重难点突破：解三角形图形类问题（十大题型）

重难点突破02解三角形图形类问题

目录

方法技巧总结

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可

以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

必考题型归纳

题型一：妙用两次正弦定理

例1.(2023・全国•高三专题练习)如图，四边形48CD中NA4c=90。，ZABC=3Q°,AD，CD,设NNCD=氏

(1)若A48c面积是A4CD面积的4倍，求sin28；

■7T

(2)若NADB=—,求tand.

6

【解析】(1)设，贝！1/8=百4，AD=asin0fCD=acos0,由题意5根比=43^^，

贝•百Q=4--acosO-asin0,所以sin29=

222

(2)由正弦定理，A4AD中,，即sin(万一夕)sin三①

sinZBADsinZADB

ABC。中,

sinZSCDsinZCDB

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①+②得：2sin1?+eJ=3sin6,化简得

Geos。=2sin。，所以tan。=.

2

例2.（2023•湖北黄冈•高一统考期末）如图，四边形中/胡。=90。，ZABC=60°，ADLCD,设

ZACD=0.

（1）若面积是"C。面积的4倍，求sin20;

(2)若t2LnZADB=—,求tan。.

2

【解析】(1)设/B="，

贝I」ZC=N，AD=y/3asm0,CD=Cacos6,

由题意S4ABe=4S^ACD,

则=4,由QCOS。・、/Jasin。，

所以sin2。=

6

BD_AB

（2）由正弦定理，在△力双）中,

sin/BADsinZADB

BDa

即sin(»-。)sinZADB①

BDBC

在△55中,

sin/BCDsinZCDB

BD2a

即sin寻'si呜-〃D2)②

sin。

=2tanZADB=1

②+①得:sin《+6

/.sin。=sin仁+6

化简得cos6=(2-sin0，

所以tan0=2+V3.

例3.（2023•全国•高三专题练习）在①/B=24D,@sinZACB=2sinZACDf③邑力叱=这三个条

件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

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己知在四边形48CD中，ZABC+/ADC=7t,BC=CD=2,且.

(1)证明：tanZABC=3tanZBAC；

（2）若/C=3,求四边形/BCD的面积.

【解析】（1）方案一：选条件①.

ACBCAB

在^ABC中,由正弦定理得,

smZABCsinNBACsinZ.ACB

CDAD

在中，由正弦定理得，

sinZDAC~sinZACD

因为ZABC+NADC=兀，所以sinZABC=sinNADC,

因为8C=CD,sinABAC-sinADAC,

因为N3/C+N£UC<7t,所以NB4C=/DAC,

因为48=2/。，所以sinNNC3=2sinN/C。.

因为sinN4CB=sin(NABC+ABAC),

sinZACD=sin(NC/D+ZADC)=sin(ZBAC+7i-ZABC)=sin(ZABC-ABAC),

所以sin(NABC+ABAC)=2sin(NABC-ZBAC),

即sinZ.ABCcosABAC+cosZ.ABCsinZ.BAC=2(sinZ.ABC-cosZ.BAC-cosZ.ABCsinZBAC^,

所以sin/ABCcosZBAC=3cos/ABCsin/BAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

方案二：选条件②.

ACBC

在“中，由正弦定理得,

sinNABCsinZ.BAC

/CCD

在ANCZ）中，由正弦定理得,

sinZADCsinZDAC

因为ZABC+ZADC=TI,所以sin/ABC=sinZADC,

因为8C=CD,所以sin/历IC=sin/D4C.

因为N8NC+N£UC<7T,所以NB4c=ND4C.

因为sin//C2=sin(//8C+NB/C),

sinZACD=sin(NC/D+ZADC)=sin(/A4c+兀一ZABC)=sin(ZABC-ZBAC),

sinNACB=2sinZ.ACD,

所以sin(N/3C+ABAC)=2sin(ZJSC-NBAC),

即sinZABCcosZBAC+cosZABCsinZBAC=2(sinZABC-cosABAC-cosN4BCsinABAC),

所以sinZABCcosZ.BAC=3cosZABCsinNBAC,

所以tanZABC=3tan/BAC.

方案三：选条件③.

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因为,S^ACD-CD--sinZACD,S.BC-CD,SAABC=2S^ACD,

所以sinNACB=2sinNACD

ACBC

在AABC中，由正弦定理得，

sinZABC~sinZBAC'

/CCD

在A/CZ）中，由正弦定理得，

sinZADC~sinZDACf

因为ZABC+NADC=兀，所以sinNABC=sinNADC,

因为8C=CD,sinABAC=sinADAC,

因为NBNC+ZD/CCTI,所以ZB/C=ZD/C.

因为sinN4CB=sin(NABC+ABAC),

sinZACD=sin(ZCAD+ZADC)=sin(ZBAC+兀一NABC)=sin(ZABC-ZBAC),

所以sin(NABC+ABAC)=2sin(NABC-ZBAC),

即sinZ.ABCcosZ.BAC+cosZ.ABCsinZ.BAC=2(sinZ.ABC-cosZ.BAC-cosZ.ABCsinNB4C),

所以sin/ABCcosZBAC=3cosNABCsinZBAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

（2）选择①②③，答案均相同，

由（1）可设4D=x,贝1]/3=2尤,

在AABC中，由余弦定理得，

AB?+BC?-4c2_4X2-5

cosZABC=

2ABBC8x

在A/CO中，由余弦定理得,

次+⑦-解

cosZADC=

2AD-CD

因为cosAABC=cos(7i-ZADC)=-cosZADC,

4x2-5X2-5'解得X=乎或…半（舍去），

所以

8x4x

所以cosZABC=

8

3瓜

所以sinZABC=sinZADC=

~8~

所以四边形45cZ)的面积S=3//s=-AD-CD-sinZADC=^!^-

zxA(,-±Z28

变式1.（2023・甘肃金昌•高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形N3CD中,

jr37r

ZBCD=—,AB=l,/ABC=——

24

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A

B

Cl--------------------、D

Q）当BC=^,CD=加时,求A/CD的面积.

冗

(2)当/4。。=，,4。=2时，求tan/ZC5.

6

37r

【解析】(1)当3C=也时，在"8C中，AB=1,ZABC=—,

由余弦定理得/C?=Ag2+BC2-2/B-BCcos/A8C,

r-37r

即/C--2尺叮=5,解得这3,

AC?+BC?-AB?6_3Vio

所以cos//CB=

2ACBC2V10.10

因为NBCD=W，贝!|sin/ZC£>=cos4C8=^^

210

又CD="

iio/ino

所以AN。的面积是s=-AC-CDsinZACD=-xy[5xy/7x——=-V14.

22104

ABAC

（2）在“8C中，由正弦定理得

sinZACBsinZABC

43sin2

AC=4

sinZACB2cosZACD

ADACADsin—

在A/C£＞中，由正弦定理得,即/c=61

sinZ.ACDsin/ADC

sinZACDsinZACD

1

则,整理得sinNNCD=0cosN/CD，

2cosZACDsinZACD

TT

因为/zcz)<5,

所以tan//CD=&，

sin(乌一/4C£(]二

因为N3CD=色，所以tan//C8=tan[工-//C£>(2人cosZACD_1_也

212(兀/sinZACDtanZACD2

cos——ZACD

(2)

TT7JT

变式2.（2023广东广州•高一统考期末）如图，在平面四边形/8C。中，/BCD==1,NABC=号.

第5页共52页

(1)若BC=2,CD=B求A/CD的面积;

TT

(2)若N4QC=—,AD=2,求cosNZCD.

6

【解析】（1）因为ZB=1,/4BC=T，5C=2,

由余弦定理得/C?=N82+BC2-2/3-/C-COS——=7,即/。=近，

3

士—,俎AC2+BC2-AB2577

由余弦定理得cosZACB=---------------==一，

2xACxBC14

所以sinZACD=sinf--ZACB\=cosZACB="Z,

(2)14

所以A/CD的面积S='/CxCDxsinN/CD=2

24

2AC

JH4C

⑵在*c中’由正弦定理得即sin//C。一丁①,

sin/ADC

2

、11AC

ABAC------------------------二—■—

在中，由正弦定理得------,即./万八、cosZACD百②

sinZACB/ABCsml--Z^CZ)I

①②联立可得tanZACD=s'mZACD=巫

cosZACD3

因为所以cos//CD=浮

变式3.（2023・广东•统考模拟预测）在平面四边形48co中，ZABD=ZBCD=90°,4048=45°.

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D

(1)若48=2,ADBC=30°,求ZC的长;

3

(2)若tanN3/C=—,求tan/。8c的值.

4

【解析】(1)在Rt。中，因为ND48=45°,所以。3=2,

在RtABCZ)中，BC=2cos30°=6，

在AABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2/8•BCcosZABC=4+3-2x2x6cos120。=7+26,

所以NC=g+26.

(2)ZDBC=a,在Rt^BCZ)中，BC=BDcosa=2cosa,

win/BAC34

因为tan/B/C=-------------=—,所以cos/"C=—sin/"。，

cosABAC43

25

于是cos2ZBAC+sin2ABAC=ysin2ABAC=1,

因为0°</5/C<90°,

34

所以sinN氏4c=l，cosABAC=—

在“比中'由正弦定理得』=需正'

2_2cosa

所以sin(9(T-a—/C/B)-3,

5

3

于是cosacos(a+/G45)=w，

即4cos2a-3sinacosa=3，

4cos2a-3sinacosa4-3tancr_

所以

2•2---------------2-二3

cosa+sma1+tana

因为0°<a<90°，所以tanZDBC=tana=―-

6

第7页共52页

变式（•江苏徐州•高一统考期末）在①Sia4一2a2

4.2023，②sinB-cosB=，③&4BC

cos5cosCa+c-bc

的面积

S=^^6（6sinC+ctanCcosB）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.

在AA8C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

⑴求角C;

(2)若点。在边45上，且BD=2AD,cosB=得，求tan/BCD.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

7+「2_人2

【解析】（）若选择①：因为一2a2

1siM2,,,结合余弦定理cosB=--------------

cos5cosCa+c-b2ac

得2a2sin』a

siiLj即

cosBcosC2ac-cosBcosCc

由正弦定理可得驾bysiib4siivl

q=所以--=——;

csmCcosCsmC

11

又/e(O,7t),所以sitU>0,所以,即tanC=1,

cosCsinC

又。40,兀），所以c=%

若选择②：因为sinJB-cos8=0W

c

结合正弦定理可得—人鼻也

BPsin5sinC-cos5sinC=gsinB-sirU=gsinB-sin［兀-"+C)］，

=V2sinS-sin(B+C)=yp2sinB-(sin5cosc+cosBsin。,

BPsinSsinC=V2sin5-siriScosC，

又3£(0,兀)，sinS>0,故sinC=V^—cosC，即sinC+cosC=也，

所以近sinC+；=也，即sinC+：=1,

4

兀571

因为。£（0,兀），C+,所以C+：=5,得C=：；

45T

若选择③：条件即sinCsiib4=1.八.八.「sinCcosB

sin5sinC+sinC--------------

cosC

又。£（0,兀），sinC>0,

所以siib4cosc=^-(sin5cosC+sinCcosB)=^-sin(^+C),

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即-^-sin、V2

(兀一⑷=siih4cosc',所以《-sin/=sin4cosC，

2

又因为/£（0,兀），贝iJsin/>0,所以cosC=孝,

又因为。£（0,兀），所以C寸

TT

(2)设/BCD=e,则/4CQ=——e.

因为cos8=(，Se(O,7t),故sin8=Jl-cos28=12

=—，

13

sinf-n-S

所以sin4=sin[兀一(8+C)]=—cosS+—sin3=—,

142226

CDADCD26

在△4CQ中，由正弦定理可得,即罚

sinAsinZACDsin——0

14.

12

在△BCD中，同理可得，CD,

BDsin。

12

12

J3

因为所以即13，

2sinf^-6>sin。'

V2cos0-V2sin0sin0

2424

整理得tan。=/，BPtanZ5C2)=—

变式5.（2023•广东深圳・深圳市高级中学校考模拟预测）记的内角A、B、。的对边分别为。、b、

c,已知6cos4-acosB=b-c.

⑴求A；

(2)若点。在BC边上，且0)=28。，cosB=Q,求tan/BAD.

【解析】(1)HcosA-acosB=b-c,

由余弦定理可得6•次+L+L一方=b-C

2bc2ac

化简可得〃+/一/=秘，由余弦定理可得cosA=〃+f=1

2bc2

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JT

因为0</<兀，所以，A=~.

(2)因为则B为锐角，所以,

3

2兀

因为4+5+。=兀，所以，C=------B,

3

所以，sinC=sin1曰一8=sin@cosB-cos为inB=AlxA/61«

---=-4-----

33232326

2兀

设Z.BAD=3,则Z.CAD=------0,

3

AD6AD

sinC3+#,

所以，tan/BAD=tan。=---产=C-A/-2.

2+V6

变式6.(2023•广东揭阳•高三校考阶段练习)在中，内角Z,B,C所对的边分别为。，b,c,且

2cosZ(ccosB+/)cosC)=〃.

(1)求角/；

(2)若。是△45。内一点，408=120。，ZAOC=150°,b=l,c=3,求tanN43O.

【解析】(1)因为2cos4(ccosB+bcosC)="，

所以由正弦定理得2cos4(sinCeos5+sin8cosC)=2cos/sin(5+C)=2sinZcos4=sin/；

•••0°〈/<180°,.1sin/RO,cos^=-,则/=60°；

2

(2)

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A

•/ZOAC+AOAB=ABAC=60°,ZOAB+ZABO=\S0°-ZAOB=60\:.ZOAC=ZABO；

*,八八上上十力』e，口/八AB-smZABO3smZABO_仄..

在△A力5。中，由正弦定理得：AO=——；---------=—；-------=2V3smZABO；

sin乙405sml20

在V/CO中，由正弦定理得：/o=/Csin//CO=sin(3(y48O)=2sin(30。

sinZAOCsin150,刁

2A/3sinAABO=2sin(30°-/LABO)=cosAABO-乐in/4BO,

]-x/3

gpcosZABO=3V3sinZABO,；.tanZABO=—=——

369

题型二：两角使用余弦定理

例4.（2023•全国•高一专题练习）如图，四边形/BCD中，cosZBAD=~,AC=AB=3AD.

(1)求sinZABD；

(2)若/BCD=90。,求tan/CBZ).

【解析】（1）中，设/C=/B=34D=3《/>0）,则cos/切》=）=（，）”@一,解得以）=2万

32x（3?）xz

4。1

・",3：.^ABD=-=-

(2)设/C=/8=3/O=3《/>0),则8。=2万

BC=xt,CD=X(x>0,y>0),

222

(3/)+(X/)-(3Z)x

445。中,cosZ.BCA=

2X(30X(M6

(3/)2+"〃下+8

ZUDC中，cosZDCA=-

32x(3/)x(x)6y

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TV

vZBCA+ZDCA=ZBCD=-,cosZZ)G4=sinZ^G4,可得,化简得

2

2

22

y+8X

=1-,BPx2y2+y4+64=20y2

6y

又,；BC?+CD?=BD?,.if户+/产=8»,即.・.x2+y2=8

(8-//+/+64=20/,解得/=当/2=8_必=|

16

tanZCSD=——=

BCxt8

3

例5.（2023•全国•高一专题练习）如图，在梯形/BCD中，AB//CD,AD=^BC=B

(1)求证：sinC=V3sirL4；

(2)若C=2N,AB=2CD,求梯形48CD的面积.

【解析】（1）连接3D

因为48//CD,所以=

ADBD

在△48。中，由正弦定理得---，①

sinZABDsirU

BCBD

在△8。中，由正弦定理得,②

sinNBDCsinC

由4D=VlBC，ZABD=NBDC,结合①②可得sinC=GsiM.

(2)由(1)知sinC=6sirk4，sinC=sin2/=2siib4coM=Csirt4,

cosA力,又0</<兀，所以Z=工，则C=2/=C.

263

连接AD,

2/?

在△4RD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD-AB-cosA=(73+AB2-2^5-AB-

=/4一3/8+3=40)2-60)+3;

在ABCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-IBC-CD-cosC=12+CL»2-2xlxCDx-

2

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=CD?-CD+1，

7

所以4CZ)2-6CD+3=CZ)2-CZ)+1，解得CO=1或

257r

当C0=一时，连接4G在△4CQ中，由余弦定理，^AC2=AD2+CD2-2XADXCDXCOS—

36

=3+j员“严竺

932~9

7472

所以力。=彳，而止匕时45+5。=—+1=—,故不满足题意，经检验满足题意,

3333

此时梯形/8C。的高〃=4D.sin巴=也

62

当CD=1时，梯形/8C。的面积S=；（4B+CD）〃=孚;

所以梯形/BCD的面积为述.

4

例6.（2023•河北•校联考一模）在"3C中，AB=4,/C=20,点。为3c的中点，连接力。并延长到

点E,使4E=3DE.

（1）若DE=1,求NA4c的余弦值；

（2）若N/3C=[,求线段BE的长.

【解析】（1）因为。E=1,N£=3D£,所以/。=2,

因为NND8+4DC=兀，所以cos//O8+cos//OC=0,

BD2+AD2TB?CD2+AD2-AC2日口12+4—16%2+4—8„

设BD=DC=x,则H------------------------------------二0,即--------+--------=0,

2BD-AD2CDAD2-x-22-X-2

解得尤=20，所以BC=2BD=4e,

16+8-322

在中，由余弦定理知，cosNBAC=：4忆4c一卫一

2AB-AC242拒-4

(2)在"3C中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC，

所以8=16+802-243。J,化简得8。2一4逝"+8=0,解得8C=2A/L

2

因为。是8c的中点，所以5O==BC=也，

2

在中，由余弦定理知，AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cosZABC=]6+2-2X4X42X—=10,

2

所以AD=JHL

因为=所以=

22

在△48。中，由余弦定理知,

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4B?+4D?-BD?.16+10-2_3

cosNBAE=

2AB-AD2x4x710-V10'

连接BE,在A/8E中，由余弦定理知,

-2X4XW4,

BE1=AB1+AE2-2AB-AE-cosABAE=\6+

2V102

所以公普

变式7.(2023・全国•模拟预测)在锐角”3C中，内角/,B,C的对边分别为，b,c9

2cos22c=3-5cos21彳-C；

⑴求角C;

zc

⑵若点。在ZB上，BD=2AD,BD=CD,求一的直

【解析】（1）H>32cos22C=3-5cos2—--C=3-5cos（23?r-2C）=3-5cos（re2C）=3+5cos2C,

所以2cos22C-5cos2c-3=0，解得cos2C=-g或cos2C=3（舍去）,

,11

所以2cos2。-1=―一,即cosC=±—,

22

因为。＜C《,所以Cg

(2)如图，因为80=240,BD=CD,设/。=机，BD=CD=2m,

在人4BC中，由余弦定理得9^2=AC、BC2-ACBC，

在ABCD中，由余弦定理得cos4BDC=必+3-"=（2-）2+（2仅y.8c28m2-BC?

2BD-CD2x2mx2m8m2

第14页共52页

在AADC中，由余弦定理得cos/ADC=由+-叱="「+(2")一一=5"-/0一,

2AD•CD2m*2m4m*

因为NBDC+ZADC=万，所以cosNBDC+cosZADC=0，

8m2-BC"5m2-AC2所以机。一。。，

g即n--------——+----------——=0,182—622/2=

8/M24/M2

^\^2(AC2+BC2-AC-BC)-BC2-2AC2=0,

因为BCwO,所以8c=2/C,

所以芸=]_

BC2

变式8.（2023•浙江舟山•高一舟山中学校考阶段练习）如图，在梯形45cZ）中，AB//CD,

AD-sinD=2CD-sin5.

(2)若AD=BC=2,/ADC=120°,求48的长度.

ADAC

【解析】（1）证明：在△4CQ中，由正弦定理得

sinZACDsin。

即/。・sinD=/C•sinZACD,

因为4B〃CD,所以N/C£>=NC4B,所以4D-sinD=/C-sin/G!B,

ACBC

在中，由正弦定理得

sin5sinZCAB

即ACsinZCAB=5C-sin5,所以ZD•sinD=5C•sin5.

又47>sinO=2CZ)・sin8,所以BC・sinB=2CZ)・sin5,即6C=2c».

(2)由(1)知CD=LBC=1.

2

在dCD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=22+l2-2x2xlxf-|j=7,故心近.

CD+A(：2AC>2_l2+7-22_2V7

所以cosNCAB=cosZACD='-

2CDAC-2xlxV7-7

在^ABC中，由余弦定理得BC1AC1+AB1-2AC-AB-cosNCAB，

即22=7+/82-2x"xABx逆，整理可得加_4/8+3=0,解得"=1或3.

7

又因为NBCD为梯形，所以A8=3.

题型三：张角定理与等面积法

例7.（2023•全国•高三专题练习）已知△/BC中，分别为内角N,8,C的对边，且

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2asinA=（26+c）sin3+（2c+6）sinC.

⑴求角A的大小；

⑵设点。为8C上一点，AD是aBC的角平分线，且/。=2,6=3,求AABC的面积.

【解析】（1）在△N8C中，由正弦定理及2asinZ=（2b+c）sin8+（2c+b）sinC得：6一2-bc=c2,一

由余弦定理得cos/="+

2bc2

2兀

又0</<兀，所以么=手

7T

（2）AD是的角平分线，/BAD=/DAC=—,

3

12,711711兀

由S"8c=8"皿+5力3可得ibcsinTM^cx/Qxsinm+^bxZDxsin]

因为6=3,AD=2,即有3c=2c+6,c=6,

1■/17.1A/39A/3

改S=—bcsinA=-x3x6x——=------

"BC2222

例8.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考三模）已知△48C的内角/,B,C的对边分别为〃，b,c,且

2asinA=（2Z?+c）sinB+（2c+b）sinC.

（1）求4的大小；

⑵设点。为5C上一点，4。是△48C的角平分线，且力。=4,AC=6,求△ZBC的面积.

【解析】（1）因为2asinZ=（2Z?+c）sinB+（2c+b）sinC

所以根据正弦定理得：2/=（2b+c）b+（2c+6）c

即a2=b2-\-c2+be

由余弦定理得：/=，+/-2/?ccosZ

故cos/=

2

又/e（0,兀）

所以N=g.

（2）因为AD是△NBC的角平分线，由又®,+S-3c=S，"c，

zp,1AnA•兀1Ar•兀2兀

得：一ZB・4sm—+—x4x6sm—=—45&sin——,

232323

所以45=12

®s=-AB-yiCsin—=-xl2x6x—=18/3.

△*BC2322

例9.（2023•山东潍坊・统考模拟预测）在“BC中，设角力,B,C所对的边长分别为a,b,c,且

（c-b）sinC=（a-6）（sinA+sinB）.

（1）求A；

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(2)若D为BC上点,平分角/,且6=3,AD=B求正.

【解析】(1)因为(。一6)sinC=(。一b)(sin/+sinB),

由正弦定理可得(c-b)c=(a-b)(a+b),整理得b2+c2-bc=a2,

由余弦定理，可得cos/==匹=：,

2bc2bc2

又因为4E(O,%),可得力=9.

(2)因为。为8C上点，4。平分角A,贝I"△双=；6csin/=16c,

又由入谢sin且sin4=L/DO+CA4+C),

222244

可得6c=6+c,

,，，3

又因为6=3,可得3c=3+c,解得c=7，

2

因为沁ABBDBDc1

4C才,所以云二厂5

^AACD