小学奥数竞赛专题之利润与折扣

小学奥数竞赛专题之利润及折扣

竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进奇妙的数学花园、EMC、全国小

学数学联赛和数学解题实力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题

［专题介绍］

工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为“打折扣”出售，几折就是百

分之几十。

利润问题也是一种常见的百分数应用题，商店出售商品总是期望获得利润，一般

状况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售,

所赚的钱称为利润，利润及成本的百分比称之为利润率。期望利润二成本价X期

望利润率。

［经典例题］

例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折实惠酬宾，外送50元出

租车费”的广告，结果每台照旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？（B

级）

解：定价是进价的1+35%

打九折后，实际售价是进价的135%X90%=121.5%

每台DVD的实际盈利:208+50=258（元）

每台DVD的进价258+（121.5%-1）=1200（元）

答：每台DVD的进价是1200元

例2：一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%甲店依据20%的利润定价，乙店依

据15$的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，问甲店的进货价是多少

元？(B级)

分析：

解：设乙店的成本价为1

(1+15%)是乙店的定价

(1-10%)X(1+20%)是甲店的定价

(1+15%)-(1-10%)X(1+20%)=7%

11.24-7%=160(元)

160X(1-10%)=144(元)

答：甲店的进货价为144元。

例3、原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得

不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%,此时因胆怯剩余水果会变

质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利涧的

30.2%,那么其次次降价后的价格是原来定价的百分之几？(B级)

分析：

要求其次次降价后的价格是原来定价的百分之几，则须要求出其次次是按百分之

几的利润定价。

解：设其次次降价是按斓的利润定价的。

38%X40%+x%X(1-40%)=30.2%

X%=25%

(1+25%)-r(1+100%)=62.5%

答：其次次降价后的价格是原来价格的62.5%

［练习］:

1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，及按每个11元的利润卖出12个的

钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？

2、租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原支配要销售3个月，

由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节约了租仓库的租金，所以结算

下来，反而比原支配多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？

3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说:

“假如你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若

减价5%,则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商

品的成本是多少元？

4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距

离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。假如在运输及销售过程

中的损耗是10%,商店要想实现25%的利润率，零售价应是每千克多少元？

5、小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元

5个。新年实惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。问：小明共

买了多少个球？

6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款

年利率为12%,乙种贷款年利率为14%。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是

多少?

7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支及用零售价11元卖出15支的

利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？

8、某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80%。妈妈第一天买了

2个，其次天买了3个，第三天买了5个，共花了38元。若这10个蜜瓜都在第

三天买，则能少花多少钱？

9、商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购

进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。问：这批凉鞋共多少双？

10、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球加价9%,

篮球加价11%,全部卖出后获利润298元。问：每个足球和篮球的进价是多少

元？

小学奥数竞赛专题之利率及利息

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［专题介绍］

国家规定，各种收入必需依据国家肯定的额比例向国家缴纳肯定的税款，应纳税

额及收入的百分比叫做税率。

我们把存入银行的钱叫做本金，取款时银行多付出来的钱叫做利息。总利息及本

金的百分比叫做利率。

［经典例题］

例1、某个体商人以年利息14%的利率借别人4500元,第一年末偿还2130元,

其次年以某种货物80件偿还一部分，第三年还2736元结清，他其次年末还债的

货物每件价值多少元？

解：依据“总利息二本金X利率X时间”

第一年末的本利和：4500+4500X14%X1=5130（元）

其次年起计息的本金：5130-2130=3000（元）

其次年末的本利和：3000+3000X14%X1=3420（元）

第三年的本利和为2736元，

故第三年初的本金为：27364-（1+14%）=27364-1.14=2400（元）

其次年末已还款的金额为3420-2400=1020（元）

每件货物的单价为1020^80=12.75（元）

答：他其次年末还债的货物每件价值12.75元

例2、小明于今年七月一口在银行存了活期储蓄：00元，假如年利率是1.98%,

到明年七月一日，小明可以得到多少利息？（A级）

解：1OOOX1.98%X1X（1-20%）=15.84（元）

答：小明可以得到15.84元利息

例3、买了8000元的国家建设债卷，定期3年，到期他取回本息一共10284元,

这种建设债卷的年利率是多少？（B级）

解：设年利率为x%

（1）（单利）

8000+8000Xx%X3=10284

X%=9.52%

(2)(复利)

8000(1+x%)3=10284

X%=9.52%

答：这种建设债卷利率是9.52%

小学奥数竞赛专题之平均数问题

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［专题介绍］求平均数问题是小学学习阶段常常接触的一类典型应用题，如“求

一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。

解答这类应用题时，主要是弄清晰总数、份数、一份数三量之间的关系，依

据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。

［经典例题］

例1用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米,

这4个杯子水面平均高度是多少厘米？

［分析］求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起,

再平均倒入4个杯子生，看每个杯子里水面的高度。

解：(4+5+7+8)+4=6(厘米)

答：这4个杯子水面平均高度是6座米。

例2蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89

分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、

英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各

科成果应是多少分？

［分析］解题关键是依据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又

知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，

就可以求出其他各科成果。

解：①英语：（84X2+10）4-2=89（分）

②语文：89-10=79（分）

③政治：86X2-89=83（分）

④数学：91.5X2-83=100（分）

⑤生物：89X5-（89+79+83+100）=94（分）

答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成果分别是89分、79

分、83分、100分、94分。

例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖

每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克

多少元？

［分析］要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必需知道混合后的总钱数和及

总钱数相对应的总千克数。

解：①什锦糖的总价：

4.40X2+4.20X3-7.20X5=57.4（元）

②什锦糖的总干克数：2+3+5=10（千克）

③什锦糖的单价：57.44-10=5.74（元）

答：混合后的什锦糖每千克5.74元。

我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40

元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要,

对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。

例4甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉BE有5亩，平均亩产籽棉203斤;

乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？

［分析］此题是己知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求

另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18

斤，5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉曰平均亩产少15斤，乙少的部

分用甲多的部分补足，也就是看90斤里面包含几个15斤，从而求出的是乙棉田

的亩数，即“权数”。

解：①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤？

（203-185）X5=90（斤）

②乙棉田有几亩？

904-（185-170）=6（亩）

答：乙棉田有6亩。

例5已知八个连续奇数的和是144,求这八个连续奇数。

［分析］已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首

项及末项之和等于其次项及倒数其次项之和，等于第三项及倒数第三项之和……

即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144+4=36.这样

可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。

解：①每组数之和:1444-4=36

②中间两个数中较大的一个：（36+2）+2=19

③中间两个数中较小的一个：19-2二17

，这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。

答：这八个连续奇数分别为：11、13、15、：7、19、21、23和25。

小学奥数竞赛专题之最短路途问题

竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进奇妙的数学花园、EMC、全国小

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小学殿竞赛专优化问题

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［专题介绍］最优化概念反映了人类实践活动中非常普遍的现象，即要在尽可能节

约人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化

问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。

最优化问题不仅具好玩味性，而且由于解题方法敏捷，技巧性强，因此对于开拓

解题思路，增加数学实力很有好处。但解决这类问题须要的基础学问相当广泛，

很难做到一一列举。因此，主耍是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法

和阅历。

［经典例题］

例1:货轮上卸下若干只箱子，总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，

为了保证能把这些箱子一次运走，问至少须要多少辆载重3吨的汽车？

［分析］因为每一只箱子的重量不超过1吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量

不会少于2吨，否则可以再放一只箱子。所以，5辆汽车本是足够的，但是4辆

汽车并不肯定能把箱子全部运走。例如，设有13只箱子，，所以每辆汽车只能

运走3只箱子，13只箱子用4辆汽车一次运不走。

因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少须要5辆汽车。

例2:用10尺长的竹竺来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少

要用去原材料几根？怎样截法最合算？

［分析］一个10尺长的竹竿应有三种截法：

（1）3尺两根和4尺一根，最省；

（2）3尺三根，余一尺；

（3）4尺两根，余2尺。

为了省材料，尽量运用方法（1）,这样50根原材料，可截得100根3尺的竹竿

和50根4尺的竹竿，还差50根4尺的，最好选择方法（3）,这样所需原材料

最少，只需25根即可，这样，至少需用去原材料75根。

例3:一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它

们个位数字的和是7的倍数，这个三角形的周长最长应是多少厘米？

［分析］因为三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0,2,4,

6,8,并且它们的和也是偶数，又因为它们的个位数字的和是7的倍数，所以只

能是14,三角形三条边最大可能是86,88,90,那么周长最长为86+88+90=264

厘米。

例4:把25拆成若干人正整数的和，使它们的积最大。

［分析］先从较小数形起先试验，发觉其规律：

把6拆成3+3,其积为3X3=9最大;

把7拆成3+2+2,其积为3X2X2=12最大；

把8拆成3+3+2,其积为3X3X2=18最大；

把9拆成3+3+3,其积为3X3X3=27最大;……

这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现3,而当某一自然数

可表示为若干个3及1的和时，要取出一个3及1重合在一起再分拆成两个2

之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2,其积37X22=8748为最大。

例5:A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人

最多可携带一个人24天的食物和水，假如不准将部分食物存放于途中，问其中

一个人最远可以深化沙漠多少千米（要求最终两人返回动身点）？假如可以将部

分食物存放于途中以备返回时取用呢？

［分析］设A走X天后返回，A留下自己返回时所需的食物，剩下的转给B,此时

B共有（48-3X）天的食物，因为B最多携带24天的食物，所以X=8,剩下的24

天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用，所以B可以向沙

漠深处走16天，因为每天走20千米，所以其中一人最多可以深化沙漠320千米。

假如变更条件，则问题关键为A返回时留给B24天的食物，由于24天的食物可

以使B单独深化沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B两人来回一段

路，这段路为24・4二6天的路程，所以B可以深化沙漠18天的路程，也就是说,

其中一个人最远可以深化沙漠360千米。

例6:甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服，甲厂每

月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙厂每月

用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服，现在两厂

联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少

套？

［分析］依据已知条件，甲厂生产一条裤子及一件上衣的时间之比为2:3：因此

在单位时间内甲厂生产的上衣及裤子的数量之比为2:3；同理可知，在单位时间

内乙厂生产上衣及裤子的数量之比是3:4；,由于，所以甲厂擅长生产裤子，乙

厂擅长生产上衣。两厂联合生产，尽量发挥各自特长，支配乙厂全力生产上衣，

由于乙厂生产月生产1200件上衣，那么乙厂全月可生产上衣1200：=2100ft,

同时，支配甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子900+=2250条。

为了配套生产，甲厂先全力生产2100条裤子，这须要2100+2250=月，然后甲

厂再用月单独生产西服900X=60套，于是，现在联合生产每月比过去多生产西

服

(2100+60)-(900+1200)=60套

例7今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的嬉戏，甲先取，乙后取，两

人轮番各取一次，规定每次只能取7P(P为1或不超过20的任一质数)颗棋子,

谁最终取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？

［分析］因为1400=7X200,所以原题可以转化为：有围棋子200颗，甲、乙两

人轮番每次取P颗，谁最终取完谁获胜。

［解］乙有必胜的策略。

由于200=4X50,P或者是2或者可以表示为4k+l或4k+3的形式（k为零或正

整数）。乙实行的策略为：若甲取2,4k+l,4k+3颗，则乙取2,3,1颗，使得

余下的棋子仍是4的倍数。如此最终出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时

甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。

［说明］（1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不肯定存在必胜的策略，关

键是看他们所面临的“情形”；

（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将全部的情形一剩余棋子的颗数分

成两类，第一类是4的倍数，其次类是其它。若某人在取棋时遇到的是其次类情

形，那么他可以取1或2或3,使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类

情形，则取棋后留给另一个人的肯定是其次类情形。所以，谁先面临其次类情形

谁就能获胜，在绝大部分双人竞赛问题中，都可采纳这种方法。

例8有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7

人和5人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？

［分析］为了使得所住房间数最少，支配时应尽量先支配11人房间，这样50人

男的应支配3个11人间，2个5人间和1个7人间；30个女人应支配1个11

人间，2个7人间和1个5人间，共有10个房间。

［练习］

1、十个自然数之和等于1001,则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是

多少？（不包括0）

2、在两条直角边的和肯定的状况下，何种直角三角形面积最大，若两直角边的

和为8,则三角形的最大面积为多少？

3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所须要的时间分别

是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟，假如只有一个水龙头适当支配他

们的打水依次，就能够使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最小值是

多少分钟？

4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24

小时注满。若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，

则甲乙两管全放最少须要多少小时？

5、有1995名少先队员分散在一条马路上值勤宣扬交通法规，问完成任务后应当

在该马路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣扬岗位沿马路走到集合地点的

路程总和最小？

6、甲、乙两人轮番在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑板上已写

过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如

何取胜？

［习题参考答案及思路分析］

1、・・・1001=7XllX13,・••可以7X13为公约数，这样这十个正整数可以是，91

X2,它们的最大公约数为91。

2、对于直角三角形而言，在直角边的和肯定的状况下，等腰直角三角形的面积

最大。若两直角边的和为8,则三角形的最大面积为X4X4=8。

3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：

（1）排队的人尽量少；（2）每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打

水，才能保证起先排队人多的时候，每个人等待的时间要少，故共需5X1+4X

2+3X3+2X4+5=35（分钟）«

4、由于甲、乙单独开放都不行能在10小时注满水池，因此必需有时间甲、乙全

放。为了使它们合放的时间最少，应尽量开放甲管（速度快），这样甲开10小

时注满水池的，余下只能由乙注满，需。因此甲乙两管全放最少须要4小时。

5、此问题我们可以从最简洁问题入手，找寻规律，从而解决困难问题，最终集

合地点应在中间地点。

6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写6,乙仅可写4,5,7,8,9,10中的

一个，把它们分成数充（4,5）,（8,10）,（7,9）。假如乙写数对中的某

个数，甲就写数对中的另一个数，则甲必胜。

小学奥数竞赛专题之列车过桥问题

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［专题介绍］:列车过桥是生活中常见的现象，要正确理解这类问题，首先要懂得

从车头上桥到车尾离开桥行驶的路程是多少。假如通过模拟操作，用文具盒代一

座大桥，一支铅笔表示一列火车，用笔尖接触文具盒.表示车头上桥.然后将铅

笔在文具盒.上渐渐向前移动。直到笔尾离开文具盒，即车尾离开桥，可以看出铅

笔向前移动的长，等于铅笔的长加文具盒的长，由此推知，列车从车头上桥到车

尾离开桥行驶的路程是：桥长+车长。

环形跑道是学校中常见的，建议学习此讲内容之前，同学们可以先到学校的跑道

上模拟练习一下。

［经典例题］