中考数学二轮复习拓展训练：相似三角形与函数的综合（原卷版+解析）

专题22相似三角形与函数的综合（原卷版）

第一部分典用如析

类型一求线段的长

1.（2022•淮安）如图（1）,二次函数y=-/+6x+c的图象与x轴交于A、8两点，与y轴交于C点，点8

的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）,直线/经过8、C两点.

（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

（2）点P为直线/上的一点，过点尸作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点再过点M作y轴

的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N,当时，求点P的横坐标；

（3）如图（2）,点C关于x轴的对称点为点。，点尸为线段BC上的一个动点，连接AP,点。为线段

AP上一点，且AQ=3PQ,连接。。，当3AP+4。。的值最小时，直接写出。。的长.

典例2（2021春•海州区校级期中）如图1,矩形ABCD中，动点P在边上由点A向终点D运动，设

AP=x,△必8的面积为》整个平移过程中若y与无存在函数关系如图2所示，点A关于BP的对称点

为Q,连接时、PQ.

（1）直接写出AD的长是,A3的长是—.

类型二求字母的值

典例3(2021•苏州)如图，二次函数y=/-(优+1)尤+加(%是实数，M-1</7?<0)的图象与x轴交于A、

B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴与x轴交于点C.已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD

点E在x轴的正半轴上，OC=EC,连接并延长交y轴于点尸，连接AF.

(1)求A、8、C三点的坐标(用数字或含根的式子表示)；

(2)已知点。在抛物线的对称轴上，当为2的周长的最小值等于苦时，求机的值.

类型三求比值或比值的最值

典例4(2022•宿迁)如图，二次函数y=g2+a+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点，顶点为C,连

接。C、AC,若点8是线段OA上一动点，连接8C,将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置,

线段A'C与无轴交于点。，且点。与。、A点不重合.

(1)求二次函数的表达式；

(2)①求证：BD-,

QD

②求二的最小值；

BA

(3)当SAOCD=8SAA，BD时，求直线A'8与二次函数的交点横坐标.

类型四求点的坐标

典例5(2021•惠阳区一模)如图，已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于3,

C两点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求△ABC的面积；

(3)若点N为无轴上的一个动点，过点N作MNLx轴与抛物线交于点M,则是否存在以。，M,N为

顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

第二部分专题建优别练

1.（2022•河东区一模）如图，A为反比例函数y=*（其中尤＞0）图象上的一点，在无轴正半轴上有一点8,

02=4.连接。4,AB,且。4=AB=2VIU,过点B作8C_L0B,交反比例函数y=专（其中X＞0）的图

AD

象于点C,连接OC交AB于点D,则k=；——=.

2.如图，在平面直角坐标系中，RL^BCZ）中，其中2（0,4）,C（2,0）,点。在反比例函数y=*（尤＞0）

图象上，且。=时，以8c为边作平行四边形8c所，其中点尸在反比例函数尸［（尤＞0）图象上,

点E在x轴上，则点E的横坐标为（）

l57

A.V5B.-C.3D.-

22

3.（2021•越秀区模拟）如图，点A（2,71）和点。是反比例函数（m＞0,尤＞0）图象上的两点，一

次函数y=fcc+3（左#0）的图象经过点A,与y轴交于点3,与无轴交于点C,过点。作。轴，垂足

为E,连接。4、OD.己知△048与的面积满足SAOAB：SAODE=3：4.

（1）求加；

（2）已知点尸（6,0）在线段0E上，当NPOE=NC50时，求点。的坐标.

4.如图，二次函数y=-7+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),

点。为OC的中点，点尸在抛物线上.

(1)b—；

(2)若点尸在第一象限，过点尸作尸8,无轴，垂足为H,PH与BC、BD分别交于点”、N.是否存在

这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

5.(2019•盐城)如图所示，二次函数y=k(x-l)2+2的图象与一次函数%+2的图象交于4、B两

点，点B在点A的右侧，直线AB分别与尤、y轴交于C、。两点，其中上＜0.

(1)求A、8两点的横坐标；

(2)若△O4B是以为腰的等腰三角形，求Z的值；

(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数总使得NODC=2NBEC,若存在，求出左

的值；若不存在，说明理由.

专题22相似三角形与函数的综合(解析版)

笫一部分其用勤析

类型一求线段的长

1.(2022•淮安)如图(1),二次函数y=-/+bx+c的图象与无轴交于A、B两点，与y轴

交于C点，点8的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),直线/经过8、C两点.

(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

(2)点尸为直线/上的一点，过点尸作无轴的垂线与该二次函数的图象相交于点再

1

过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N,当时，求点P的

横坐标；

(3)如图(2),点C关于x轴的对称点为点。，点P为线段上的一个动点，连接

AP,点Q为线段AP上一点，且4。=3尸。，连接。。，当3AP+4DQ的值最小时，直接

思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)设PG,-什3),则M(f,-r+2/+3),N(2-r,-P+27+3),则尸加=|产-3小，

MN^\2-21],由题意可得方程3f|=$2-2t|,求解方程即可；

(3)由题意可知。点在平行于BC的线段上，设此线段与无轴的交点为G,由QG〃BC,

求出点G(2,0),作A点关于GQ的对称点A,连接A'D与AP交于点。，则3AP+4DQ

=4(.DQ+^rAP)=4(DQ+AQ)N4A。，利用对称性和/OBC=45°,求出A(2,3),

求出直线DA的解析式和直线QG的解析式，联立方程组已=3十：,可求点Q("当，

(y=DX—D44

6/26

再求空.

解：(1)将点2(3,0),C(0,3)代入y=-/+bx+c,

.(-9+3b+c=0

••lc=3

解得忆京

，y=-X2+2X+3,

Vy=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

・•・顶点坐标(1,4)；

(2)设直线3C的解析式为y=fcv+。，

.f3/c+b=0

F=3，

解得仁丁,

.•.y=-%+3,

设PG,-汁3),贝1]”(/,-?+2r+3),NC2-t,-?+2/+3),

：.PM=\^-3r|,MN=\2-2t\,

1

•；PM=专MN,

AI?-3f|=1|2-2r|,

解得或f=l-&或f=2+V5或t=2-V3,

点横坐标为1+/或1-/或2+遮或2-V3；

(3)VC(0,3),。点与C点关于x轴对称，

：.D(0,-3),

令y=0,贝!J-/+2x+3=0,

解得尤=-1或x=3,

AA(-1,0),

.*.AB=4,

•・・AQ=3P。，

・・・。点在平行于5C的线段上，设此线段与x轴的交点为G,

・・・QG//BC,

.AQAG

•・—，

APBA

.3AG

••1二,

44

，AG=3,

：.G(2,0),

7/26

•：OB=OC,

：.ZOBC=45°,

作A点关于G。的对称点4,连接4D与A尸交于点Q,

•・・AQ=A。，

：.AQ+DQ=A'Q+DQ^A'Df

・・・3AP+4OQ=4(。。+近)=4(DQ+AQ)24A。，

'：ZQGA=ZCBO=45°,AA」QG,

ZA'AG=45°,

•・・AG=AG,

/.ZAA'G=45°,

AZAGA'=90°,

・・・A(2,3),

设直线DA的解析式为y=kx+b,

.(b=-3

F/c+b=3，

解得忆、

/.y=3x-3,

同理可求直线QG的解析式为y=-x+2,

联立方程组y=3+：,

(y=3x—3

8/26

对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

典例2（2021春•海州区校级期中）如图1,矩形A8C。中，动点P在AO边上由点A向终

点。运动，设AP=x,△物8的面积为y,整个平移过程中若y与无存在函数关系如图2

所示，点A关于8尸的对称点为。，连接8。、PQ.

（1）直接写出的长是,AB的长是—.

思路引领：（1）根据图象可知x的最大值即为的长度，此时AABP的面积为6,由面

积即可求出A8；

（2）分点。在对角线AC和对角线8。两种情况讨论，利用勾股定理即可得出答案.

解：（1）由图象可知x的最大值为4,

：.AD=4,

当A£>=4时，

y的值为6,

1

A-xABX4=6,

2

9/26

解得A：8=3,

故答案为：4,3；

（2）如图，若点。在对角线AC上，BP交AQ于点H,

：.PH=^x,

AH=l'

93

由勾股定理得：/=(-)2+(-x)2

解得X=p

4

解得X=2＞

，―9,3

•'.X的值为-或一.

42

总结提升：本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能根据图象得出AB和A。的长

度,要考虑点。在AC上和BD上两种情况讨论.

类型二求字母的值

典例3（2021•苏州）如图，二次函数-（加+1）x+m（%是实数，且-1＜机＜0）的图

象与无轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C.已知点。位

于第一象限，且在对称轴上，点E在x轴的正半轴上，OC=EC,连接并

延长交y轴于点凡连接AF.

（1）求A、8、C三点的坐标（用数字或含优的式子表示）；

（2）已知点。在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于当时，求小的值.

10/26

思路引领：(1)令y=/-(m+l)x+m=O,解得冗=1或m,故点A、B的坐标分别为(m,

1

0)、(1,0),则点。的横坐标为5(m+l),即可求解；

(2)由tanZDBC=tanZODC,即CD2=CO«J5C=J(租+1)-J(1一根)=在

Rtz\AOF中，A产=4。2+0产=W+i一川=i；点B是点A关于函数对称轴的对称点，连

接交对称轴于点。则点。为所求点，进而求解.

解：(1)令-(〃?+1)x+m=0,解得尤=1或%,

故点A、3的坐标分别为(m,0)、(1,0),

则点C的横坐标为工(机+1),即点C的坐标为(空0)；

22

(2)由点C的坐标知，CO==CE,

ikBC=OB-CO=1-1(w+1)

:NBDC+/DBC=90°,ZBDC+ZODC=90°,

：.ZDBC=ZODC,

：.tanZDBC=tanZODC,BPCD2=CO'BC^1Cm+1)(1-兀)=

ZZ4

7点C是OE中点，则CO为三角形EO尸的中位线，

则FO2=(2CD)2=4CD2=1-m2,

在RtAAOF中,AF2=AO2+OF2=m2+]-m2=l,

1点2是点A关于函数对称轴的对称点，连接网交对称轴于点。，则点。为所求点,

理由：△AEQ的周长=4尸+/。+4。=1+。/+8。=1+87;'为最小,

即1+BF=竽，

121

则BF2=OF2+OB2=1-m2+l=(Y-1)2,解得m=土右

11/26

V-l<m<0,

故m=­p.

总结提升：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要

会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长

度，从而求出线段之间的关系.

类型三求比值或比值的最值

典例4(2022•宿迁)如图，二次函数产9+6x+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点，

顶点为C,连接OC、AC,若点B是线段OA上一动点，连接BC,将△ABC沿8c折叠

后，点A落在点A'的位置，线段A'。与x轴交于点。，且点。与0、A点不重合.

(1)求二次函数的表达式；

(2)①求证：△OCDS/XA，BD；

②求鸟的最小值；

BA

(3)当时，求直线M5与二次函数的交点横坐标.

思路引领：(1)利用交点式可得二次函数的解析式;

(2)①根据两角相等可证明两三角形相似;

OCCDBDCDBDCD

②根据△OCDS/XA，BD'得府=而'则布=布’即方的取小值就是指的取小值，

OC为定值，所以当CD最小为2时，一;有最小值是一；

BA2

(3)解法一：根据面积的关系可得：ZJCDs匕及8。时，相似比为2近：1,可得

=AB=1,作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得AG和BG的长，最后再证

明△AGBszX。。8可得。。的长，利用待定系数法可得的解析式，最后联立方程

可得结论.

解法二：设8。=/,根据08=3列方程可得t的值，计算A'D,AM的长，表示点M的

坐标，计算的解析式，列方程可得结论.

(1)解：•.•二次函数产系+foc+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点，

...二次函数的解析式为：尸：(x-0)(%-4)='|x2-2x；

(2)①证明：如图1,

12/26

图1

由翻折得：ZOAC=ZA1,

由对称得：OC=AC,

：.ZAOC=ZOAC,

：.ZCOA=ZA\

•/NA'DB=/ODC,

：.XOCDS/\NBD；

②解：•：XOCDs'NBD,

・_2£_CD

AiB~BD'

\9AB=A'B,

.BDCD

•.—,

ABOC

BDCD

・・・)的最小值就是的最小值，

ABOC

y=^x2-2x=；(x-2)2-2,

：.C(2,-2),

・•・OC=2&,

BD

・••当COJ_OA时，CO最小，一的值最小,

AB

BD,2V2

当CD=2时，77的取a小值为丁方=—;

AB2V22

(3)解法一：•.•SZ\OCO=8SZVVB。，

S^OCD：SAA'BD=8,

■:△OCDs^ZBD,

二也组=(%2=8,

^LAIBDA，B

OC「

-----=2/，

AiB

•・・OC=2A/2,

13/26

AA'B=AB=1,

:・BF=2-1=1,

如图2,连接4V,过点A作4GLOA于G,延长C3交4V于设抛物线的对称轴与

x轴交于点R

由翻折得：A4」CH,

VZAHB=ZBFC=90°,NABH=/CBD,

：.ZBCF=ZBAH,

tanZBCF=tanZGAA',

.BFAfG1

••CF—AG~2

设AG=〃，则AG=2〃，BG=2a-1,

在RtZVVGB中，由勾股定理得：BG2+A'G2=A'B2,

/.tz2+(2a-1)2=12,

4

--

.•・m=0(舍),5

OQ

.BG=2a-1=|-1=|,

'A'G//OQ,

.△A'GBSAQOB,

43

AtGBG£三

---=,即=一,

OQOB0Q3

•OQ=4,

.Q(0,4),

设直线A3的解析式为：y=kx+m,

.(m=4

**l3/c+m=0*

解得：卜=/

tm=4

4

-

・,・直线AB的解析式为：y=3

・41

—2^+4=2f2-lx,

3?-4.r-24=0,

解得：户等画，

2+2V19

直线A'2与二次函数的交点横坐标是季一.

(3)解法二：如图3,过点M作于孙

14/26

OCCDODL

-----=—=--------=2迎，

AiBBDAiD

0C=2企，

.\A'B=AB=1,

设5。=/,贝iJCO=2V^,

.\A'£>=2V2一2扬，OD=2V2A'D=S-86

9：OB=OD+BD=4-1=3,

.,.8-8/+/=3,

•・•iL--7,

••32或一呼=竽，

VA'B=AB,ZA'=ZOAC,/A'BD=NABN,

：.AA'BD^AABM(ASA),

4J?

：.AM=A'D=学，

•・・4AHM是等腰直角三角形，

4

：.AH=MH=y,

244

•\M(——，—亍),

77

4

易得8M的解析式为：y=—1x+4,

.41

••^x+4=2，2-2x,

解得：3x2-4x-24=0,

解得：x=2±p,

2+2V19

...直线A,8与二次函数的交点横坐标是一「.

15/26

总结提升：本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形

相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图像及性质，

数形结合是解本题的关键.

类型四求点的坐标

典例5(2021•惠阳区一模)如图，已知抛物线经过原点。，顶点为A(1,1),且与直线y

=彳-2交于3,C两点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求△ABC的面积；

(3)若点N为无轴上的一个动点，过点N作初轴与抛物线交于点则是否存在

以。，M,N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，

请说明理由.

思路引领：(1)可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线

解析式，可求得C点坐标；

1Q

(2)设直线AC的解析式为与x轴交于D得到y=2x-1,求得BD=2—*=*

于是得到结论；

(3)设出N点坐标，可表示出"点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON

MNONMNON

和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得:三=幸或二■=7Z，可求得N点的坐

ABBCBCAB

标.

解：(1)・・,顶点坐标为(1,1),

・•・设抛物线解析式为y=〃(x-1)2+1,

又抛物线过原点，

.•・0=〃(0-1)2+1,解得〃=-L

・••抛物线解析式为y=-(x-1)2+1,

2

即y=-x+2xf

联立抛物线和直线解析式可得p=-xV2,

\y=x—2

16/26

解得L㈡，

：.B(2,0),C(-1,-3)；

(2)设直线AC的解析式为y=fcc+6,与x轴交于。，

把A(1,1),C(-1,-3)的坐标代入得｛：：：｝；十°，

解得：长=2

lb=-1

•・y=2x-1,

当y=0,即2x-1=0,

解得：%=)，

1

：.D(-,0),

2

.•.即=2-齐1忘3

1313

••^\ABC的面积=SZ\ABD+SABCD=2*2*1+2*2*3=3；

(可以利用勾股定理的逆定理证明NABC=90°).

(3)假设存在满足条件的点N,设N(尤，0),则M(x,-/+2x),

ON=\x\,MN=\-X2+2X|,

由(2)知，AB=V2,BC=3V2,

轴于点M

:.NABC=/MNO=90°,

,一,,,»MNONjMNON

.,.当△ABC和△MM?相似时，有—=—或一=—,

ABBCBCAB

〜MNON,

①当——=—时,

ABBC

2

\-X+2X\|X|„1

---正---=即IRI-x+2|=百卫,

:当x=0时M、O、N不能构成三角形,

.•.SO,

|-x+2|=亍,

1q

，-x+2=土一，解得％=亍或兀=

33

57

此时N点坐标为(?0)或(?0);

MNON,

②当t一=——时,

BCAB

17/26

|-X2+2X|\X\

A3V2"后

即|刘-x+2|=3|%|,

，|-x+2|=3,

・•.r+2=±3,

解得尤=5或x--1,

此时N点坐标为（-1,0）或（5,0）,

57

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（-，0）或（-，0）或（-1,0）或（5,0）.

33

总结提升：本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、

直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在（1）中注

意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的

方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应.本题考查知识点较多，综合性较强，难

度适中.

第二部分李理疆忧别综

1.（2022•河东区一模）如图，A为反比例函数y=&（其中x>0）图象上的一点，在x轴正

JX

半轴上有一点8,02=4.连接。4,AB,且。4=AB=2VIU,过点B作8C_L0B,交

反比例函数（其中尤>0）的图象于点C,连接0c交于点。，则左=；

AD

DB-----'

思路引领：过点A作AHLx轴，垂足为点H,交OC于点利用等腰三角形的性

质可得出。H的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反

比例函数图象上点的坐标特征即可求出左值；由的长，利用反比例函数图象上点的

坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的

AD

长，由AA/〃BC可得出利用相似三角形的性质即可求出茄的值.

解：过点A作AHLx轴，垂足为点H,A8交OC于点M,如图所示.

18/26

VOA=AB,AHLOB,

1

：.0H=BH=W（）B=2,

：.AH=y/OA2-OH2=6,

，点A的坐标为（2,6）.

为反比例函数（其中x>0）图象上的一点,

・•・左=2X6=12.

VBCXxtt，0B=4,点C在反比例函数尸呈上，

k

・3而=3.

°：AH〃BC,OH=BH,

13

：.MH=^BC=I，

9

：.AM=AH-MH=

'：AM//BC9

：.AADMs丛BDC,

tADAM3

••DB-BC-2’

3

故答案为12,

2

总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理

以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是构建相似三角形.

2.如图，在平面直角坐标系中，中，其中5(0,4),C(2,0),点。在反比例

函数y=[(x>0)图象上，且8=遮，以8。为边作平行四边形其中点方在反

比例函数y=[(x>0)图象上，点E在x轴上，则点E的横坐标为()

19/26

22

思路引领：如图，作轴于利用相似三角形的性质求出点。坐标，求出％的值

以及点月坐标即可解决问题；

ZBCO+ZOBC=90°,ZBCO+ZDCH=90°,

：・/OBC=/DCH,

，丛BOCs丛CHD,

.BCOBOC

"CD~CH~DH

,:B(0,4),C(2,0),CD=V5,

.*.BC=2A/5,

：.CH=2,DH=1,

：.D(4,1),

•••。在＞=［上，

・•・左=4,

：.F(1,4),

•・・四边形BCEF是平行四边形，

J.BF//EC,BF=EC,

：.EC=\,

・・・OE=3,

20/26

.•.点E的横坐标为3.

故选：C.

总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质、相似三角形

的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，

属于中考常考题型.

3.（2021•越秀区模拟）如图，点A（2,n）和点。是反比例函数产竽（机>0,x>0）图

象上的两点，一次函数〉=入+3（4=0）的图象经过点A,与y轴交于点8,与x轴交于

点C,过点D作D£±x轴，垂足为E,连接。4、OD.已知△OAB与△OOE的面积满

足S^OAB：S&ODE=3：4.

（1）求777;

（2）已知点尸（6,0）在线段OE上，当时，求点。的坐标.

思路引领：（1）根据一次函数解析式求得点B的坐标，得到。2的长度，结合点A的坐

标和三角形面积求出的面积，进而求出△ODE的面积，由反比例函数系数上的几

何意义求得机的值；

（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，求出点C的坐标，根据正切的定义列出

求出。、6的关系，解方程组得到答案.

解：（1）由一次函数y=fcc+3得，点8的坐标为（0,3）,

..,点A的坐标是（2,〃），

1

••S/\OAB=2x3X2=3,

***S/^OAB：S/\ODE=3：4,

••SAODE=4,

•・,点。是反比例函数（m>0,x>0）图象上的点，

1

2

解得，m=8；

（2）由（1）知，反比例函数解析式是y=&

/.2〃=8,

21/26

解得，〃=4.

・••点A的坐标为（2,4）,将其代入y=fcc+3,得到2左+3=4.

1

解得，k=2»

，直线AC的解析式是：y=$:+3,

1

令y=0,贝旨+3=0，

・・x=-6,

：.C（-6,0）,

・・・OC=6,

由（1）知，OB=3.

设。（mb）,贝ij0E=/?,PE=a-6,

■:/PDE=/CBO,

OCPE

tanPDE=tanCBO,即—=—,

OBDE

.6a-6

3b

整理得，a-2b=6,

解方程组器4=6,得仁二河二；,

•.•点D在第一象限，

：.D（8,1）.

总结提升：本题考查的是反比例函数系数4的几何意义、解直角三角形的应用，要灵活

掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何

意义，三角形的面积公式.

4.如图，二次函数y=-/+公+3的图象与％轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐

标为（-1,0）,点。为OC的中点，点P在抛物线上.

（1）b—；

（2）若点P在第一象限，过点P作PHA.X轴，垂足为H,PH与BC、8。分别交于点M、

N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在，求出点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

22/26

思路引领：（1）将（-1,0）代入y=~+fev+3求解.

（2）由抛物线解析式可得点。与点5坐标，从而可得直线3C,直线5。解析式，设尸

G,-r+2f+3）,则MG,7+3）,NG,一抖|），H（t,0）,由PM=MN=NH求解.

解：（1）将（-1,0）代入>=-x1+bx+3得0=-1-6+3,

解得。=2,

故答案为：2.

（2）,:b=2,

-/+2x+3,

将x=0代入y=-X2+2X+3得y=3,

・••点C坐标为（0,3）,

•・,点。为OC的中点，

3

・••点D坐标为（0,-）,

令-X2+2X+3=0,

解得XI=-L%2=3,

・••点8坐标为（3,0）,

由C（0,3）,B（3,0）可得直线5c解析式为y=-x+3,

31Q

由。（0,B（3,0）可得直