABC的面积为.

13.（2022.安徽合肥・九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=3）?+4

（fl<0）的顶点为A,与抛物线y=a?+4交于x轴上方的点8.

（1）点2的横坐标是

（2）过点B作平行于x轴的直线，分别与两条抛物线的另一个交点为。，C,连结A。，AC,OC,OD,则

四边形ACOD的面积为

14.（2022•重庆一中九年级阶段练习）如图，已知A（1,1）,B（3,9）是抛物线y=V上的两点，在y轴

上有一动点P,当小PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为.

15.（2022・福建・莆田擢英中学九年级阶段练习）如图，已知A,B,C是函数y=d图象上的动点，且三点

的横坐标依次为a+1,a,小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面

积是个定值，则这个定值为.

2

三、解答题

16.(2022.黑龙江・哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习)如图,抛物线y=-26+c与x轴交于点A、

点、B,与y轴交于点C,A点坐标为(一L。)，连接AC,若tan/ACO=g.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为第一象限抛物线上一点，连接4P、BP,设点P的横坐标为乙尸的面积为S,求S与，的函数

解析式：

17.(2023•吉林省第二实验学校九年级阶段练习)如图，地物线＞=加+法+。与工轴交于4(-1,0),83,0)两

点，与y轴交于点。(0,-3).

(1)求出该地物线的函数关系式；

(2)点尸是抛物线上的一个动点，设点尸的横坐标为根(0＜加＜3).直接写出.尸。的面积的最大值.

18.(2021・新疆・乌鲁木齐市第十五中学九年级期中)已知抛物线j=ax2+bx+3(aw0)与x轴交于A(-1,O),

8(3,0)两点，与y轴交于点c.

(1)求抛物线的表达式.

(2)连接AC,BC,求S.c

2

(3)抛物线上是否存在一点E,使得若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(2022•广东・江东镇初级中学九年级期中)如图，已知二次函数yn-gd+fex+c的图象经过点4(2,0),

2(0，-6)两点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接54、BC,求△ABC的面积.

20.(2021•新疆・乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习)如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y

轴交于点B,抛物线>=-炉+6X+。经过A、8两点，与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,

抛物线顶点为。.

(1)点A的坐标为，点B的坐标为.

⑵①求抛物线的解析式；

②点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点使得AMAB的面积最大?若存在，请求这个最

大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P从点。出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为r秒，当/为何值

时，以尸、8、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的“直.

21.(2022•山东淄博•九年级期中)如图，抛物线产苏+法+:与直线交于点A(TO),«4,1[.点。

是抛物线上A,2两点间的一个动点(不与点A,2重合)，直线8与y轴平行，交直线48于点C,连接AD,BD.

(1)求抛物线的解忻式；

(2)设点。的横坐标为相，4汨的面积为S,求S关于相的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的

坐标；

(3)点。为抛物线的顶点，点尸是抛物线上的动点，点Q是直线42上的动点.当以点尸，Q,C,。为顶点

的四边形是平行四边形时，求出点。的坐标.

13

22.(2022.山东济南.九年级期中)如图，已知抛物线>=h+卧+。与x轴交于A(l,0),即,0),与y轴交

3

(2)若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足SAABP=5SAMC，求点尸坐标.

23.(2022.河南洛阳•二模)如图，抛物线>=-2x+3的图象与x轴交于A,8两点，(点A在点B的左边),

与>轴交于点C.

（1）直接写出A,B,C的坐标；

⑵点M为线段A3上一点（点/与点A,点8不重合），过点/作x轴的垂线，与直线AC交于点E,与

抛物线交于点尸，过点P作尸。〃交抛物线于点Q,过点。作QNL尤轴于点N,若点P在点。的左侧，

当矩形PMNQ的周长最大时，求△相M的面积.

3

24.（2022•全国•九年级专题练习）如图，二次函数、=依2-5光+以。片0）的图象与无轴交于43两点，与y

轴交于C点，已知点A（-l,0）,点C（0,-2）.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若点M是线段BC下方的抛物线上的一个动点，求AMBC面积的最大值以及此时点M的坐标.

25.（2020•新疆农业大学附属中学九年级阶段练习）已知抛物线＞=-/+法+。（b、。为常数），若此抛物

线与某直线相交于A（T，0）,C（2,3）两点，与y轴交于点N,其顶点为。

(2)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)点为抛物线上的一个动点，〃关于y轴的对称点为耳，当点乜落在第二象限内，且区屋取得最

小值时，求〃的值

26.(2022・甘肃・嘉峪关市明珠学校一模)如图，已知抛物线＞=-/+/内+〃与x轴交于A、8两点，与y轴

交于点C抛物线的对称轴交x轴于点。,已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使，PQ)是以CO为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐

标；如果不存在，请说明理由；

(3)点£是线段2C上的一个动点，过点E作无轴的垂线与抛物线相交于点E当点E运动到什么位置时，四

边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.

I3

27.(2022・全国•九年级专题练习)如图，已知二次函数、=5/+灰-/与彳轴交于点4-3,0)和点2,以43

为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点，连接。P,过点P作。P的垂线与y轴交于点E.

(1)试求出二次函数的表达式和点B的坐标；

(2)是否存在这样的点P,使VP田是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时VPED与正方形A3CD

重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.

专题40二次函数中的面积问题

【题型演练】

一、单选题

1.(2022.全国•九年级专题练习)如图，已知抛物线y=-尤2+px+q的对称轴为x=-3,过

其顶点M的一条直线y=履+。与该抛物线的另一个交点为N(-U).点P的坐标为(0,1),

则APMN的面积为()

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根据二次函数对称轴公式和二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线的解析式，并

将解析式化为顶点式求出点M的坐标，然后利用三角形面积公式计算即可.

【详解】解：；抛物线y=-1+px+q的对称轴为了=-3,点N(T,1)是抛物线上的一

点，

―--=-3,-X-p+q=\,

一2

解得：。=-6,q=-4,

y=-%2—6x—4=—(x+3y+5，

轴，且PN=1,

APAfN的面积为：—xlx(^5—1)=2,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数顶点

坐标的求法，熟练掌握基础知识是解题的关键.

2.(2022・湖北・汉川市实验中学九年级阶段练习)如图，抛物线4：y="+bx+c(aw0)与尤

轴只有一个公共点A(2,O),与y轴交于点3(0,4),虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4

个单位长度得抛物线右，则图中两个阴影部分的面积和为()

12/52

【答案】D

【分析】连接根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形

ABOM面积求解即可.

【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点连接

•.”,0),3(0,2)

/.OA=2,OB=AM=4,

•••抛物线是轴对称图形，

图中两个阴影部分的面积和即为四边形的面积，

AM//OB,AM=OB,

四边形ABOM为平行四边形，

S四边形ABOM=OBOA=4x2=8.

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数

图像的对称性转化阴影图形的面积.

3.(2022•广东•江门市新会东方红中学二模)如图，抛物线y=-(x+〃z)2+4的顶点为P,将

抛物线向右平移3个单位后得到新的抛物线，其顶点记为M,设两条抛物线交于点C,则

的面积为()

13/52

【答案】c

【分析】根据题意过C作y轴的平行线，交PM于点H,交X轴于点。，进而依据两条抛物

线交于点C,联立方程得出C,最后利用S/=^PMCH即可求出答案.

【详解】解：如图过C作y轴的平行线，交PM于点、H,交无轴于点。，

由题意可得，平移后抛物线的解析式为：y=-（x+m-3）2+4,

：P、M分别为两个抛物线的顶点，

/.尸（一九4）,M（-根+3,4）,PM=3,HD=4,

:两条抛物线交于点C,

37

，由一（九+m）+4=—（x+m—3）+4,可得C（］一孙

779

ACD=-,CH=HD—CD=4——=-,

444

•・•HD//y轴，

：・HD1PM,即。〃为△PMC的高，

11927

••S^MC=-PM-CH=-X3X-=—.

ZZ4o

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数平移的性质、灵活运用数形结

合思维分析是解题的关键.

4.（2019•浙江•瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，抛物线＞=-/+2工+3与x轴交于&、

8两点（A在8的左侧），与V轴交于点C,点尸是抛物线上位于x轴上方的一点，连接AP、

14/52

BP,分别以AP、BP为边向△A8P外部作正方形APE。、BPFG,连接8。、AG.点P从点

A运动到点8的过程中，△A3。与△ABG的面积和的变化情况是（）

C.始终不变D.一直增大

【答案】C

【分析】令i=-/+2》+3=0求出A3的长，过点。作。M_Lx轴于过点尸作PN_Lx轴于

N,过点G作GQLx轴于Q,利用一线三直角的全等模型证明DM=AN,GQ=BN.从而

2

利用三角形的面积公式得出5AABD+SAASG=|AB,从而得解.

【详解】解：令y=r、2x+3=0,

解得：玉=-1,工2=3,

・・・A（-1,O）,5（3,0）,

・,.AB=4.

过点。作。轴于过点P作尸轴于N,过点G作GQLv轴于。，

：.AD=PA,ZDAP=90°,

：.ADAM+ZNAP=180°-ZDAP=90°,

又轴,

ZDAM+ZMDA=90°,

：.ZMDA=ZNAP,

VZAMD=ZPNA=9Q°,ZMDA=ZNAPfAD=PAf

15/52

AAMD^APNA,

：.DM=AN.

同理可得：GQ=BN.

：

■SAABDAB-DM,S&ABG=^AB-GQ

2

SAABD+SAABG=-ABDM+-AB-GQ=-ABAN+-ABBN=-AB(AN+BN)=-AB=8

/.AABD与4ABG的面积和始终不变.

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数图象与无轴的交点,

三角形的面积公式等知识，涉及的模型是一线三直角的全等模型，构造全等模型得出

DM=AN,GQ=3N是解题的关键.

5.(2021•贵州铜仁.三模)如图，抛物线,=一/+6+6与直线>=履+。相交于4(4,一3),

3(0,5)两点，点C是抛物线的顶点.下列结论正确的个数()

(1)AB=4A/5;(2)抛物线为：y=-x2+2x+5；(3)当0<x<4时，代数式/一4%的值

是负数；(4)△ABC的面积为6

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】对于(1),根据两点之间距离公式判断即可；对于(2),根据待定系数法求出关系

式判断即可；对于(3),先求出直线的关系式，将两个函数关系式联立，观察图象可得答案；

对于(4),先求出抛物线的对称轴，进而求出点C,M的坐标，再将△ABC分成两个三角形，

求出面积即可.

【详解】.(4,-3),B(0,5),

AB=7(4-0)2+(-3-5)2=45s.

16/52

所以(1)正确；

•.,点A(4,-3),B(0,5)在抛物线y=-/+or+b的图象上,

.1-16+4。+人=-3

*\b=5

，抛物线得关系式为y=-/+2x+5.

所以(2)正确；

•.,点A(4,-3),B(0,5)在直线产息+b的图象上,

.f4k+b=-3

"\b^5

[k=-2

解得，＜，

[b=5

・・・一次函数的关系式为y=-2x+5.

2

将两个函数关系式联立，得必y.=—cx+,2小x+5①

y2=-2x+5@

②-①，得＞2-y产f-4x,

当0VxV4时，直线在抛物线的下方，可知

即X2-4X＜0.

所以(3)正确；

抛物线＞=-/+2尤+5的对称轴是x=d-=—^―=1,

-2a-2x(一1)

当时，y=-l+2+5=6,

：.C(1,6).

当x=l时，y=-2+5=3,

：.M(1,3),则CM=3,

JSAABC=SABCM+SAACM

=—x3x1H——x3x3

22

=6.

所以(4)正确.

正确的有4个.

故选：A.

17/52

【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的关

系式，二次函数图象的性质，两点之间的距离公式，三角形面积的求法等.

6.（2022•江苏•九年级专题练习）如图，点A是抛物线y=V图象在第一象限内的一个动点，

且点A的横坐标大于1,点E的坐标是（0,1）,过点A作轴交抛物线于点8,过A、

2作直线AE、BE分别交了轴于点C,设阴影部分的面积为S,点A的横坐标为机，则S

关于机的函数关系式为（）

A.S=m2B.S—mC.S—2mD.S—nr—m

【答案】C

【分析】根据题意可知A（m，〃产），B（-m,m2）,E（0,1）,得出AB=2〃z,再由阴影部分

的面积为$=($△ABC_§△ABE)+(%ABD—ABE)即可得解.

【详解】解：由题意可知，A(〃z,m2),B(-m,m2),E(0,1),AB=2m,

又轴，且过A、8作直线AE、BE分别交x轴于点D、C,所以由

S—(/ABC—%ABE)+—

SuLxZmxm2~—x2mx(m2-l]+—x2mxm2~—x2mx(m2-1

22v722v

S=m3—m3+m+m3—m3+m

S=2m；

18/52

故选：c.

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，坐标系中三角形面积求法，利用点的坐标表示

线段的长度是解题关键.

7.（2020•浙江台州•九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-N-4x与x轴交

于。，A两点，点8为x轴上一点且AB=3正，将AB绕点A逆时针旋转45。得到AC,使

得点C恰好落在抛物线上，点尸为抛物线上一点，连接AP,PC,PC1AC,则AB4c的面

积为（）

C.6五D.3

【答案】D

【分析】（1）先求出点A坐标，再根据三角函数求出点C坐标，进而得到△CAMXCMP

为等腰直角三角形，设求出点尸坐标，进而求出PC长，根据直角三角形面

积公式即可求解

【详解】解:把y=0代入函数＞=-x2-4x,得-/-4x=0,

=

解得x10,x2=4,

故点A(-4,0),

过点C作y轴的平行线交过点尸与x轴的平行线于点M,交x轴于点N,

在RtAACN中，CN=AC-sinZCAB=ABsin45°=372x=3=AN,

故点C（-1,3）,

VZCW=45°,则△ACN为等腰直角三角形,

19/52

VPC±AC,

.•.ZPCM=45°,

・・・ACMP为等腰直角三角形，

设尸M=CM=m，则点尸（-1-M，3+m）,

将点P的坐标代入y=-7-4x并解得：m=0（舍去）或1,

故点P的坐标为（-2,4）,

由点P、C的坐标得：PC7PM2+MC?=血，

则4B4C的面积=JxAC・PC=3x30x0=3,

故选：D

【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数、三角函数、勾股定理等知识，根据题意

添加辅助线构造直角三角形是解题关键.

2

8.（2020•浙江杭州•九年级专题练习）如图，已知二次函数y=§（x+3）（x-l）的图象与x轴

交于点A、B,与y轴交于点C,顶点坐标为。.则ABC与的面积之比是（）.

A.-B.-C.-D.-

3458

【答案】B

【分析】首先求出C和D点坐标，然后根据三角形面积公式，可知SAABC：SAABD=BC边上

的高之比，进而即可求解.

92428

【详角星】•・,,=§（%+3）（%-V）=-x1-\--x—2=—{x+\）1——,

Q

，C点坐标为（0,-2）,D点坐标为（-1,

Q

「△ABC与AABD的底相同，高线长分别为2和§,

.。8_3

■•OcAABC：OAABD=2:—.

34

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与平面几何的综合，掌握二次函数图象的顶点坐标以

及与y轴交点坐标的求法，是解题的关键.

9.（2022•浙江温州•九年级期中）如图，抛物线y=:/-2x+c与x轴交于点A,B两点，与

y轴负半轴交于点C,其顶点为跖点，E分别是的中点，若与.ACD的面

积比为9：10,则c的值为（）

20/52

y

M

A.—B.—2C.—D.—3

22

【答案】C

sAD

【分析】由题意可得5即=：8叫力|，ADC=^'\yc\'由点n是AB的中点，DEB与

ACD的面积比为9：10,得到园=:|川，由中点坐标公式得，|%|="组=]%|，

yM=^yc=^c,加为顶点，求得点/的横坐标，代入解析式，由纵坐标相等得到关于c的

方程，解之即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，SDEB=^BD.\yE\,5皿=；4。艮|，

:点。是A2的中点，

，AD=DB,

；一DEB与,ACD的面积比为9：10,

...S"叫％1%_9,

S屈；孙切生W

，帆1=历1先|，

是的中点，

，由中点坐标公式得，%|="加=；|九|，

当x=0时，％-2x+c=c,

.•』讣剧,

=2y=C

yMl-el|||,

：%<o，%=c<°,

._9_9

=c

••加=-yc^，

21/52

・・•”为顶点,

将%=2代入y=g%2一2%+c得，

19

y=-x292-2x2+c=2-4+c=c—2=—c,

M25

解得c=-|,

故选：C

9Q

【点睛】此题考查了二次函数的面积综合题，求得加(。是解题的关键.

10.(2021•河南省淮滨县第一中学九年级期末)如图，二次函数y=--2x-3的图象与x轴

27

交于点A,B,交y轴于点。，点。在该函数第四象限内的图象上，若△氏中的面积为一，

O

33

A.1B.—C.—D.2

24

【答案】B

【分析】此题根据题意先求出B,C两点坐标，再根据的面积为27?，利用分割法表

O

示出面积表达式，结合二次函数联立方程求解即可.

【详解】解:解方程X?-2x-3=0

解得：X]=-Lx2=3,

则A、B的坐标是(-1,0)和(3,0),

又y-x2-2x-3,

；.C的坐标是(0,-3)

设D的坐标为(a,b),

作DM_LAB于M,如图：

22/52

例

A\O\/1B/

1

27

贝USgCD=SDMOC+S^BDM-S^BOC~

o

11127

即一a（3-b）--b（3-a）-—x3x3=—,

2228

又D在抛物线上，

••/—2a—3=Z?,

3IS

联立方程解得：a二:，b二--，

24

・・・点。的横坐标是］3

故选：B.

【点睛】此题考查二次函数问题中根据图形面积求坐标，根据图像性质找出相关坐标，并利

用割补法表示面积是关键，计算量较大.

13

n.（2018・山东济南•三模）如图，抛物线产-5炉+%+］与坐标轴交于AN两点，与y轴

交于点C.CD//AB,如果直线丫=--2比。0）平分四边形05。。的面积，那么人的值为（）

.10n11「1213

A.——B.——C.—D.—

5555

【答案】B

【分析】设直线>=丘-2交X轴于点E,交线段CD于点F,利用一次函数函数图象上点的

23/52

坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C、D、E、F的坐标，由直线

>=丘-2(%彳0)平分四边形08口(2的面积，可得出关于k的分式方程，解出k值后经检验

后即可得出结论.

【详解】设直线，=依-2交x轴于点E,交线段CD于点F,如图所示，

13

•.•抛物线>=-5%2+%+万与坐标轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

3

・,•点A(-l,0),点B(3,0),点C(0,-),

、1,3」士1233

当y时，^--x-+x+-=-,

解得：占=。，％=2

...点D(2,I),

；.CD=2,

:直线y=履-2交X轴于点E,交线段CD于点F,

273

・••点E(丁，0),点F(^y,―),

k2k2

・・・直线y=kx-2(kW0)平分四边形OBDC的面积，

.27CD+OB5

_।=________=_

•,k2k22'

解得：k=g

经检验，左=?是原方程的解，符合题意.

故答案为：B.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上

点的坐标特征以及梯形的面积，由直线>=丘-2(左W0)平分四边形OBDC的面积，找出关

24/52

于k的分式方程是解题的关键.

二、填空题

12.(2022•北京市师达中学九年级阶段练习)已知抛物线y=/-4与x轴交于A,8两点,

【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、8、C的坐标，再利用三角形的面

积公式即可求出AABC的面积.

【详解】解：当x=0时，y=x2-4=-4,

.・•点C的坐标为(0,-4)；

当>=0时，有f_4=0，

解得：石=-2,尤2=2,

点A的坐标为(-2,0),点8的坐标为(2,0),(假设点A在点8的左侧),

:.AB=4,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积,

利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、3、C的坐标是解题的关键.

13.(2022•安徽合肥・九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线

y=<?(%-3)2+4(a<0)的顶点为A,与抛物线y=ad+4交于x轴上方的点

25/52

(1)点B的横坐标是

(2)过点B作平行于x轴的直线，分别与两条抛物线的另一个交点为D,C,连结ADAC,

OC,0D,则四边形ACO。的面积为

【答案】412

【分析】(1)抛物线y=a(x-3『+4是由抛物线丁="2+4向右平移3个单位得到的，B点、

横坐标为两条对称轴距离的一半，即可得解；

(2)利用四边形的面积+S"D，进行计算即可.

【详解】解：(1)y=o(x-3『+4的对称轴为：x=3；y=G?+4对称轴为：x=Q,

由图象得：抛物线y=a(x-3)2+4是由抛物线y=ax2+4向右平移3个单位得到的，

B点横坐标为两条对称轴距离的一半，

_3

点横坐标为：-；

2

(2)由题意得：4(3,4),

BC=BD=3,CD=6,

四边形ACO。的面积=S^CD+SOCD=：x6x4=12.

【点睛】本题考查二次函数的平移，图象和性质.熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象

中获取有效信息是解题的关键.

14.(2022.重庆一中九年级阶段练习)如图，已知A(1,1),B(3,9)是抛物线上

的两点，在y轴上有一动点P,当△南8的周长最小时，则此时的面积为.

【答案】6

【分析】根据抛物线的性质，作出8关于y轴的对称点笈，连接43'交y轴于P,点

尸即为所求，再求出△融B的面积即可.

【详解】解：如图，作出8关于y轴的对称点8',则班'轴于点”，连接48'交y轴于尸，

26/52

则点尸就是使△PAB的周长最小时的位置.

...抛物线y=V的对称轴是y轴，B、B关于y轴对称，

，点P在抛物线y=V上，且PB=PB，,

PA+PB=PA+PB'=AB',

此时ARIB的周长最小，

,:B(3,9),

/.B'(-3,9),

.••班'=6,点〃的坐标是(0,9),

VA(1,1),

/.点A到BB'的距离为9-1=8,

设直线的直线方程为y=kx+b,把点A和点B'的坐标代入后得到，

..3%+6=9

'[k+b=l，

[k=-2

解得八a，

[6=3

...直线&B'的解析式为y=-2x+3,

当x=0时，y=3,

点的坐标为(0,3),

：.PH=OH-OP=6,

此时SPAB=SABB,-SPBB.=­x6x8-—x6x6=6,

即4PAB的面积为6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数

法求解析式，作出8的对称点是本题的关键.

15.(2022•福建・莆田擢英中学九年级阶段练习)如图，已知A,B,C是函数y=/图象上

27/52

的动点，且三点的横坐标依次为。+1,a,a-1.小华用软件GeoGebnz对AABC的几何特

征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为.

【分析】作轴于。，BE_Lx轴于E,CF_Lx轴于日求得A、B、C的坐标，即可求得

AD=(a+1)2=a2+2a+l,BE=a2,CF-(a-1)2=cz2-2a+l,然后根据S」ABC=S褶形A£>PC-S翻形

ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面积是定值1.

【详解】解:如图，作AO_Lx轴于。，轴于E,CF_Lx轴于尸，

VA,B,C三点的横坐标依次为a+1,a,a-1,

.,.AD=(a+1)"=a2+2a+\,BE=a2,CF=(a-1)2=a2-2a+l,

.".SAABC=S梯形ADFC-S梯彩ADEB-S梯形BEFC

(a2+2a+l+a2-2a+l)x2--|-(a2+2a+l+a2)(a2+a2-2a+l)xl

=1;

.•.△ABC的面积是个定值，这个定值为1.

故答案为：1.

【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，梯形的性质以及梯形的面积.此题难度

较大，注意掌握数形结合思想的应用.

三、解答题

16.(2022•黑龙江・哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习)如图，抛物线>=以2-2依+c

与无轴交于点A、点B,与y轴交于点C,A点坐标为(-1,0),连接AC,若tan/ACO=g.

28/52

（1）求抛物线的解析式；

⑵点P为第一象限抛物线上一点，连接AP、BP,设点尸的横坐标为乙ABP的面积为S,

求S与f的函数解析式：

【答案】⑴尸2-2x-3

（2）S=2/一4f—6（f>3）

【分析】（1）根据A点坐标为tanZACO=g求得点C的坐标，然后待定系数法求

解析式即可求解；

（2）令函数解析式中y=。，求得8点的坐标，进而根据三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）解：点坐标为（T,。），tan/ACO=g,

OA=1,0C=3,

.-.C（0,-3）,

将点A（-1,O）,C（0,-3）,代入>=加一2〃%+。得，

〃+2〃+c=0

c=-3

y=x2-2%-3；

（2）解：由2%—3,令y=。，^x2-2x-3=0,

解得：再=一1,%2=3,

/.5（3,0）,

AB=4,

依题意，点P的横坐标为乙一AB尸的面积为S,则P。,r-2r-3）,

S=gx4x（d-2/—3）=2产一期一6,

29/52

即S=2/-4t-6«>3）.

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴交点问题，已知正切求边长,

掌握以上知识是解题的关键.

17.（2023•吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，地物线y=法+c与x轴交于

A（—l,0）,3（3,0）两点,与y轴交于点C（0,-3）.

（1）求出该地物线的函数关系式；

⑵点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（0（机<3）.直接写出PCB的面积的

最大值.

【答案】⑴y=/-2x-3

27

⑵一

8

【分析】⑴设抛物线解析式为y=-3）,把点C（0,-3）代入即可求解；

（2）设尸（利,加2-2〃Z-3）,根据SPCB=Spoc+SPC®-SBOC即可求出S.PCB与〃7的函数关系

式，再根据二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=q（x+l）（x-3）,

•••抛物线与y轴交于点C（0,-3）,

.*.-3=a（0+l）（0-3）