中考数学二轮复习拓展训练：几何动态性问题之动点问题（原卷版+解析）

专题36几何动态性问题之动点问题（原卷版）

类型一动点产生函数关系

1.（2022秋•呼和浩特期末）如图，AB=5,。是AB的中点，尸是以点。为圆心，A8为直径的半圆上的一

个动点（点P与点A,B可以重合），连接B4,过P作于点“设”=无，则Agjr2,令y

=AP-AM,下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

2.（2022•湖北模拟）如图①，在矩形A8C。中，AB<AD,对角线AC,8。相交于点O,动点P由点A出

发，沿A8-BC-CZ）向点。运动.设点尸的运动路程为x,ZVI。尸的面积为y,y与x的函数关系图象

如图②所示，则A。边的长为.

3.（2022秋•荔城区校级期末）如图，点A为双曲线在第二象限上的动点，A。的延长线与双曲线的

另一个交点为8，以为边的矩形A8CD满足AB：BC=4：3,对角线AC,BD交于点P,设尸的坐标

为（777,n）,贝”九，〃满足的关系式为.

4.（2022秋•甘井子区校级期末）如图，△ABC中，AB=AC=6cm,8c=8c/w,点尸从点8出发，沿线段

BC以2cmis的速度向终点C运动，点。从点C出发，沿着C-A-B的方向以3c%/s的速度向终点B运

动，P,。同时出发，设点尸运动的时间为f（s）,△CP。的面积为S（。扇）.

（1）sinB=；

（2）求S关于f的函数关系式，并直接写出自变量f的取值范围.

AA

备用图

类型二动点产生面积变化

5.(2022春•舒城县校级月考)如图所示，在矩形A8C。中，AB=20,A£>=16,点尸从点A出发沿A8以

每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点。从点8出发沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运

动，点尸到达终点后，P、。两点同时停止运动.

(1)当f=3秒时，线段。尸=—.

(2)当/=—秒时，ABP。的面积是24.

6.(2022秋•江门期末)如图，在△ABC中，NB=90°,AB=5cm,BC=8cm.点P从点A开始沿AB边

向点B以\cmJs的速度移动、同时点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到

达终点时，另外一点也随之停止运动.

(1)△PQB的面积能否等于9cm2?请说明理由.

(2)几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2?请写出过程.

A-APB

类型三动点产生两点距离变化

7.（2022•安岳县模拟）如图所示，A,B,C,。为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=Scm,动点P,。分

别从点A,C同时出发，点尸以3c机/s的速度向B移动，一直到达B为止；点。以2c7Ms的速度向。移

动.当P,。两点从出发开始几秒时，点P和点。的距离是10。".（）（若一点到达终点，另一点也

随之停止运动）

A.2s或——sB.1s或——sC.——sD.2s或——s

5555

8.（2022秋•荔湾区校级期末）如图，正方形A8CD中，AB=5cm,以8为圆心，1cm为半径画圆，点尸

是。8上一个动点，连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP,连接BP',在点P移动的过程

中，BP'长度的取值范围是cm.

9.（2022秋•海港区校级期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为"（2,0）,与y轴交于点3（0,2）,

直线>=无+m与该二次函数的图象交于A,B两点，。是线段上的一个动点，过。作无轴的垂线交二

次函数的图象于点E.则线段DE的最大值为一.

类型四动点产生图形形状变化

10.（2022秋•阳泉期末）如图所示，已知△ABC中，BC=l6cm,AC=2Qcm,A8=12aw,点尸是BC边上

的一个动点，点尸从点2开始沿8-C-A方向运动，且速度为每秒2c〃z,设运动的时间为f（s）,若4

A8P是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间t=.

11.(2022秋•中原区校级期末)如图，在矩形O4HC中，0c=8b，04=16,8为C”中点，连接AB.动

点M从点。出发沿。4边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速

度都是每秒1个单位长度，连接CM,CN,MN,设运动时间为f秒，则t=时，△CMN

为直角三角形.

12.(2022秋•中原区月考)如图，在矩形A8CD中、AB=\5cm,AD=5cm,动点尸、。分别从点A、C同

时出发，点尸以3cmk的速度向点B移动，一直到点B为止，点。以2cmis的速度向点。移动(点P停

止移动时，点0也停止移动).设移动时间为f(s).连接尸。，QB.

(1)当/为何值时，P、。两点间的距离为13<?小？

(2)四边形APQ。的形状可能为矩形吗？若可能，求出f的值；若不可能，请说明理由.

13.(2022春•淄川区期中)如图，在梯形A8CZ)中，AD//BC,ZC=ZD=90°,8c=16,CD=\2,AD

=21.动点P从点。出发，沿线段D4的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点。从点C出发，在

线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动.点P,Q分别从点。，C同时出发，当点尸运动到

点A时，点0随之停止运动.设运动时间为t(s),当f为何值时，以3,P,。三点为顶点的三角形为

等腰三角形？

14.(2022秋•崇左期末)已知抛物线>="2+乐+3QW0)交无轴于A(1,0)和8(-3,0),交y轴于C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若M为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点M的坐标；

(3)若尸是对称轴上一动点，。是抛物线上一动点，是否存在尸、Q,使以8、C、R。为顶点的四边

形是平行四边形？若存在，直接写出点。的坐标.

备用图

类型五动点产生三角形相似

15.（2022秋•亳州期末）如图Rt^ABC的两条直角边AB=4c〃z,AC=3cm,点。沿AB从A向2运动，速

度是lcm/s,同时，点E沿8C从8向C运动，速度为2cm/s.动点E到达点C时运动终止.连接DE、

CD、AE.

（1）当动点运动秒时，△2DE与△ABC相似；（2）当动点运动秒时，CDLDE.

16.（2022秋•渠县校级期末）如图，直线y=-$+8与x轴、y轴分别交于点A、B,一动点P从点A出发，

沿A一。一B的路线运动到点2停止，C是AB的中点，沿直线PC截△AOB,若得到的三角形与△AOB

相似，则点尸的坐标是.

17.（2022秋•唐河县期末）如图，在矩形ABC。中，AB^3cm,BC=6cm,动点M以lcm/s的速度从A点

出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点。出发，沿D4向点A运动，设运动的时间

为f秒（0</<3）.

1

（1）当/为何值时，△AMN的面积等于矩形ABC。面积的一？

9

（2）是否存在某一时刻人使得以A、M、N为顶点的三角形与△AC。相似？若存在，求出f的值；若

不存在，请说明理由.

类型六动点产生两直线位置关系变化

18.（2022秋•路南区校级期末）如图，矩形A8C。中，AB=16,8c=8,点P为AB边上一动点，。尸交

AC于点Q.

（1）求证：ZkAP0s△C£）Q

（2）P点从A点出发沿AB边以每秒2个单位长度的速度向8点移动，移动时间为f秒.当/为何值时，

DPXAC?

类型七动点产生最值

19.（2022秋•荆门期末）如图，平面直角坐标系中点A（6,0）,以OA为边作等边△OA'B'与

△OAB关于y轴对称，M为线段08'上一动点，则的最小值是（）

C.12D.18

20.（2022•扬州三模）如图，已知正方形A8CD的边长为4,点£是A8边上一动点，连接ED,将绕

点E顺时针旋转90°到EF,连接DF,CF,则DF+CF的最小值是（）

21.（2021秋•殷都区期末）如图，在△ABC中，ZC<90°,NB=30°,AB=10,AC=7,。为AC的中

点，M为边上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转角a（0°<aW360°）得到△A3C,点M的对

应点为连接OM1,在旋转过程中，线段OAf的长度的最小值是（）

22.（2022秋•横县期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴上的动点，连接EC,将线

段EC绕点C逆时针旋转60°等到FC,连接。F,则在点E运动过程中，。产的最小值是（）

23.（2022秋•石门县期末）如图，A8是。。的直径，AB=4,C为通的三等分点（更靠近4点），点尸是

。。上一个动点，取弦AP的中点。，则线段C。的最大值为（）

A.2B.V7C.2V3D.V3+1

24.（2022秋•泰山区期末）如图，点P（3,4）,OP半径为2,A（2.5,0）,B（5,0）,点M是。尸上的

动点，点C是MB的中点，则AC的最大值是（）

3579

A.B.C.D.

2222

25.（2022•南京模拟）如图所示，A8=4,8C=8,于点8点。是线段8C上一个动点，且A。，

DE于点D,tan^DAE=连接CE,则长的最小值是

4-CE

26.（2022秋•市北区校级期末）如图，正方形48C。边长为12c7以M、N分别是边BC,C。上的两个动点,

且则线段AN的最小值是—cm.

27.（2022•富阳区二模）如图，在平行四边形ABC。中，AC与2。交于点。，ZOAB=45°,ZAB（9=60°,

30=8.点P从B点出发沿着BZ）方向运动，到达点。停止运动.连接AP,点B关于直线AP的对称点

为。.当点。落在AC上时，贝|。。=,在运动过程中，点。到直线8。的距离的最大值为.

28.（2022秋•南开区校级期末）平面直角坐标系中，C（0,4）,K（2,0）,A为x轴上一动点，连接AC,

将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB,当点A在x轴上运动，8K取最小值时，点8的坐标为.

29.（2022秋•河口区期末）如图，抛物线>=苏+6尤-3（aWO）与x轴交于点A（-1,0）,点8（3,0）,

与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）在对称轴上找一点。，使△AC。的周长最小，求点。的坐标；

（3）点尸是第四象限内抛物线上的一个动点，试求四边形ACPB面积的最大值.

专题36几何动态性问题之动点问题(解析版)

类型一动点产生函数关系

1.(2020秋•呼和浩特期末)如图，AB=5,。是A8的中点，P是以点。为圆心，为直

径的半圆上的一个动点(点产与点A,8可以重合)，连接以，过P作尸于点设

AP=x,则令尸下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大

致是()

思路引领：由y=AP-AM=尤—#=—■|x(x-5)(0WxW5),即可求解.

解：由题意得：y—AP-AM=x—1x2=-(x-5)(04W5),

Va=-1,故抛物线开口向下，

当时，y的最大值为一(-|)=

故选：A.

总结提升：本题考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是本题解题的关键.

2.(2022•湖北模拟)如图①，在矩形A8CD中，AB<AD,对角线AC,8。相交于点O,

动点P由点A出发，沿AB-BC-CD向点O运动.设点P的运动路程为无，AAOP的

面积为y,y与尤的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为.

思路引领：当P点在AB上运动时，△AO尸面积逐渐增大，当P点到达8点时，结合图

象可得△AOP面积最大为3,得到AB与2C的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP

面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径

长为7,得到AB与8C的和为7,构造关于的一元二方程可求解.

解：当尸点在A8上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，AA。尸面积最

大为3.

9/45

11

：.-AB-BC=3,BPAB'BC=12.

22

当尸点在BC上运动时，△AO尸面积逐渐减小，当尸点到达C点时，△AOP面积为0,

此时结合图象可知P点运动路径长为7,

：.AB+BC^1.

贝|JBC=7-AB,代入A8・BC=12,AB2-7AB+12=0,

解得48=4或3,

'：AB<AD,AB<BC,

：.AB=3,BC=4.

即A£)=4.

故答案为:4.

总结提升：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运

动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.

3.(2022秋•荔城区校级期末)如图，点A为双曲线y=-1在第二象限上的动点，A。的延

长线与双曲线的另一个交点为8,以AB为边的矩形4BCD满足AB：BC=4：3,对角线

AC,8。交于点P,设P的坐标为(m,n),则机，〃满足的关系式为.

思路引领：连接。尸，分别过点4尸作x轴的垂线，垂足为M、N,证明△AOMS/XOPN,

然后利用相似三角形的性质分析求解.

解：连接OP,分别过点4P作x轴的垂线，垂足为M、N,

•.•四边形ABC。是矩形,

10/45

AZABC=90°,AP=PC,

"：OA=OB,

：.OP//BC,BC=2OP,

：.ZAOP=ZABC=90°,AO：OP=AB：8C=4：3,

AZAOM+ZPON=90°,

VZAMO=90°,

：.ZAOM^-ZMAO=90°,

：.ZMAO=ZPON,

：.XAOMsNJPN,

.S^AOM/”。、716

・・-----------=(------)=TF，

S^OPNOP9

:点A为双曲线＞=一,在第二象限上的动点，

设点A的坐标为Q,—|),

1—2

,**S/^AOM=2x(―a)x--=1,

・・b/\OPN=正，

丁尸的坐标为(m,n)9

.19

..Sc/^OPN=2mn=

/.mn=p,

9

-

故答案为：mn8

总结提升：本题考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形判定与性质和矩形的性质，

恰当的构建相似三角形，利用面积比是相似比的平方是解题关键.

4.(2022秋•甘井子区校级期末)如图，ZvlBC中，AB=AC=6cm,BC=8cm,点P从点、B

出发，沿线段以2CM/S的速度向终点。运动，点。从点C出发，沿着。一4一3的方

向以3CM/S的速度向终点5运动，P,。同时出发，设点尸运动的时间为/(s),ACPQ

的面积为S(cm2).

(1)sinB=；

(2)求S关于/的函数关系式，并直接写出自变量/的取值范围.

11/45

AA

Q

BB

备用图

思路引领：（1）过点A作ADLBC,垂足为。，利用等腰三角形的三线合一性质求出80

的长，再利用勾股定理求出A。的长即可解答;

（2）分两种情况，当0V/W1时，当1V/V2时.

解：（1）过点A作垂足为。,

\9AB=AC=6cm,AD1BC,

1

:・BD=2^C=4cm,

在RtZ\A3£)中，AB=6cm,BD=4cm,

：.AD=7AB2-BD2=2V5,

•ADy/~S

••加D=而=中

V5

故答案为：—.

(2)过点。作QE_L8C,垂足为E,

'：AB=AC,

:・NB=/C,

sinB=sinC=亭，

分两种情况：当0V/W1时，

由题意得：CQ=3t,BP—It,

:,CP=BC-BP=8-2t,

在RtZXCQE中，QE=CQsinC=3f^-=迎,

：.S=2P・QE=j*(8-2t)•届=Apt-®=-V5?+4V5r,

当1V/V2时，

12/45

A

Q

由题意得：CA+AQ=3t,BP=2t,

:.CP=BC-BP=8-2t,

BQ^AB+AC-(CA+AQ)=12-3f,

在RtABQE中，QE=B2sin2=(12-3f)•今=4爪-正t,

；.S=*[JP.QE=费1(8-2r)<4V5-V5r)=V5t2-8V5t+16近,

(-V5t2+4V5t(0<t<2)

:.S=

lV5t2-8V5t+1675(2<t<4)

总结提升：本题考查了解直角三角形，函数关系式，勾股定理，等腰三角形的性质，函

数自变量的取值范围，熟练掌握解直角三角形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数

学思想.

类型二动点产生面积变化

5.（2022春•舒城县校级月考）如图所示，在矩形A8CD中，AB=20,AD=16,点尸从点

A出发沿AB以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点。从点B出发沿BC以每

秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，尸、Q两点同时停止运动.

（1）当f=3秒时，线段。尸=—.

思路引领：（1）当f=3秒时，根据题意可得，AP=12,再根据勾股定理即可求解.

（2）设运动时间为rGW5）秒，则BP=20-At,BQ=2t,根据△BP。的面积是24列

13/45

出方程，求解即可.

解：(1):当f=3秒时，4尸=4X3=12,

根据勾股定理得DP=7Ap2+力。2=20.

故答案为：20.

(2)设运动时间为f(fW5)秒，

此时，BP=20-4t,BQ=2t,

MBPQ的面积是24,

1

：.-•(20-4t)-2t=24,

整理得，?-5/+6=0,

解得：ti=2,12—3,

...当f=2秒或3秒时，△BP。的面积是24.

故答案为：2或3.

总结提升：本题主要考查勾股定理、列代数式、一元二次方程的应用，根据题意找准数

量关系，列出方程是解题关键.

6.(2022秋•江门期末)如图，在△ABC中，/B=90°,AB^5cm,BC=8cm.点P从点、

A开始沿A8边向点8以lcm/s的速度移动、同时点。从点8开始沿8c边向点C以Icm/s

的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动.

(1)APOB的面积能否等于95？？请说明理由.

(2)几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2?请写出过程.

思路引领：(1)根据△尸的面积等于9c机2,即可得出关于/的一元二次方程，由根的

判别式△=-1K0,可得所列方程没有实数根，进而得出△PQB的面积不等等于9cm2；

(2)根据四边形APQC的面积等于16a层，即可得出关于r的一元二次方程，解之即可

得出，的值，结合当r=4时，C,。点重合，即可得出结论.

解：(1)的面积不能等于9CMJ2,

理由如下：

•.,54-1=55,84-2=45,

...运动时间t的取值范围为：0W/W4,

14/45

根据题意可得：AP=tm,BP=(5-t)cm,BQ=2tcm,

假设△PQB的面积等于9cm2,

1

则3(5-t)X2t=9,

整理得：?-5/+9=0,

A=(-5)2-4X1X9=-11<0,

•••所列方程没有实数根，

/\PQB的面积不能等于9cm2；

(2)由(1)得：AP^tcm,BP=(57)cm,BQ=2tcm,运动时间f的取值范围为：0

WW4,

•/四边形APQC的面积等于16ctn2,

11

x5x8——(5—t)x2t=16,

22v7

整理得：於-5什4=0,

解得九=1,£2=4,

当当/=4时，C,。点重合，不符合题意，舍去，

:・t=1,

答：Is后，四边形APQC的面积等于16cn?.

总结提升：本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准

等量关系，正确列出一元二次方程；(2)牢记当AVO时，方程无实数根.

类型三动点产生两点距离变化

7.(2022•安岳县模拟)如图所示，A,B,C,。为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=8cm,

动点尸，。分别从点A,C同时出发，点P以3a〃/s的速度向B移动，一直到达B为止；

点。以2cmis的速度向D移动.当尸，。两点从出发开始几秒时，点P和点。的距离是

Wcm.()(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)

思路引领：设当P、Q两点从出发开始x秒时，点P和点Q的距离是10cm,此时AP=

3xcm,DQ=(16-2x)cm,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得

出结论.

解：设当尸、。两点从出发开始x秒时(xV学)，点尸和点。的距离是10cm,

15/45

此时AP=3XC»J,DQ=(16-2x)cm,

根据题意得：(16-2x-3x)2+82=102,

解得:xi—2,X2=番.

22

答：当尸、。两点从出发开始到2秒或W•秒时，点尸和点。的距离是10cm.

故选：D.

总结提升：本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元

二次方程是解题的关键.

8.(2022秋•荔湾区校级期末)如图，正方形A8C。中，AB=5cm,以8为圆心，1c机为半

径画圆，点尸是02上一个动点，连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP,

连接3P',在点P移动的过程中，BP'长度的取值范围是cm.

思路引领：通过画图发现，点P'的运动路线为以。为圆心，以1c机为半径的圆，可知：

当P在对角线BD上时，BP'最小；当P'在对角线BD的延长线上时，BP'最大.先

证明△BLBg/XP'AD,则P'D=PB=1,再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出

BP'的长度的取值范围.

解：如图，当P在对角线2D上时，最小；当尸'在对角线2。的延长线上时，

最大.

连接BP,

①当P在对角线2D上时，

由旋转得：AP=AP',APAP'=90°,

：.ZPAB+ZBAP'=90°,

•••四边形ABC。为正方形，

：.AB^AD,ZBAD=90°,

：.ZBAP'+ZDAP'=90°,

：.ZPAB=ZDAP',

：./\PAB^/\P'AD,

：.P'D=PB=lcm,

在RtAABD中，

AB=AD=5cm9

16/45

由勾股定理得：BD7s2+52=5<2cm,

:.BP'=BD-P'。=5/一1,

BPBP'长度的最小值为(5V2-1)cm.

②当P在对角线8。的延长线上时，

同理可得3。=5/cm,

：.BP'=BD+P'D=(5V2+1)cm,

BPBP'长度的最大值为(55/2+1)cm.

.•.8P'长度的取值范围是(5V2-1)cm^BP'W(5A/2+1)cm

故答案为：(5A/2—1)cm^BP'W(5A/2+1)cm.

总结提升：本题考查了正方形的性质、旋转的性质、点与圆的位置关系和最值问题，寻

找点P'的运动轨迹是本题的关键.

9.(2022秋•海港区校级期末)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),与y轴

交于点3(0,2),直线>=无+相与该二次函数的图象交于A,B两点，。是线段上的

一个动点，过。作x轴的垂线交二次函数的图象于点E.则线段DE的最大值为.

思路引领：根据题中条件可求出抛物线和直线的解析式，进而求出点A的坐标，根据点

。是线段A8上的一个动点，设出点。的坐标，再根据。轴，可得出点E的坐标,

则可得出DE=一排2+3m=-3)2+/根据二次函数的性质即可求出最大值.

解：根据题意可设抛物线解析式为：y=a(x-2)2,

把8(0,2)代入可得：4a=2,解得：。另，

抛物线解析式为：(尤-2)2=#-2X+2,

17/45

把8(0,2)代入直线＞=%+m可得：m=2,

，y=x+2,

1

当r2-2x+2=x+2时，解得：xi=0,%2=6,

2

AA(6,8),

•・•点D是线段AB上的一个动点，

，可设点。的坐标为(m,m+2),且0WmW6,

•・•过。作x轴的垂线交二次函数的图象于点E,

1

••.点E的坐标为(m,—ITT-2m+2),

2

'.DE=m+1-(—m2-2/w+2)=-^m2+3m——1(m-3)2+^,

2222

1

<0,图象开口向下，且0W»iW6,

9

当根=3时，DE有最大值，最大值为一；

2

9

故答案为：--

总结提升：本题主要考查的是二次函数之线段最大值题型，解题关键：一是求出抛物线

与直线的解析式，二是用含有m的式子表示出DE的长并配成顶点式.

类型四动点产生图形形状变化

10.(2022秋•阳泉期末)如图所示，已知AABC中，BC=\6cm,AC=20cm,AB=12cm,

点P是BC边上的一个动点，点尸从点2开始沿B-C-A方向运动,且速度为每秒2cm,

设运动的时间为t(s),若是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间f=.

思路引领：分情况讨论：AB=BP,AB^AP,画出图形分别求解即可.

解：'：BC=16cm,AC=2Qcm,AB=12cm,

:.BC2+AB2^AC2,

.*.ZB=90o,

如图1,AB=PB=\2cm,

18/45

图1

••t~~12=2=6s；

如图2,AP=AB=12cm,

:・BC+PC=(16+20-12)cm=24cm,

・1=24+2=12s；

如图3,AB=BP=ncm,

过点8作3O_LAC于O,则

11

VSAABC=2XABXBC=XACXBD.

・•・12X16=203。，

BD=9.6cm,

由勾股定理得：AZ）=7AB2-BD2=J122-9.62=1.2cm,

：.AP=2AD=UAcm,

：.t=（16+20-14.4）4-2=10.85,

综上所述，f的值是6s或12s或10.8s.

故答案为：6s或12s或10.8s.

总结提升：本题考查的是等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题

的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

H.（2022秋•中原区校级期末）如图，在矩形OAHC中，OC=8b，04=16,2为C//中

点,连接A3.动点M从点。出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向

点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM,CN,MN,设运

动时间为t（0<f<16）秒，贝卜=时，△CMN为直角三角形.

思路引领：丛CMN是直角三角形时，有三种情况，一是/CMN=90°,二是/MNC=

19/45

90°,三是NMCN=90°,然后进行分类讨论求出/的值.

解：过点N作。4的垂线，交。4于点R交CH于点、E,如图,

•IB点是CH的中点，

1

,BH=*：H=8,

VAH=OC=8V3,

・•・由勾股定理可求：AB=16f

，：AN=t,

：.BN=16-t,

'：NE//AHf

:ABENs丛BHA,

.BN_EN

AB~AH

.16-t_EN_

16-8疗

：.EN=(16T),

：.FN=S^3-EN=%

当NCMN=90°,

由勾股定理可求：AF=1r,

13

：.MF=AM-AF=16-/一夕=16—务

*：ZOCM^ZCMO=90°,

/CMO+/FMN=94°,

：・/OCM=NFMN,

•：/O=/NFM=90°,

:.ACOMsAMFN,

当NMNC=94°,

3t

CE=OF=OM^MF=t+\6-|r=16-p

•：/MNF+/CNE=90°,

ZECN+ZCNE=90°,

20/45

・•・NMNF=/ECN,

VZCEN=ZNFM^90°,

:•丛CENs丛NFM,

.CEEN

・'FN—MF'

16-|哼(16-t)

V0<Z<16,

当/NCM=90°,

由题意知：此情况不存在，

综上所述，为直角三角形时，仁我8.

总结提升：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一

定的综合性

12.(2022秋•中原区月考)如图，在矩形A8CD中、AB=l5cm,AD=5cm,动点P、。分

别从点A、C同时出发，点P以3c7Ms的速度向点B移动，一直到点B为止，点。以2cink

的速度向点D移动(点P停止移动时，点。也停止移动).设移动时间为t(s).连接

PQ，QB.

(1)当f为何值时，P、。两点间的距离为13。机？

(2)四边形APQ。的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由.

思路引领：(1)可通过构建直角三角形来求解.过。作。于如果设出发x秒

后，QP=T3cm.那么可根据路程=速度X时间，用未知数表示出PM的值，然后在直角

三角形PMQ中，求出未知数的值.

(1)利用矩形的性质得出当AP=Z)。时，四边形为矩形求出即可；

21/45

解：(1)设出发/秒后P、。两点间的距离是13aw.

则AP=3t,CQ=2r,作于M,

则PM=|15-2r-3f|=|15-5r|,

(15-5t)2+52=132,

解得：f=0.6或f=5.4,

答：P、。出发0.6和5.4秒时，P,。间的距离是13cm；

(2)四边形APD。的形状有可能为矩形；

理由：

当四边形APQD为矩形，则

即3f=15-2t,

解得：f=3.

答：当P、。出发3秒时四边形APQO为矩形.

总结提升：本题考查了一元二次方程的应用，本题结合几何知识并根据题意列出方程是

解题的关键.

13.(2022春•淄川区期中)如图，在梯形ABC。中，AD//BC,/C=ND=90°,BC=16,

CD=\2,A£)=21.动点P从点。出发，沿线段D4的方向以每秒2个单位长度的速度

运动，动点。从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点8运动.点P,

。分别从点。，C同时出发，当点P运动到点A时，点。随之停止运动.设运动时间为

t9,当f为何值时，以B,P,。三点为顶点的三角形为等腰三角形？

思路引领：以8,P,。为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当

PQ=B。时，当8P=8Q时，由等腰三角形的性质就可以得出结论.

解：如图1,当尸8=尸。时，作尸及LBC于E,

1

J.EQ^^BQ,

"：CQ=t,

：.BQ=16-t,

22/45

1

**•EQ=8-

11

EC=8—)/+/=8+a九

1

・・2t=8+

解得：u竽.

如图2,当PQ=2。时，作QELAD于E,

：.ZPEQ=ZDEQ=90°,

VZC=ZD=90°,

AZC=ZD=ZDEQ=90°,

・•・四边形DEQC是矩形，

:,DE=QC=t,

:.PE=t,QE=CD=12.

在Rtz^PE。中，由勾股定理，得

PQ=7t2+144.

16-t=7t2+144,

解得：/=2；

如图3,当8尸=3。时，作PELLBC于E,

CQ=t,

：.BP=BQ=BC-CQ=16-t,

■:PD=2t,

:・CE=2t,

：.BE=16-2t,

在RtABEP中，

(16-2t)2+122=(16-t)2,

3?-32f+144=0,

△=(-32)2-4X3X144=-704<0,

故方程无解.

综上所述，仁竽或二时，以2,P,。三点为顶点的三角形为等腰三角形.

s2

23/45

PE

AD

BOC

总结提升：本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，

一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键.

14.(2022秋•崇左期末)已知抛物线y=a/+b尤+3(a#0)交尤轴于A(1,0)和8(-3,

0),交y轴于C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若M为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点M的坐标；

(3)若F是对称轴上一动点，。是抛物线上一动点，是否存在只Q,使以8、C、F、

。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点。的坐标.

思路引领：(1)由待定系数法即可求解；

(2)由AMBC的面积=SABNM+SACMN,即可求解；

(3)当BF(BC、BQ)是对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解.

解：(1)把A(1,0)和8(-3,0)代入y=a?+6x+3(aWO),得：

《+”嗔。。，解得忆一；，

19a—3b+3=0S=—2

.•.抛物线解析式为y=-/-2x+3；

(2)为抛物线上第二象限内一点，如图，过点/作尤轴交于点N,

24/45

:抛物线解析式为y=-7-2x+3,8(-3,0)

：.C(0,3),

；.OC=3,。2=3,

设直线解析式为y=kx+b,贝b=°，

解得:eu，

3=3

・•・设直线BC解析式为y=x+3,

设M(zn,-m2-2m+3),N(m,m+3),

273?9

:・MN=—m—2m+3—m—3=—mz—3m=—(m+))+4,

・••当7H=—|时，MN有最大值,

・••当m=-楙时，△M8C的面积最大，

,1?7

/XMBC的面积=SA8NM+S^CMN=2x3xMN=豆，

此时点M的坐标为(一|,学)；

(3)存在.理由如下：

:抛物线解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

抛物线的对称轴为直线尤=-b

设点。(m,-nr-2”z+3),点_F(-1,f),

当BC是对角线时，由中点坐标公式得：-3=根-1,

解得：m=2,则点。(-2,3)；

当8尸是对角线时，由中点坐标公式得：-3-1=MI,

解得：m—~4,则点。(-4,-5)；

是对角线时，由中点坐标公式得：m-3=-1,

解得：机=2,则点。(2,-5)；

综上所述，点。的坐标为(-2,3),(-4,-5),(2,-5).

总结提升：本题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数

的性质，平行四边形的判定，三角形的面积，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和

性质.

类型五动点产生三角