专项拓展：点与直线的对称问题（技巧解密+5考点+过关检测）解析版-2025新高二数学暑假提升讲义

专题拓展：点与直线的对称问题

4—二：土拉曲_________________________

/ZA«£<

一、点关于点对称

1、实质：该点是两对称点连线段的中点.

2、方法：利用中点坐标公式

平面内点A（x0,%）关于P（a,b）对称点坐标为（2a-x0,2b-y0）>

平面内点N（XQJ，A'（X2,y2）关于点尸［五产,归2口对称.

二、直线关于点对称

1、实质：两直线平行

2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在/上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自

关于A对称的点，然后求出直线方程）.

法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）.

三、点关于直线对称

1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线.

2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用"垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标,

一般地：设点（%0，为）关于直线4x+5y+C=0的对称点（XJ），

（2）当直线斜率不存在时：点（%,%）关于x=加的对称点为（2冽-%,%）.

四、直线关于直线对称

1、当4与/相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；

求直线4：ax+勿+c=0,关于直线个公+ey+/=O（两直线不平行）的对称直线4

第一步：联立4，4算出交点Pg，%）；

第二步：在4上任找一点（非交点）。（网，必），求出关于直线对称的点。（%，%）；

第三步：利用两点式写出4方程.

2、当丸与/平行时：对称直线与已知直线平行.

两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得.

O＞模块三核心考点举一反三

考点一：点关于点的对称问题

例1.（23-24高二上•辽宁葫芦岛•月考）点A（2,—3）关于点B（—1,0）的对称点A，的坐标是（）

13

A.（5,-6）B.（—4,3）C.（3,-3）D.

【答案】B

【解析】设点4（羽田

—1=-2-+-x

解得x=-A

则22故选B

0=jy=3

2

【变式1-1］（23-24高二上•江苏宿迁•开学考试）已知点4苍2）与3（-3））关于坐标原点对称，则x+y等于

（）

A.5B.IC.-5D.-1

【答案】B

【解析】由4羽2）与5（-3/）关于坐标原点对称，则x=3）=-2,

所以x+y=l.故选：B

【变式1-2］（23-24高二上•全国•单元测试）己知不同的两点尸3-。）,。（。+1,。-1）关于点（3,4）对称，贝！J必

【答案】-14

Q+6+1o

-----------------二5

2q+6=5a=7

【解析】由题意知即”b=9,解得故"b=-14.

a-b-\,b=-2'

-----=4

2

故答案为：-14

【变式1-3](23-24高二上•全国•课后作业)点/(-3,1),。(1/)关于点5(-1,-3)对称，则|/。|=.

【答案】475

【解析】由已知得口=-3,解得y=-7,即C(l,-7),

2

■■\AC\=7[1-(-3)]2+(-7-1)2=4V5

故答案为：475

考点二:直线关于点的对称问题

例2.(22-23高二上•河南南阳・月考)直线/：4尤+3y-2=0关于点4(1,1)对称的直线方程为()

A.4x+3y—4=0B.4x+3y—12—0

C.4x—3厂4=0D.4x—3y—12=0

【答案】B

【解析】设直线/：4x+3y-2=0关于点4(1,1)对称的直线上任意一点尸(x,y),

则/(无,乃关于Z(U)对称点为(2-x,2-y),

又因为（2-x,2-y）在4x+3y-2=0上,

所以4（2-x）+3（2-y）-2=0,即4x+3y—12=0。故选：B

【变式2-1](23-24高二上•全国•期末)点尸(1,2)在直线/上，直线4与/关于点(0,1)对称，则一定在直线4

上的点为()

A.B.11,jC.(T,0)D.(L0)

【答案】C

【解析】由题设尸(L2)关于(0,1)对称的点为(x,y),若该点必在4上，

Uo

,2，即（-1,0）一定在直线4上.故选：C.

2+>i

----二1

I2

【变式2-2］（23-24高二上•浙江嘉兴•月考）不论实数。取何值时，直线（2a-l）x+（-“+3力-5=0都过定

点则直线2尤-了+3=0关于点”的对称直线方程为（）

A.x-2y-6=0B.x-2y=0C.2x-y-9=0D.2x-y-3=0

【答案】D

［解析］由（2a_l）x+（_a+3）y—5=0可得：a（2x—j；）—x+3j；—5=0

2x-y=0,

令-5=。'解得：—2,

所以"（1,2）,设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x-y+b=0,

贝|M（1,2）至IJ直线2无一y+3=0与2x-y+b=0的距离相等,

|2-2+3|12—2+6|

所以解得：问=3,即6=3（舍去）或b=-3.

故直线2x-y+3=0关于点”的对称直线方程为：2x-y-3=0.故选：D.

【变式2-3］（23-24高二上・江苏常州•期中）已知直线x+2y-3=0与直线"+4〉+方=0关于点/（1,0）对称,

则实数6的值为（）

A.2B.6C.-2D.-6

【答案】A

【解析】由于直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点4（1,0）对称，

所以两直线平行，故2。=4,则。=2,

由于点（3,0）在直线x+2k3=0上，（3,0）关于点41,0）的对称点为（-1,0）,

故（一1,0）在++6=0上，代入可得—〃+6=0,故b=q=2,故选：A

考点三：点关于直线的对称问题

［X,例3.（23-24高二上・江苏苏州・期中）点/（1,2）关于直线/:x+2y-1=0的对称点的坐标为

【答案】

【解析】设对称点的坐标为（。力）,

b+2

-1=0

解得a=-|*=一

=-i

所以对称点的坐标为

故答案为：

【变式3-1］（23-24高二上•山东范泽・月考）已知直线2x--v-5=0与直线x+3y+l=0交于点/,则点/

关于直线尤-y+4=0的对称点坐标是.

【答案】（-5,6）

【解析】因为直线2x-y-5=0与直线x+3y+l=0交于点/,

2x—y—5=0Ix=2/、

所以联立，解得，，即1（2,-1）.

x+3〉+1=0［y=7

设点N（2,-l）关于直线x-y+4=0的对称点坐标为8（生为,

则的中点坐标为（手，空、如=空,

I22J〃一2

。+2b—1.

---------------+4=0

22a=-5

故，,解得，即点/关于直线X-y+4=0的对称点坐标是（-5,6）.

b+\b=6

xl=-l

、。一2

故答案为：（-5,6）.

【变式3-2］（23-24高二上•河南濮阳・月考）若点/Q,0）和点8（0,2）关于直线办+2^+。=0对称，则

3

故答案为：-/

【变式3-3］（23-24高二上•四川内江•期中）已知点/（1,2）关于直线/对称的点为3（3,1）,则直线/的方程

为（）

A.4x+2y-5=0B.x—2y—5=QC.x+2y—5=0D.4x-2y-5=0

【答案】D

【解析】因为点2（1,2）关于直线/对称的点为8（3,1）,所以直线/为线段的中垂线，

因为8（3,1）中点为（2,且=

所以直线/的斜率为4=2,

所以直线/的方程为＞一：=2（x-2）即4x-2y-5=0.故选：D

考点四：直线关于直线的对称问题

例4.（23-24高二上•安徽宣城・月考）直线》-2了-1=0关于直线夕-工=0对称的直线方程是（）

A.2x-y+l=0B.2x+y-1=0

C.2x+y+l=0D.x+2y+l=Q

【答案】A

【解析】在直线工-2了-1=0上任取一点总0,6）,设点P关于直线V-x=0的对称点为Q（x,y）,

y-b：二］

则卜一；，解得［：='，即尸（％x），

y+b_x+a［b=x

,亍一k

因为点尸（乃x）在直线x-2y-l=0上,

所以y—2x—1=0,即2x—y+1=0,

所以所求直线方程为2x-y+1=0,故选：A.

【变式4-1］（23-24高二上•山东青岛•期中）直线y=2x+l关于x轴对称的直线方程为（）

A.y=-x-lB.y=—x+1

22

C.y=-2x+\D.y=-2x-1

【答案】D

【解析】直线＞=2x+l的斜率为2,与x轴交于点

则与y=2x+l关于x轴对称的直线斜率为一2,并过点（-g,0

所以，所求方程为y_0=_2［x+g）,即y=_2x-l.故选：D

【变式4-2］（23-24高二上•山西大同・月考）已知直线：/1：夕=办+3与，2关于直线了=%对称，/2与

4：》+2?-1=0平行，贝（）

A.B.yC.-2D.2

【答案】C

【解析】直线4关于直线＞=无对称的直线，即是交换羽了位置所得，

即4：》=砂+3,44相互平行，4：x+2y-l=0的斜率为故a=-2.故选：C.

【变式4-3］（23-24高二上•四川宜宾•期中）已知直线/：3x+2y-l=0与直线4关于直线x+y=O对称，则《

的方程为.

【答案】2龙+3了+1=0

［解析］尤+y=0与/：3x+2y_l=0不平行,

故4经过X+V=0与/：3x+2y-1=0的交点，

联立°,解得］E即（1,-1）在4上,

［3x+2y-1=0。=-1

取1:3%+2y—l=0上另一点（3,-4）,设（3,-4）关于直线x+y=0的对称点为。,〃）,

m+3〃一4八

+------=0

22m=4

则有，解得

〃+4〃=一3

,（T）=-l

、m-3

4过两点（1,-1）和（4,-3）,故方程为三g=三，即2x+3y+l=0

故答案为：2x+3y+l=0

考点五：对称在光线反射中的应用

△j例5.（23-24高二上•全国•专题练习）一条光线从点/（-1,3）射向x轴，经过x轴上的点尸反射后通过

点8（3,1）,则点尸的坐标为.

【答案】（2,0）

【解析】由题可得3（3,1）关于x轴的对称点为？（3,-1）,

则直线工9的方程为可得y=r+2,

—1—35—1）

令y=0,可得x=2,所以点尸（2,0）.

故答案为：（2,0）.

【变式5-1］（23-24高二上•河北邢台・月考）一条光线从点尸（5,8）射出，与x轴相交于点。,则反射

光线所在直线在＞轴上的截距为（）

3344

A.—B.-C.—D.一

4433

【答案】C

【解析】尸（5,8）关于x轴的对称点为尸（5,-8）,则反射光线所在直线为P0.

-2-044

因为既=一；，所以反射光线所在直线的方程为＞=-3（》+1）.

令x=o,得反射光线所在直线在y轴上的截距为-:故选：c.

【变式5-2］（23-24高二上•广东佛山•月考）已知光线从点射出，经直线了=-％反射，且反射光线

过点8（4,-2）,则入射光线所在直线的方程是（）

A.2x+y=0B.2x+y+4=0

C.x-2y+5=0D.x+2y-3=0

【答案】A

【解析】设点5（4,-2）关于直线V=T的对称点为,

x+4y-2

------+-=0fx=2

贝H22解得广‘即一（2T）.

一+2=1［夕=-4,

J-4一

所以人射光线所在直线的方程为上三=二，即2x+y=0.故选：A

-4-22+1

【变式5-3］（23-24高二上・安徽亳州・月考）/（-2,0）,5（2,0）,C（0,2）,,尸（1,0）,一束光线

从点尸出发射到8C上的点。，经5C反射后，再经ZC反射，落到x轴上的E点，则光线经历的路程是（）

A.5B.4C.叵D.叵

22

【答案】C

【解析】设光线与/C交点为G,

直线8C的方程为:+三=1,即x+尸2=0,

22

直线/c的方程为5+'=1，即x-y+2=o,

设厂（1,0）关于直线8C的对称点为M（x,y）,

十=1

x=2

则，解得,，即一（2,1）,

=+2-2=0v=1

I22

1,0j关于直线AC的对称点为N"）,

设E

3=-1

QH---CL——2

21

则，解得6」，即N一丐

32

-----FClj2

——加2=0

22

由光的反射性质可知，M2G,N四点共线，|ED|=MD|,|GE|=|GN|,

...光线经历的路程是|FD|+|QG|+|G£|=\MD\+|Z）G|+|GN卜\MN\

6模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.（23-24高二上•四川成者B•期中）直线/：>=2x-4关于点4（1,0）对称的直线方程为（）

A.y=2xB.y=一2%

C.y=2x-SD.>=2x+4

【答案】A

【解析】因为4X0）不在直线/：»=2、-4上,

所以可设直线/：>=2x-4关于点/（1,0）对称的直线方程为y=2x+b9

|2-0-4|\2-0+b\

则;F个厂;FTF'解得6=°或b=T（舍去），

故所求直线方程为：V=2x.故选：A

2.（23-24高二上•广东深圳•期中）与直线x-y+l=0关于无轴对称的直线方程为（）

A.x+y+l=0B.x+y-l=0

C.x-〉+l=0D._y_l=0

【答案】A

【解析】在所求直线上任取一点尸（xj）,则点尸关于％轴的对称点。（兀-#在直线%-歹+1=0上,

故所求直线方程为》-（-回+1=0,即x+y+l=0.故选：A.

3.（22-23高二上・江苏扬州•期中）已知点河。,一2）、Ng）,若M、N关于直线x+2y—2=0对称，则

实数冽的值是（）

A.3B.1C.-2D.-7

【答案】A

【解析】由题意得；"N的中点在直线％+2y-2=0上，且直线x+2y-2=0与直线垂直,

^-^+2x-^i^-2=0

22

即《,解得：m=3,故选：A.

2+2

-1

m—\

4.（23・24高二上•陕西西安・期中）设直线/］：3x-2y-6=0,直线4：x-歹-4=0,贝必关于。对称的直线

方程为（）

A.3x+2j/-14=0B.2x-3y-14=0

C.3x+2y-6=0D.2x-3y-6=0

【答案】B

【解析】设所求直线上任一点M关于直线人"-了-4=0的对称点NN，M）,

匕与1=_1

则“玉，解得再=>+4,必=x-4,

£±A_Z±A_4=0

22

:点阳尤1，%）在直线4:3尤-2y-6=0上，即3占-2%-6=0,

.•.3（y+4）-2（x-4）-6=0,化简得2x-3y-14=0,即为所求直线方程.故选：B.

5.（22-23高二上•河北石家庄•月考）若第一象限内的点（私〃）关于直线x+y-2=0的对称点在直线

1O

2x+y+3=0上，则上+2的最小值是（）

mn

A.25B.—C.17D.—

99

【答案】B

【解析】设（心,〃）关于直线x+y-2=0的对称点为（孙匕），

x=i

依据题意可得：二人2「解方程组得｛K，

22

又；对称点在直线2x+y+3=0上，代入可得2n+m=9,

且（加,〃）在第一象限，则机>0,”>0,

(16J2一”

81+V-"9"

当且仅当?=答时,918

即m=丁〃=不时，等号成立.故选：B

9m9n

6.（23-24高二上•安徽・月考）光线通过点/（2,3）,在直线/：x+y+l=o上反射，反射光线经过点8（2,2）,

则反射光线所在直线方程为（)

A.6x-5y-2=0B.6x+5)—22=0

C.5x-6y+2=0D.5x+6y-22=0

【答案】c

【解析】设点4（2,3）关于直线I的对称点为/（X。,％）,

^±^L+^±A+I=O

22

则,解得/=-4,%=-3,故H(T—3).

为7=1

%-2

由于反射光线所在直线经过点H（-4,-3）和8（2,2）,

7+3

所以反射光线所在直线的方程为一=^（x-2）,即55+2”故选：C.

二、多选题

7.（23-24高二上・甘肃・期末）已知点”（1,0）关于直线Er+l=0（«7eR）的对称点N在直线x+y=0上,

则实数加的值为（）

A.V3B.2C.-V3D.-2

【答案】AC

【解析】因为点N在直线x+y=0上，设点N(a,-a),

又M(1,O),则MN的中点坐标为［一,当;

其必在直线加工一歹+1=0(加£正)上，则冽X214+^|+1=0,

化简为加(。+1)+。+2=0,①

又垂直直线mx—y+l=O(冽ER),

故——xm=-l(tz^l),化简为am=a—\②

a-\

-1+V3-1-V3

a-------Cl-

联立①②，解得2或，2

m=-A/3m=>/3

又当。=1时，根据MTV垂直直线如"y+l=O(m£R),

必有加=0,此时直线方程为y=l,

MN的中点坐标为(1,-g),不在直线y=l上，不满足题意，

故加=±6，故选：AC.

8.(23-24高二上•山东济南•期末)一条光线从点/(-2,3)射出，射向点5(1,0),经x轴反射后过点C(“J),

则下列结论正确的是()

A.直线48的斜率是TB.AB1BC

C.。=3D.\AB\+\BC\^4V2

【答案】ABD

0-3

【解析】对于A,由于工(-2,3)、5(1,0),由斜率公式得：—=-1,选项A正确；

1-(-2)

对于B,点/(-2,3)关于x轴的对称点4的坐标为(-2,-3),经x轴反射后直线8c的斜率为：

0-(-3)

/c=J=1/、、=1，且凝138=-1,所以4BJ.BC,选项B正确；

对于C,直线BC即直线48的方程为：y-O-lx(x-l),即y=x-l,

将V=1代入得：x=2,所以点C(2,l),。=2,选项C不正确；

对于D,由两点间距离公式得：|皿+四|=加_(_2)『+(0_3)2+J(2-1)?+(1—0)2=4后,

选项D正确；故选：ABD.

三、填空题

9.（22-23高二上•湖南益阳・月考）点（7,3）关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为.

【答案】（-5,-1）

【解析】设点（T3）关于直线x+y+2=0对称的点为（X。,%）.

因为直线x+y+2=0的斜率为-1,

由对称关系，两点连线与直线x+y+2=0垂直，所以4r=1,

%+1

又因为两点连线段的中点［怨，当坦］在直线x+y+2=0上,

代入得个+铝+2=。，

两式联立即可解得所以对称点为（-5,-1）.

+2=0

故答案为：（-5,-1）.

10.（23-24高二上•江苏南京・月考）直线4：3x-y-3=O关于直线/2：》+》-1=0的对称直线方程

为.

【答案】x-3y-l=0

【解析】设直线4关于直线4对称的直线为4，

由.f3x+—'y-=3=。0得：［f…x=1’则点°,，。、）在直线"

在直线4上取一点/（o,-3）,设其关于直线4对称的点为4（加,"），

77+3

=1

m=4

,解得:,即H（4,l）；

n=1

H------1=0

、22

直线。的方程为：《4=冷，即x-3尸1=0.

故答案为：x-3y-l=0.

11.（23-24高二上•河北・月考）已知直线2x-y=0与直线3x-y-l=0的交点为p,：=（1,-2）为直线

mx+y+6=0的一个方向向量，贝！I点尸关于直线加x+y+6=0的对称点的坐标是.

【答案】（-7,-2）

【解析】联立方程组/।八，解得：即-1,2,

[3x-y-l=0U=2

因为2）为直线加x+y+6=0的一个方向向量，

所以直线加x+V+6=0的斜率为一2,则加=2,

即直线冽x+V+6=0的方程为：2x+y+6=0,

设点尸（1,2）关于直线2x+y+6=0的对称点为尸'（%,九）,

?Jo+1Jo+2

NAI+6=0

22%=-7

则＜,解得:,即尸'(-7,-2).

2