圆的方程-2023学年高二数学考点复习（人教A版选择性）

2.4圆的方程

备注：资料包含：1.基础知识归纳；

2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：圆的标准方程；圆的一般方程；点和圆的位置关系；圆的几何性

质；圆求轨迹

3.课堂知识小结

4.考点巩固提升

知识归纳

—.圆的标准方程：以点C(a,力为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x-a)，(y-b)2=户.

特例：圆心在坐标原点，半径为『的圆的方程是：x2+y2=r2.

二.点与圆的位置关系：

1.设点到圆心的距离为d,圆半径为r：

(1)点在圆上U>d=r；(2)点在圆外-d>r；(3)点在圆内U>d<r.

222

2.给定点M(x0,y0)及圆C:(x-a)+(y-b)=r.

222222

①M在圆C内o(x0-a)+(y0-Z?)<r②M在圆C上o(x0-a)+(y0-/?)=r

222

③V在圆C外。(x0-a)+(y0-b)>r

三.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

当。2+E2yF>0时，方程表示一个圆，其中圆心半径r=一+E-4J

<22；2

当。2+石2T尸=o时，方程表示一个点(_修,-g]

当。2+62一1/<0时，方程无图形(称虚圆).

注：(1)方程-2+瓯+0,2+瓜+4+尸=0表示圆的充要条件是：3=0且4=。20且。2+E2TAFX0.

圆的直径或方程：已知4>1，打)5(无2，、2)=>(了一%1)(%-%2)+();-3;1)。7-丁2)=0

B考西讲福

考点1：圆的标准方程

例1.圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是()

A.x2+y2=1B.x2+y2=4

C.(x+1)-+(y+l)~=3D.(x+1)-+(y+l)-=6

【答案】B

【分析】直接写出标准方程，即可得到答案.

【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为/+/=人

故选：B

?【方法技巧】

1.以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.

2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2.

【变式训练】

【变式2].已知圆的方程为无2+了2=4,那么这个圆的面积等于()

A.2B.3C.nD.4n

【答案】D

【分析】根据圆的半径求得圆的面积.

【详解】圆/=4的半径为2,所以面积为兀x2?=4兀.

故选：D

【变式3].已知圆方程必+-2x+4y-l=0的圆心为()

A.(-2,4)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(2,T)

【答案】C

【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标；

【详解】解：因为/+y一2》+4>-1=0,BP(x-1)2+(y+2)2=6,

所以圆心坐标为(1,-2)；

故选：C

【变式4].已知实数x,j^z£x2+y2+4x-6y+4=0,则x的最大值是()

A.3B.2C.1D.以上答案都不对

【答案】C

【分析】将方程化为圆的标准形式，确定圆心和半径，结合圆的性质求尤的最大值.

【详解】由5+2)2+⑶-3)2=9,则圆心为(-2,3),半径为3,

所以x的最大值出现在圆心的正右方，点(1,3)位置，故最大值是1.

故选：C

考点2：圆的一般方程

例2.与圆尤2+,2_2x+4y+3=0同圆心，且过点1)的圆的方程是()

A.尤？+y2-2x+4y-4=0B.x2+y2-2x+4y+4=0

C.x?++2x-4y-4=0D.x2+y2+2x-4y+4=0

【答案】B

【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为Y+/一2x+4y+m=0,代入点即可求解.

【详解】设所求圆的方程为f+y2-2x+4y+加=0,由该圆过点得m=4,

所以所求圆的方程为无2+V-2x+4y+4=0.

故选：B

£【方法技巧】

x2+y2+£)x+Ey+F=0.

当£>，炉-4/>0时，方程表示一个圆，其中圆心半径r=也2

<22)2

当E)2+E2T尸=o时，方程表示一个点

当£P+E2-4/<0时，方程无图形(称虚圆).

注：(1)方程孙+Qy2+Dx+Ey+F=o表示圆的充要条件是：B=OB.A=C^QB.D2+E2-4AF^O.

圆的直径或方程：已知A(Xi，y])B(X2，y2)n(x-Xi)(x-X2)+(y-yi)(y-y2)=。

【变式训练】

【变式11设甲：实数〃<3；乙：方程/+丁-.丫+3了+。=0是圆，则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由方程表示圆可构造不等式求得a的范围，根据推出关系可得结论.

95

【详解】若方程X?+y2-x+3y+a=0表示圆，则(一1)+32—4。=10—4。>0,解得：a<—；

；a<3&avg，，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B.

【变式21方程/+)；2-2犬+2>>=0所表示圆的圆心与半径分别为()

A.(1,-1),2B.(-1,1),2C.(-1,1),V2D.(1,-1),A/2

【答案】D

【分析】直接化成圆的标准方程，求圆心和半径即可.

【详解】由/+/一2》+2>=0得(x—l)2+(y+l)2=2,故圆心半径应.

故选：D.

【变式3】.若曲线C：/+/+2依一4冲-10。=0表示圆，则实数。的取值范围为()

A.(-2,0)B.(-oo,-2)u(0,+oo)

C.[-2,0]D.(-»,-2]U[0,+«>)

【答案】B

【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.

【详解】由x?+丁+2ax-4ay-10a=0,

得(x+o)~+(y-24y=5a2+10a,

由该曲线表示圆，

可知5a2+10a>0,

解得a>0或a<-2,

故选：B.

考点3：点与圆的位置关系

例3.刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.

甲：该圆经过点(2,2).

乙：该圆的半径为君.

丙：该圆的圆心为(L。).

T：该圆经过点(7,0),

如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.

【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6,与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误,

圆心(1,0)到点(2,2)的距离与圆心(1,0)到点(7,0)的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误，点(2,2)到

点(7,0)的距离大于2石，不成立；假设丁的结论错误，圆心。,0)到点(2,2)的距离等于石，成立.

故选：D

?【方法技巧】

1.设点到圆心的距离为d,圆半径为r：

(1)点在圆上<=>d=r；(2)点在圆外<=>d>r；(3)点在圆内=>d<r.

22

2.给定点M(x0,y0)及圆C:{x-d)~+{y-b)=r.

222222

①”在圆C内o(%0-a)+(y0-Z?)<r②M在圆C上o(x0-a)+(y0-b)=r

222

③Af在圆C外=(x0-a)+(y0-b)>r

【变式训练】

【变式1】.过点PCM)可以向圆/+丁+2了-4、+左-2=0引两条切线，则上的范围是()

A.k>2B.0<k<l

C.左<7D.2<k<l

【答案】D

【分析】过点PCM)可以向圆/+/+2》一4〉+左-2=0引两条切线，即点尸(U)在圆外，即P到圆心的距离

大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点尸(1』)

到圆心的距离，由d>r且7—左>0,即可求解.

【详解】把圆的方程化为标准方程得(x+iy+(x-2)2=7-展即圆心坐标为(-1,2),半径为

r=小-k,

点尸(1,1)到圆心的距离为d=J(l+l『+(l-2)2=百,

尸在圆外时，过点尸可以向圆/+/+2彳_4丁+4-2=0引两条切线，

d＞r,即若＞j7-k,且7——＞。,

解得2〈左＜7,

故选：D.

【变式2】.若点（5a+l,12a）在圆（＞1）2+/=1的内部，则实数”的取值范围是（）

.,,111111

A.—1＜6Z＜1B.—＜。＜—C.—＜。＜—D.-----＜。＜—

33551313

【答案】D

【分析】由点与圆的位置关系可得出关于实数。的不等式，由此可求得实数。的取值范围.

【详解】解:因为点尸（54+1,12。）在圆（x_iy+y2=i的内部，则（5耳2+（124）2=169〃＜1,

解得：---＜a＜一.

1313

故选：D.

【变式3］若点（44一1,3。+2）不在圆（*+1）2+（3；-2）2=25的外部，则°的取值范围是（）

A.一且＜0＜且B.-l＜a＜l

55

C.一叵MaM叵D.-l＜a＜l

55

【答案】D

【分析】根据点与圆的位置关系，代值计算即可求得。的取值范围.

【详解】由已知得（4ay+（3a）2w25,解得

|«|＜1,即-lWaWl.

故选：D.

考点4：圆的几何性质

例4.已知半径为2的圆经过点（2,1）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）

A.75+2B.75-2C.小D.3

【答案】B

【详解】依题意，半径为2的圆经过点（2,1）,

所以圆心的轨迹是以（2,1）为圆心，半径为2的圆，

所以圆心到原点的距离的最小值为加+f-2=75-2.

故选：B.

?【方法技巧】

先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.

【变式训练】

【变式1].已知点分别在圆6：（工一1）2+（丫-2）2=9与圆。2：（彳-2）2+（丫-8）2=64上,贝||加|

的最大值为（）

A.75+11B.17C.V37+11D.15

【答案】C

【分析】根据圆的性质，可得的最大值为圆心距加上半径之和.

【详解】圆G的圆心G（L2）,半径4=3,圆洋的圆心。2（2,8）,半径2=8,

贝!11=|GG|+弓+4=7（2-1）2+（8-2）2+3+8=技+11.

故选：C

【变式2].某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G

商用，已知甲、乙两地相距8km,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的百倍，则这个三角形信号覆盖区域

的最大面积是（）

A.86km，B.16^/3km2C.12娓km，D.16娓km2

【答案】B

【分析】以线段的中点。为原点，线段所在直线为尤轴，线段A8的垂直平分线为y轴建立平面直

角坐标系，利用|人。=6忸。即可求出点C的轨迹方程，即可求出这个三角形信号覆盖区域的最大面积.

【详解】以点A,B,C分别表示甲、乙、丙三地，以线段的中点。为原点，线段所在直线为无轴,

线段48的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则4（—4,0）,8（4,0）,设点C（x,y）,则|A。=括忸。，

即J（无+4『+）=73'^（x-4）2+y2,

整理可得（尤-8『+y2=48,

二点C的轨迹是以点（8,0）为圆心，4—为半径的圆，

……”乂庠16叔

故选：B.

12

[变式3].已知圆(无一l)2+(y_3)2=5关于直线ox+外-2=0对称，a>Q,b>G则上+：的最小值为

ab

)

7+巫7-2心7—,\/6

A7+2八RcD.

122*22

【答案】A

1?1(121

【分析】先由直线过圆心求得，+3〃=2,再由％+厂就+日〃+36)结合基本不等式求得最小值即可.

【详解】由题意知，直线G+外-2=0过圆心(1,3),则。+36-2=0,即。+36=2,又。>0力>。,

+++迎+网+6]『当且仅当二2a

则

ab2\ab)2(ab)2a~b

即"浮,人与当时取等’则「初勺最小值为

故选：A.

考点5：轨迹问题圆

例5.在①过点C(2,0),②圆E恒被直线如-y-租=0(冽eR)平分，③与y轴相切这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，并解答.

已知圆E经过点4(0,0),3(1,1),且______.

⑴求圆E的一般方程；

⑵设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.

【答案】⑴f+丁-2x=0

(2)x2+y2-x=0

【分析】(1)选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法,

即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解,

（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.

（1）方案一：选条件①.

设圆的方程为/+丁+。工+4+/=0（。2+石2-4/>0）,

F=0D=-2

2+D+E+F=Q,解得,E=Q,

4+2D+F=0F=。

则圆E的方程为d+y2-2x=0.

方案二：选条件②.

直线如-丫-机=0恒过点（1,0）.

因为圆E恒被直线=meR）平分，所以2-y-%=0恒过圆心，

所以圆心坐标为（1,0）,

又圆£经过点A（o,o）,所以圆的半径r=l,所以圆E的方程为（x-iy+y2=i,即/+/一2x=0.

方案三：选条件③.

设圆E的方程为（x—a）2+（>_32=’.

(1=1

由题意可得a2+b2=r2,解得＜b=0,

(l-a)2+(l-Z7)2=r2r=1

则圆E的方程为（无一1）2+>2=1,即/+>2_2》=0.

⑵设M（X,J）.

因为M为线段AP的中点，所以尸（2x,2y）,

因为点P是圆£上的动点，所以（2xy+（2»—2x2x=0,即/+9_尤=0,

所以M的轨迹方程为V+y2-x=0.

2【方法技巧】

1.建立合适的平面直角坐标系

2.设出所求的量

3.找出限制条件

4代入

5.化简。下结论

【变式训练】

【变式11阿波罗尼斯(约前262—前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数

左(左>0,左片1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点0(0,0),A(3,0),动点

PO1

产满足K3,则点尸的轨迹方程是.

【答案】(X+1)2+/=4

【分析】直接设点P的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P的轨迹方程.

【详解】设尸(x,y),N即-^+之，整理得：Y+y2+2x_3=0即"+1)2+/=4.

PA27(^-3)+/2

故答案为：(X+1)2+J2=4.

【变式2].已知点4(0,1),B(2,-l),动点P(x,y)满足百.而=1，则点P的轨迹为.

【答案】(1)'+丁=3

【分析】用向量数量积的坐标运算表示已知等式化简即得轨迹方程，由方程可判断轨迹.

【详解】PA=(—X,1—y),PB=(2—x,—l—y)>

西.而=一》(2_尤)_(1_,)(]+y)=_2彳+尤2_]+,2=],

化简得：(D、加3,所以，点P的轨迹为圆：(x-l)2+y2=3

故答案为：(—y2m3

【变式3]如图，圆。|与圆仪内切，且@。2=4,大圆Q的半径为5.过动点P分别作圆Q、圆Q的切线

PM、PN(M、N分别为切点、),使|PM=0|RV|,试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点尸的轨迹.

M

P

【答案】圆心为(6,0),半径为3的圆.

【分析】首先建系，以。。2所在直线为x轴，以QU的中点为原点，从而可得。1(-2,0),。2(2,0),

设尸(无,>),由直线和圆相切的几何关系可得：7(X+2)2+/-25=>/2.7(X-2)2+/-1,化简即可得解.

如图，以。。2所在直线为x轴，以。。2的中点为原点,

建立直角坐标系，则。(-2,0),O?(2,0),

设P(x,y),连接,POt,NO2,PO2,

则MO}1PM,NO2±PN,

根据勾股定理可得，

\PM\=7(X+2)2+/-25

\PN\=^x-2)2+y2-l,

由1PM="|RV|,

可得J(x+2)2+;/—25=应■7(x-2)*2+y2-l,

平方整理可得：(x-6)2+y~=9,

所以动点尸的轨迹为圆心为(6,0),半径为3的圆.

0赢雁

一.求圆轨迹的步骤

1.建立合适的平面直角坐标系

2.设出所求的量

3.找出限制条件

4代入

5.化简。下结论

二.求圆轨迹的方法

1.定义法

2.待定系数法

3.几何法

羔巩固提升

一、单选题

1.圆/+y+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是()

A.(-1,-2),11B.(—1,2),11C.(―1,—2),D.(—1,2),^/n

【答案】D

【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.

【详解】先化为标准方程可得(尤+1『+仃-2)2=11,故圆心为(-1,2),半径为万.

故选：D.

2.AASC三个顶点的坐标分别是A。/)，8(4,2),C(3,0),贝UAMC外接圆方程是()

A.尤2+y?-3x-5y+6=0B.龙？+y?-5x-3y+6=0

C.厂+y?—3x—5y—6=0D.—5x—3y—6=0

【答案】B

【分析】利用待定系数法进行求解即可.

【详解】设圆的一般方程为炉+产+m+8+尸=0，D2+E2-4F>0,

因为8(4,2),C(3,0)在这个圆上,

l2+l2+D+£+F=0D=-5

所以有,42+22+4D+2E+F=0^>E=-3

32+02+3D+F=0F=6

故选：B

3.方程y=表示的曲线是().

【分析】整理得/+9=4&40),再根据圆的方程即可得答案.

【详解】解：对y=■两边平方整理得/+丁=4340),

所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为2的圆在x轴及下方的部分，A选项满足.

故选：A

4.已知圆(x+l『+(y+2)2=4关于直线分+勿+1=0(a＞0,。＞0)对称，则工+g的最小值为()

5

A.-B.9C.4D.8

2

【答案】B

【分析】由题可得。+26=1(。＞0力＞0),然后利用基本不等式即得.

【详解】圆(x+iy+(y+2)2=4的圆心为(―1,-2),依题意，点(T—2)在直线ox+勿+1=0上,

因止匕一。一劝+1=0,即a+26=l(a>0,/?>0),

122b2a、仁c

—+-+——+——>5+2=9,

abab

当且仅当丝=学,即。=6=1时取"=〃，

ab3

所以上1+羡?的最小值为9.

ab

故选：B.

5.已知圆C:/+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的圆C关于直线质-y+)=0对称，则8=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】分别求得圆C和原点为圆心的圆的圆心坐标，求得直线CC的斜率为七0=-g，即CC的中点坐

标为(-2,1),结合题意，求得直线2x-y+0=0的方程，代入中点坐标，即可求解.

【详解】由题意，圆C:M+y2+8x_4y=0,可得圆心坐标为C(T,2),

以原点为圆心的圆的圆心坐标为c'(o,o),

可得直线CC的斜率为kcc,=彳==V，且c,C'的中点坐标为(-2,1),

因为圆C与以原点为圆心的圆C关于直线履-y+6=。对称，

所以％=2,即2x-y+Z?=0,

将点(-2,1)代入直线2x-y+b=0,可得6=5.

故选：A.

6.圆(x-4y+(y+3)2=25关于原点(0,0)对称的圆的方程为().

A.(x+4)2+(y+3)2=25B.(x+4)2+(y-3)2=25

C.(x-4)2+(y+3)2=5D.(x-4)2+(y-3)2=25

【答案】B

【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心

和半径，进而得到所求圆方程.

【详解】由(尤-4)2+(y+3)2=25知其圆心为(4,-3),半径r=5；

•・・圆心(4,-3)关于原点(0,0)对称的点为(T3),即所求圆的圆心为(Y,3),

又所求圆的半径r=5,

二所求圆的方程为：(x+4『+(y-3)2=25.

故选：B.

7.已知点（。,2）在圆尤2+丁-2“x-3，+〃+。=0的外部，则。的取值范围是（)

A-B.C，+fC.12,jDJW）

【答案】D

【分析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可.

【详解】由点在圆外知〃+22-2/4-3乂2+/+4>0，即。一2>0,解得a>2,

又/+丁-2ax-3y+a2+a=0^jH],贝！|（-2a）2+（―3）~—4+。）>0,

90

解得a<一,故2<a<一.

44

故选：D.

8.如图，在圆。:/+9=1上取一点A（1,：）,点8为点A关于y轴的对称点，E,尸为圆。上的两

点，且满足NER4=NEB4,则E尸的斜率为（）

A.-2B.-73C.-1D.--

3

【答案】B

【分析】连接。及。4。尸，证明AEOCMAEOC,即可得到Q4LEF,根据金F•的A=T，七4利用两点计

算可得

【详解】连接。及04。尸，和所交于点C,如图

・.・ZEBA=NFBA

/EBA=-/EOA,ZFBA=-ZFOA

22

:.ZEOA=ZFOA

又OC=OC,OE=OF

:AEOC*AFOC

ZOCE=ZOCF=9(f

kEF.k0A=-l

••^EF=-6

故选：B

二、多选题

9.［多选题］若％2+y2—x+y—2m=0是一个圆的方程，则实数机可取的值有()

1

A.——B.0C.1D.2

4

【答案】BCD

【分析】根据题意，结合。2+序_4户>0,即可求解.

【详解】由题意得。2+£2-4/=(-1)一+12-4*(-2m)>0,解得

故选：BCD.

10.设圆的方程是(x-a)2+(y+6)2=片+62,其中。>0,b>0,下列说法中正确的是(

A.该圆的圆心为B.该圆过原点

C.该圆与无轴相交于两个不同点D.该圆的半径为

【答案】BC

【分析】根据圆的标准方程的性质逐一判断即可.

【详解】由圆的标准方程可知：该圆的圆心坐标为(。,-3，半径为77寿，所以选项A、D不正确；

因为(0-。)2+(0+6)2=储+片，所以该圆过原点，因此选项B正确；

在圆的方程(x-a)2+(y+匕?=储+，2中，令y=。，有

(%—+b2=a2+b2=>(%—a)-=a2=>x=2a,或x=0,因为a>0,

所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确，

故选：BC

三、填空题

11.方程/+;/+47?吠-2y+5〃z=。表示圆，则机的取值范围为.

【答案】m<：或%>1

4

【分析】由方程表示圆得到不等式，直接求解即可.

1

【详解】由题意知：(4m)9+(-2)2-4-5m>0,即4帆之一5帆+1>0,解得机或别>1.

故答案为：机<:或机>1.

4

12.在半径为一的圆中，一条弦的长度为有—，则这条弦所对的圆心角是.

27r

【答案】—##120°

【分析】根据圆中弦长、半径及圆心角2。的关系可得sin8=且，即可得圆心角的大小.

2

【详解】若圆心角为2。，贝I]sin6=且，而26e(0,汨，故

23

所以圆心角为年27r.

27r

故答案为：y

13.已知圆C经过两点尸(-1,-3),Q(2,6),且圆心在直线尤+2>-4=0上，则圆C的一般方程为.

【答案】x2+y2-4x-2y-20=0

【分析】将点的坐标代入到圆的方程中，即可求出圆的方程.

【详解】设