医学统计学练习及参考答案

医学统计学练习及参考答案一、选择题1.某研究测量100名健康成年男性的血红蛋白浓度（g/L），数据呈正态分布，描述其集中趋势的最佳指标是（）A.均数B.中位数C.众数D.几何均数2.比较两组独立样本的均数是否有差异，若两组数据均服从正态分布但方差不齐，应选择的统计方法是（）A.配对t检验B.两独立样本t检验C.秩和检验D.方差分析3.某临床试验比较两种药物的有效率，共纳入80例患者，每组40例，结果显示A药有效30例，B药有效20例。若分析两药有效率是否有差异，应使用（）A.四格表χ²检验B.配对χ²检验C.Fisher确切概率法D.行×列表χ²检验4.线性回归分析中，决定系数R²的取值范围是（）A.1到1B.0到1C.∞到+∞D.0到+∞5.单因素方差分析的无效假设（H₀）是（）A.各样本均数不全相等B.各总体均数全相等C.各样本均数全相等D.各总体均数不全相等二、简答题1.简述I型错误与II型错误的定义及两者的关系。2.简述t检验的应用条件。3.简述卡方检验的主要用途及四格表χ²检验的适用条件。4.简述线性回归分析中回归系数b的统计学意义及假设检验方法。三、计算题1.单样本t检验某医院测量30名健康成年女性的血清总蛋白（g/L），数据如下：73.5,74.0,72.8,73.2,74.5,73.8,72.5,73.0,74.2,73.6,72.9,73.4,74.1,73.7,72.6,73.3,74.3,73.9,72.7,73.1,74.4,73.5,72.4,73.0,74.6,73.7,72.8,73.2,74.0,73.5。已知健康成年女性血清总蛋白的总体均数为73.0g/L，问该医院测量的样本均数是否与总体均数不同？2.配对t检验某研究观察10名高血压患者治疗前后的收缩压（mmHg），数据如下：治疗前：150,160,155,165,148,152,158,162,156,149治疗后：135,145,140,150,130,138,142,150,145,132问治疗前后收缩压是否有差异？3.两独立样本t检验为比较两种降压药的疗效，将20名高血压患者随机分为两组，A组10人服用药物A，B组10人服用药物B，治疗4周后测量收缩压下降值（mmHg）如下：A组：12,15,10,18,13,16,9,14,17,11B组：8,5,10,7,9,6,12,4,8,7假设数据服从正态分布，方差齐性，问两种药物的降压效果是否有差异？4.四格表χ²检验某研究比较两种手术方式治疗胆结石的疗效，结果如下：|手术方式|有效|无效|合计|||||||腹腔镜|45|5|50||开腹|30|20|50|问两种手术方式的有效率是否有差异？（α=0.05）5.单因素方差分析某研究观察三种不同剂量的药物对小鼠血糖的影响，每组8只小鼠，测得血糖值（mmol/L）如下：低剂量组：5.2,5.5,5.1,5.3,5.4,5.0,5.6,5.2中剂量组：4.5,4.8,4.3,4.6,4.7,4.2,4.9,4.4高剂量组：3.8,4.1,3.6,3.9,4.0,3.5,4.2,3.7问三种剂量组的血糖值是否有差异？（α=0.05，需进行多重比较）6.线性回归分析某研究测量12名糖尿病患者的空腹血糖（X，mmol/L）与糖化血红蛋白（Y，%），数据如下：X：6.2,7.1,5.8,8.3,6.5,7.4,5.5,9.0,6.8,7.6,5.9,8.5Y：6.5,7.2,6.0,8.5,6.8,7.5,5.8,9.2,7.0,7.8,6.1,8.7（1）计算空腹血糖与糖化血红蛋白的回归方程；（2）检验回归系数的显著性（α=0.05）。参考答案一、选择题1.A（正态分布数据集中趋势用均数）2.C（方差不齐时，两独立样本均数比较用秩和检验）3.A（两组二分类变量比较用四格表χ²检验，n=80≥40，理论频数T≥5）4.B（决定系数R²=SS回/SS总，取值0到1）5.B（方差分析H₀：各总体均数全相等）二、简答题1.I型错误（α错误）：原假设H₀为真时，错误地拒绝H₀的概率；II型错误（β错误）：原假设H₀为假时，错误地不拒绝H₀的概率。两者在样本量固定时呈反向关系，α减小则β增大，反之亦然；增大样本量可同时降低α和β。2.t检验的应用条件：①单样本t检验：数据服从正态分布；②配对t检验：差值服从正态分布；③两独立样本t检验：两样本均服从正态分布，且方差齐性（若方差不齐可用t'检验或秩和检验）。3.卡方检验主要用途：①推断两个或多个总体率（或构成比）是否有差异；②检验分类变量间的关联性；③检验频数分布的拟合优度。四格表χ²检验适用条件：n≥40且所有T≥5时，用普通χ²检验；n≥40但1≤T<5时，用连续性校正χ²检验；n<40或T<1时，用Fisher确切概率法。4.回归系数b的统计学意义：X每增加1个单位，Y平均改变b个单位（b>0为正相关，b<0为负相关）。假设检验方法：①t检验：计算t=b/Sb，自由度ν=n2；②方差分析：计算F=MS回/MS残，ν1=1,ν2=n2；③也可通过相关系数r的检验间接推断（r与b的检验等价）。三、计算题1.单样本t检验（1）计算样本均数（$\bar{X}$）和标准差（S）：$\bar{X}=(73.5+74.0+…+73.5)/30≈73.5$（计算过程略）$S=\sqrt{\frac{\sum(X_i\bar{X})^2}{n1}}≈0.68$（计算过程略）（2）建立假设：H₀：μ=73.0（样本均数与总体均数无差异）H₁：μ≠73.0（有差异）（3）计算t值：$t=\frac{|\bar{X}\mu|}{S/\sqrt{n}}=\frac{|73.573.0|}{0.68/\sqrt{30}}≈4.03$（4）确定自由度ν=301=29，查t界值表，t₀.05/2,29=2.045。（5）结论：t=4.03>2.045，P<0.05，拒绝H₀，认为该样本均数与总体均数不同。2.配对t检验（1）计算差值d=治疗前治疗后：15,15,15,15,18,14,16,12,11,17$\bar{d}=(15+15+…+17)/10=15.8$$S_d=\sqrt{\frac{\sum(d_i\bar{d})^2}{101}}≈2.12$（2）假设：H₀：μd=0（治疗前后无差异）；H₁：μd≠0（有差异）（3）t值：$t=\frac{|\bar{d}0|}{S_d/\sqrt{n}}=\frac{15.8}{2.12/\sqrt{10}}≈23.5$（4）ν=101=9，t₀.05/2,9=2.262，t=23.5>2.262，P<0.05，拒绝H₀，治疗前后收缩压有差异。3.两独立样本t检验（1）计算两组均数和方差：A组：$\bar{X}_1=(12+15+…+11)/10=13.5$，$S_1^2=(\sumX_1^2(\sumX_1)^2/10)/9≈9.5$B组：$\bar{X}_2=(8+5+…+7)/10=7.6$，$S_2^2=(\sumX_2^2(\sumX_2)^2/10)/9≈6.2$（2）方差齐性检验（F检验）：$F=S_1^2/S_2^2=9.5/6.2≈1.53$，ν1=9,ν2=9，F₀.05(9,9)=4.03，F<4.03，方差齐。（3）假设：H₀：μ1=μ2（两药效果无差异）；H₁：μ1≠μ2（有差异）（4）合并方差$S_c^2=((101)×9.5+(101)×6.2)/(10+102)=7.85$t值：$t=\frac{|\bar{X}_1\bar{X}_2|}{\sqrt{S_c^2(1/10+1/10)}}=\frac{|13.57.6|}{\sqrt{7.85×0.2}}≈5.92$（5）ν=10+102=18，t₀.05/2,18=2.101，t=5.92>2.101，P<0.05，拒绝H₀，两药降压效果有差异。4.四格表χ²检验（1）计算理论频数T：T₁₁=50×75/100=37.5，T₁₂=50×25/100=12.5，T₂₁=50×75/100=37.5，T₂₂=50×25/100=12.5（所有T≥5，n=100≥40，用普通χ²检验）（2）假设：H₀：π1=π2（两手术有效率无差异）；H₁：π1≠π2（有差异）（3）χ²值：$\chi^2=\sum\frac{(AT)^2}{T}=\frac{(4537.5)^2}{37.5}+\frac{(512.5)^2}{12.5}+\frac{(3037.5)^2}{37.5}+\frac{(2012.5)^2}{12.5}=12.0$（4）ν=(21)(21)=1，查χ²界值表，χ²₀.05,1=3.84，χ²=12.0>3.84，P<0.05，拒绝H₀，两手术有效率有差异。5.单因素方差分析（1）计算各组均数、总均数：低剂量组：$\bar{X}_1=5.3$，中剂量组：$\bar{X}_2=4.5$，高剂量组：$\bar{X}_3=3.8$总均数$\bar{X}=(5.3×8+4.5×8+3.8×8)/(8×3)=4.53$（2）计算离均差平方和：SS总=$\sum\sum(X_{ij}\bar{X})^2$=(5.24.53)²+…+(3.74.53)²≈12.48SS组间=8×(5.34.53)²+8×(4.54.53)²+8×(3.84.53)²≈8×0.59+8×0.0009+8×0.53≈8.96SS组内=SS总SS组间=12.488.96=3.52（3）自由度：ν总=241=23，ν组间=31=2，ν组内=232=21（4）均方：MS组间=8.96/2=4.48，MS组内=3.52/21≈0.168（5）F值=F=MS组间/MS组内=4.48/0.168≈26.67（6）查F界值表，F₀.05(2,21)=3.47，F=26.67>3.47，P<0.05，拒绝H₀，三组血糖值有差异。（7）多重比较（LSDt检验）：低剂量vs中剂量：$t=\frac{|5.34.5|}{\sqrt{0.168×(1/8+1/8)}}=\frac{0.8}{\sqrt{0.042}}≈3.90$，ν=21，t₀.05/2,21=2.08，P<0.05；低剂量vs高剂量：$t=\frac{|5.33.8|}{\sqrt{0.168×(1/8+1/8)}}≈7.35$，P<0.05；中剂量vs高剂量：$t=\frac{|4.53.8|}{\sqrt{0.168×(1/8+1/8)}}≈3.41$，P<0.05；结论：任意两组间血糖值均有差异。6.线性回归分析（1）计算回归方程：$\sumX=6.2+7.1+…+8.5=89.6$，$\sumY=6.5+7.2+…+8.7=89.0$$\sumX²=6.2²+…+8.5²=692.34$，$\sumY²=6.5²+…+8.7²=685.18$$\sumXY=6.2×6.5+…+8.5×8.7=694.74$$l_{XX}=\sumX²(\sumX)²/n=692.34(89.6)²/12≈692.34669.01=23.33$$l_{YY}=\sumY²(\sumY)²/n=685.18(89.0)²/12≈685.18656.08=29.10$$l_{XY}=\sumXY(\sumX)(\sumY)/n=694.74(89.6×89.0)/12≈694.74665.07=29.67$回归系数$b=l_{XY}/l_{XX}=29.67/23.33≈1.27$截距$a=\bar{Y}b\bar{X}=89.0/121.27×(89.6/12)≈7.421.27×7.47≈7.429.49≈2.07$回归方程：$\h