专项突破：分式求值的三种常见题型（解析版）-2024-2025学年浙教版七年级数学下册

分式求值的三种常见题型

01常考题型

题型1整体替换求分式的值------7-----------------------------、题型2利用下方公式求分式的值

（分式求值的三种常见题型）一一（1V21fif21

题型3分式相关整数解问题------、------------------------------'（房"I房a

02技巧解密

一、整体替换法求分式值的方法总结

题型特点：此类问题基本上都是给出一个已知的等式，让求另外一个分式的值

解决办法：①将已知等式转化为最简表达式；

②转化待求分式，使之出现已知条件中代数式组合形式，然后整体替换掉其中一类，整

体约掉相同部分，得一具体数值。

二、”类完全平方公式”及其变型

"类完全平方公式”a+-|=4+3+2；,」］“2+4_2

a)ava)a

a2

公式变形:

备注：完全平方公式是乘法公式里的一种，而乘法公式又是整式乘法适用的，所以这

类有分式，并且符合完全平方公式运算类型的公式我称为"类完全平方公式"！

三、分式相关整数解问题常见类型及解决办法

A

当一个分式1的值是整数，且A是一个整数时，满足B是A的因式（或因数）；

B

A

当一个分式，的值是整数，且A不是一个整数时，先将分式转化为一个整式+一个分子为整数的分式,

再满足B是A的因式（或因数）；

03题型突破

题型一整体替换法求分式的值

-3ab+Z72

【例1】.（2024春•金华期末）已知a-36=0,求分式———的值.

3ab

【分析】由已知得到。=36,再将原分式化简为1—至石，然后代入求值即可.

【解答】解：・・・—36=0,

.*.a=3bf

.a2—3ab+b2

,,a2+b2

a2+b2-3aZ?

a2+b2

3ab

=1----------

。2+入2

3x3b-b

=1-（3b）2+b2

9b2

=1--------

10Z?2

1

=10-

【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键.

x-y

【变式1-1].（2024春•浦江县期末）已知工=2歹，则分式可诟的值为（）

2121

A.百B.~C.~D.~

【分析】把x=29代入分式，化简得结论.

【解答】解：当％=2）时，

Ay2y-y

2x+y—4y+y

y

=豆

1

=5,

故选：D.

【点评】本题考查了分式的值，掌握分式的运算法则是解决本题的关键.

m2m2

【变式1・2】.（2024秋•绍兴期中）已知-=则茄々的值为—不—.

【分析】先用含〃的式子表示冽，再代入、求解.

m2

【解答】解：,・・£=『

2

m=gn,

22

.3n_3n_2

•・m+n^n+n5，

2

故答案为：

【点评】此题考查了分式的求值能力，关键是能准确理解并运用分数的基本性质进行变形、求解.

1

【变式1-3].（2024秋•云冈区期末）若/+3%=-1,则式子％—工：的值是（）

%+1

A.-2B.0C.1D.2

【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案.

【解答】解：当N+3X=-1时，

.".%2-1=-3x-2,

一,x2+x—1

原式=———

%+1

—3x—2+x

%+1

-2（x+l）

x+1

=-2,

故选：4.

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算以及加减运算法则，本题属

于基础题型.

q2+5a+1

【变式1-4].（2024春•义乌市月考）已知：层-30+1=0,求代数式，1—的值8.

。乙一Z.CL-V±

ca2+5a+l

【分析】由已知条件可得/=3a-1,将其代入？）「中计算即可.

a2—2a+l

【解答】解：：a2-3a+l=0,

••Q?=3a-1,

.a2+5a+l

Q2—2a+l

3a—l+5a+l

3a—1—2Q+1

8a

a

=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查分式的值，将原式进行正确的等量代换是解题的关键.

771+17712

【变式1-5].(2025•南充模拟)已知：心2一加一2025=0,贝式----一小一1)・「"7的值为()

m/TH+1

11

A.TTTTB.-TTTTC.2025D.-2025

【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，则约分得到原式=-加2+加，然后利用整体代入的

方法计算.

m+1—m2

[解答]解：原式=---------——----

mm+l

m+1—m2—mm2

—------------------*-------

mm+l

—(m+l)(m—1)m2

-----------------------•-------

mm+l

--m(m-1)

=-

'：m2-m-2025=0,

；.»-m—2025,

二原式=-(w2-m)--2025.

故选：D.

【点评】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.利用整体代入的

方法计算是解决问题的关键.

136x—2xy+2y

【变式1-6].(2024秋邛日谷县期末)若一+三=2,则分式—一、，的值为-1.

xy。九y

2(3x+y)—2xv

【分析】由已知条件得出尹3x=2初，再将要求的分式变形为_(3%+y)，然后整体代入计算即可.

13

【解答】解：•.二+；；=2,

xy

•'.y+3x=2xyf

6x—2xy+2y

——3x—y

(6x+2y)—2xy

——(3x+y)

2(3x+y)—2xy

——(3x+y)

2x2xy—2xy

——2xy

2xy

——2xy

=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键.

【变式1-7].(2024春•秦安县校级月考)已知：4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(孙zWO),求代数式

5x2+2y2—z2

2/_3y2_10z2的值•

【分析】先根据已知条件，让两个式子联合起来，解关于X、y的二元一次方程，再把X、y的值代入所

求式子，化简求值即可.

【解答】解:V4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz力0),

.14%-3y=6z

,•[%+2y=7z'

解关于X、y的二元一次方程，得

(x=3z

ty=2z

.5x9z2+2x4z2—z252z2

••原式=2X9Z2—3X4Z2-10Z2=-4z2=-13*

【点评】本题利用了解二元一次方程、整体代入的知识，在解方程时，注

意把Z看成是已知数.

题型二利用公式求分式的值

1冗2

【例2】.(2024春•浦江县校级期中)已知/-4x+l=0,求：①x+一的值，②工7的值.

Xx4+l

1

【分析】①由己知得，/+1=4无，两边除以x得久+嚏=4；

11

②利用完全平方公式求得/+—=14,则所求式=—.

【解答】解：①,・・/-4%+1=0,

.*.x2+l=4x,

1

.*.%+-=4；

x

1

②・.・％+-=4,

Jx

x2+—+2=16,

1汽4+1

：.x2+—=14,即——=14,

X2X2

.X21

•*4+1—14,

【点评】本题考查了完全平方公式及分式的混合运算，解决本题的关键是将式子整理变形，

对分式进行化简.

【变式2-1].（2023秋•越城区校级期末）已知/-X-1=0,则代数式二,「的值为（）

x3+x+l

A.3B.1C.-1D.-3

【分析】由条件可得N=x+1,两边都乘以/再代入％2=x+i可得工4=工3+/=工3+%+1,进一步可得答案.

【解答】解：・・・/一、一1=0,

・・工21,

x4x3+x+l

...---------=---------=1

**x3+x+l%3+%+l•

故选：B.

【点评】本题考查分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

x2x24

【变式2-21.（2024秋•徐汇区校级期末）已知源+久+1=1则22丁=-77--

人T人TJ_'yJ.T'D

比2+久+111久4+第2+1

【分析】先根据已知条件，求出-------的值，从而求出x+一，再求出了+0，最后求出——--的值,

xxxzX2

从而求出答案即可.

x2

【解答】解：,.,久2+工+1=5,

.x2+x+l9

•二-x-=5，

19

x+1+~

x2

17

149

•••（x+p=，

149

X92+2+-=—

x24

141

%-X27="4V

42

e%+%+1

X2

J+V+1

X2

41

7+1

45

T

4

x4+x2+l45'

4

故答案为：77-

【点评】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握如何利用求分式倒数的方法求出分式的值.

11

【变式2-3].（2024秋•沂源县期末）若公+方=23,则。+——2的值为（）

CL

A.5B.0C.3或-7D.4

C11rc111

【分析】先由层+==23得出（。+—）2=a2+2+—=25,据此知。+—=5或。+—=—5,再分别

aazaa

代入计算可得.

1

【解答】解：=23,

az

1c.1

（。+一）2=a2+2+-7=25,

aa2

11

「・Q+—=5或Q+一=—5,

aCL

11

当。+—=5时，Q+——2=5-2=3；

CLCL

11

当a+—=—5时，a+——2=-5-2=-7；

CLCL

1

综上，°+一-2的值为3或-7；

a

故选：C.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全平方

公式的运用.

11

【变式2・4】.（2024秋•扎兰屯市期末）已知久+—=4,则％2+二=（）

xx乙

A.12B.14C.8D.16

1121

【分析】由％+嚏=4得至！JQ+微）=16,从而得到/+裒+2=16,由此即可得到答案.

【解答】解：方程两侧同时平方得：

12

・•・（％+]）=42=16,

x2+—+2=16,

/.%2+—=14,

故选：B.

【点评】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式进行计算是关键.

11

【变式2-5].（2024秋•舞阳县期末）若m——=1,贝Ijm?+--=3.

mm2--------

【分析】根据完全平方公式计算即可.

1

【解答】解：・.•加一一=1,

m

1

（m——）2=12,

m

1

••冽29-2+--=1,

m2

1

••冽29+--=3,

m2

故答案为：3.

【点评】本题的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键.

1

【变式2-6].（2025春•武侯区校级月考）若。2+2〃-1=0,则层+方=6.

11

【分析】先根据题意得出故可得出。+2——=0,故Q——=—2,进而可得出结论.

CLCL

【解答】解：M+z…=0,

:・QW0,

1

Q+2——=0,

a

1

「・Q——=-2,

a

1。

（Q——）2=4,

a

/.a2+--2=4,

/.a2+~=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键.

1

【变式2-7].(2024秋•湛江期末)已知。2+80=1,求a?+后的值为66.

c11

【分析】根据层+84=1,可以得到6Z—=-8,然后利用完全平方公式将所求式子变形，再将。——

aa

8代入变形后的式子计算即可.

【解答】解：・・・层+84=1,

1

。+8=一，

a

1

ci——=-8,

a

r1

a2+~;

a2

1c

=(a——)2+2

a

=(-8)2+2

=64+2

=66,

故答案为：66.

【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

11

【变式2-8].(2024秋•顺庆区期末)如果工=3-—，则,二2二的值等于一77—■

XNXIXINb

1cl

【分析】由已知条件可得x+-=3,贝！J(x+—)2=9,整理得/+吃=7,将原式变形后代入数值计算

XXX乙

即可.

1

【解答】解：,・)=3——，

X

1

.•.X+一=3,

x

1.

贝!!(x+—)2=9,

X

C1

整理得/+;=7,

1

原式=2N+1+W

1

=2(%2+i)+l

X乙

1

1

故答案为：—.

C1

【点评】本题考查分式的化简求值,结合己知条件求得/+-=7并将原式进行正确的变形是解题的关

键.

题型三分式相关整数解问题

….10%-11

【例3】.（2023春•拱墅区校级月考）若分式亏7r的值为整数，则整数x的值为7或。或1或2

6

【分析】将分式化为5一本T分别代值计算，即可求解・

10%-11

【解答】解：XF

5(2%一1)一6

=-2x-l-

6

=5-----

2x—1

10%-11

・••分式XT的值为整数,且x是整数，

；.2x-1=-3或2x7=7,

或2x-1=1或2尤-1=3,

解得：x=-1或。或1或2,

故答案为：-1或0或1或2.

【点评】题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，掌握这类典型问题的解法是解题的关键.

_,-.6x+12

【变式3-11.⑵23•镇海区二模）若分式笆0的值为整数，则正整数x的个数为（）

A.4B.6C.7D.8

6%+12

【分析】先化简,再根据分式;工的值为整数，可得x-3=±l或±2或±3或±6,且x+2力。，即

可确定正整数x的值.

6%+12

【解答】解：裒K

6Q+2)

~~(%—3)(x+2)

6

x—3

6x+12

分式的值为整数,

x2—x—6

；.x-3=±l或±2或士3或±6,且x+2W0,

二正整数x=4或2或5或1或6或9,共6个,

故选：B.

【点评】本题考查了分式的值，先把原分式化简是解题的关键.

1X—3

【变式3・2】.（2025•唐山一模）分式丫的结果等于一个整数，则％的值不可能是（）

A.-1B.1C.-3D.2

x-3x—3

【分析】先将分式——6变形，然后根据分式——的结果等于一个整数，即可得到x的值，然后即可判断

XX

哪个选项不符合题意.

第一33x—3

【解答】解：：——=1--分式——的结果等于一个整数，

XXX

；.x=-3或-1或1或3,

故选：D.

【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

c

【变式3-3].（2024•拱墅区二模）已知a+6=5,a+c=U,且石为正整数，则正整数a的值是4.

c12—a7+5—CL7c

【分析】由。+6=5,a+c=12可得b=5Q贝女="T=-r=1+T,再根据[及

-,o5—a5—a5—a。

Q均为正整数即可求得答案.

【解答】解：,.・q+b=5,q+c=12,

・・b=5-a,c~~12-a,

c12-CL7+5—CL7

AT=——=--=1+~—,

u5—a5—a5—a

c

♦.工，a均为正整数，

••Q=4,

故答案为：4.

C7

【点评】本题考查分式的值，结合已知条件求得了=1+三一是解题的关键.

b5—a

2x—3

【变式3・4】.（2023春•海曙区校级期末）由7为整数，符合条件的整数x的个数是（）

I为十，

A.1B.2C.4D.5

2x-355

【分析】当x20时，去掉绝对值后利用分离常数法得到G7=2—再根据题意可得一•为整数,

I尤1+1x+1x+1

1

由此可得x=0或x=4；同理当x<0时，可得;7为整数，求出x=0（舍去）；由此即可得到答案.

—x+1

【解答】解：当x'O时,

-2-x---3---2--x---3-2x+2-5=2_---5-

|久|+1-%+1—x+1--——光+1'

2%-3

.・.即为整数,

5

为整数,

x+1

.*.x+l=l或x+1=5,

.*.x=0或x=4；

当x<0时,

2x-32x-32x-2-l1

|%|+1--x+1~-%+1—一2一一汽+1'

••.第I为整数，

|A|-r±

1

••.K为整数,

-x+1=1,-％+1--1

.*.x=0（舍去）；x=2（舍去）,

综上所述，x=0或x=4；

故选：B.

【点评】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键.

【变式3-5].（2024秋•莱阳市期末）若x为整数，则使士——的值为整数的x有3个.

xzx

%+33

【分析】先把除法运算化为乘法运算，再约分后得到原式=——，接着把结果化为1+-，然后利用整

XX

数的整除性和分式有意义的条件确定整数X的值即可.

X2—9x—3(%+3)(x—3)xx+33

【解答】解:

x2xx2x—3

Vx为整数,

3比2—9x—3

・..当X为±3、±1时，0整数，此时丁一〒的值为整数,

：xW0且x-3W0,

%2-9x-3

为-3或-1或1时,丁一丫的值为整数.

故答案为：3.

【点评】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没

有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0.

工2-5冗+4

【变式3-6].（2024秋•长沙期末）若------的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（）

x—3

A.1个B.2个C.3个D.4个

工2—5久+422

【分析】先将分式七丁分离常数得到“一2一—’再将问题转化为.为整数的问题求解.

X2—5%+4Q—3)2+Q—3)—222

【解答】解:=x—3+1—---

%—3x—3x—3=1一募i

比2一4支+4

丁丁的值为整数,X为整数,

2

•••百为整数,

'.x-3=±1或x-3=±2,

.'.x=4或2或5或1,

故选：D.

【点评】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考.

【变式3-7].（2024春•义乌市月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的

x+1x—1+2x—1222.x—32%+2—5

形式,则称这个分式为“和谐分式”.如：工1=不一=工1+二1=1+=不T=F

2x+2-5—5x+12.x—3

丁7+。=2+0,则一和不■都是“和谐分式”•

（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是①⑶⑷⑤（填序号）;

-.x+12+x^x+3y2+ly^+6y+l

;

①丁