必修第4章 指数函数与对数函数单元测试含答案

绝密★启用前第四章指数函数与对数函数单元测试卷高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：人教必修2019第四单元指数函数与对数函数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.【名师点睛】集合基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2．设，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的性质，利用中间量法求得各值的范围，即可得解.【详解】，，，综上可得，故选：B3．已知关于的方程在区间内有解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把方程解的问题转化为函数图像交点问题，结合图像即可得解.【详解】根据题意可得，故转化为函数和的图像的交点，如图所示，易知的图像的两个交点为和，当过点时，当过点时，所以的取值范围是.故选：A4．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将，；，代入函数关系可得，则可求出时的函数值.【详解】由题可知当时，；当时，，，解得，则当时，.故选：C.5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．设函数，则对任意实数是的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和单调性，由可得在上为奇函数，由时，为增函数，进行分析判断即可得解.【详解】根据题意可得，，所以为奇函数，由时，为增函数，由在上为奇函数，所以在上为增函数，，由，可得，可得，所以，由可得，所以，可得，故对任意实数是的充要条件.故选：A7．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（）．A．B．C． D．【答案】B【分析】根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案.【详解】解：因为，函数为指数函数，为对数函数，故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数，故选：B.8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下相同的体积，当时间取分钟时，液面下降的高度与漏斗高度的比较.【详解】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取分钟时，液面下降的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果.故选：A【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，常利用特殊值和函数的性质判断，属于中档题.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9．已知函数，下列说法中正确的是（）A．若的定义域为，则B．若的值域为，则或C．若，则的单减区间为D．若在上单调递减，则【答案】BD【分析】A.若的定义域为，则，所以该选项错误；B.若的值域为，则或，所以该选项正确；C.若，则由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以该选项错误；D.若在上单调递减，则，所以该选项正确.【详解】A.若的定义域为，则在R上恒成立，所以，所以，所以该选项错误；B.若的值域为，则，所以或，所以该选项正确；C.若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以该选项错误；D.若在上单调递减，则且，所以，所以该选项正确.故选：BD【点睛】方法点睛：复合函数单调性分析法：设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：增增增增减减减增减减减增10．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数t的可能取值为（）A．1 B． C．3 D．4【答案】CD【分析】令，则，可判断是奇函数且单调递增，不等式可变形得，所以，令，换元法求出的最大值，即可．【详解】令，则，的定义域为，，所以，所以是奇函数，不等式等价于，即，当时单调递增，可得单调递增，单调递增，单调递减，所以在单调递增，又因为为奇函数且定义域为，所以在上单调递增，所以，即，令，只需，令，则，，所以，对称轴为，所以时，，所以，可得实数的可能取值为3或4.故选：CD．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是构造函数，且是奇函数且是增函数，去掉外层函数，将原不等式转化为函数恒成立问题．11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的单调递增区间是B．函数的值域是RC．函数的图象关于对称D．不等式的解集是【答案】BCD【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误；对于B：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；对于C:,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；对于D:,即，解得：，故D正确；故选：BCD.12．已知函数，则关于x的方程，下列叙述中正确的是（）A．当时，方程恰有3个不同的实数根B．当时，方程无实数根C．当时，方程恰有5个不同的实数根D．当时，方程恰有6个不同的实数根【答案】ABD【分析】作出函数的图象，当时，求出，根据图象可知A正确；当时，求出，根据图象可知B正确；当时，求出或，根据判断出，，由图可知C不正确；当时，求出或，根据判断出，，由图可知D正确.【详解】，其图象如图：当时，化为，即，由图可知，方程有3个不同的实数根，即方程恰有3个不同的实数根，故A正确；当时，化为，即，由图可知，方程无实数根，即方程无实数根，故B正确；当时，由得或，因为，且，由图可知，无实数根且无实数根，所以方程无实数根，故C不正确；当时，由得或，因为，，所以由图可知，方程有4个不等的实数根，因为，所以由图可知，方程有2个不等的实根，并且以上6个实根均不相等，所以方程恰有6个不同的实数根，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：由求出的值，并判断该值的范围，再结合的图象分析求解是解题关键.第Ⅱ卷三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．计算___________.【答案】2【分析】利用指数、对数运算法则即可计算作答.【详解】.故答案为：214．已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为_____________.【答案】4【详解】由题意可知定点A（1,1）,所以m+n=1,因为,所以,当时，的最小值为4.15．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】利用复合函数同增异减的法则可得在区间上也是单调递减，且真数大于0，那么得到关于的不等式即，即可求出的范围.【详解】令，即对称轴为，且开口朝上，在区间上单调递减，那么在区间上也是单调递减，且，故即，所以实数的取值范围是.故答案为：16．函数的定义域为______.【答案】【分析】根据函数解析式，列出不等式组求解即可.【详解】因为函数，所以解得，所以函数定义域为，故答案为：四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，且.（Ⅰ）若，求a的值.（Ⅱ）若在上的最大值与最小值的差为1，求a的值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）或【分析】（Ⅰ）根据题意，代入数据，化简计算，即可得答案.（Ⅱ）若，则为单调递增函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值；若，则为单调递减函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值，综合即可得答案.【详解】（Ⅰ）因为，所以所以，即，解得或（舍）；（Ⅱ）若，则上为单调递增函数，所以的最大值为，最小值为，根据题意可得，所以，所以，即，解得或（舍）；若，则上为单调递减函数，所以的最大值为，最小值为，根据题意可得，所以，所以，即，解得或（舍）综上，a的值为或.18．已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得集合；（2）对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）对于函数，，可得，解得，因此，；（2）由，可得.①当时，则有，解得，即，此时成立；②当时，因为，解不等式可得，即，因为，则，即，解得；③当时，，解不等式可得或，即或，此时成立；④当时，则有，解得，即，此时成立；⑤当时，，解不等式可得或，即或，此时成立.综上所述，实数的取值范围是.19．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）.每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）；（2）年产量为件时，利润最大为万元.【详解】试题分析：（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学模型，即建立函数关系式，这里，要用分类讨论的思想，建立分段函数表达式；（2）根据建立的函数关系解模，即运用数学知识求函数的最值，这里第一段，运用的是二次函数求最值，而第二段，则可运用基本不等式求最值，然后再作比较，确定最终的结果，最后要回到实际问题作答.试题解析：解：（1）当时，；当时，，所以.（2）当时，此时，当时，取得最大值万元.当时，此时，当时，即时，取得最大值万元，所以年产量为件时，利润最大为万元.考点：函数、不等式的实际应用.20．已知全集，集合，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设非空集合，若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据集合非空，且，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）因为，，所以或，则；（Ⅱ）因为非空集合，且，所以或，解得或，即实数的取值范围是.21．已知函数是奇函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的单调性；（只需写出结论）（Ⅲ）若不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函数；（Ⅲ）.【分析】（I）根据题意可知，即可列出等式求解a；（Ⅱ）的值随着x的值增大而增大，故函数为增函数；（Ⅲ）根据函数的奇偶性可将不等式转化为，再由函数的单调性可得恒成立，则，即可得解.【详解】（I）因为为奇函数，定义域为，所以，即，解得，当时，此时即，函数为奇函数.（Ⅱ）为增函数（Ⅲ）不等式恒成立，即恒成立，因为在定义域上是奇函数，所以，又为增函数，所以恒成立，由恒成立，有△，解得，所以，的取值范围是．22．中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从下降到所用时间1分58秒从下降到所用时间3分24秒从下降到所用时间4分57秒（I）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却后水温（单位：）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值．（精确到0.01）（II）“碧螺春”用左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I）的条件下，水煮沸后在室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A．B．C．（参考数据：，，，，）【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）B，理由见解析.【分析】（I）先由题中条件，得到，化为，从题中所给数表中选取一组数据，计算