2.3《二次根式》复习题-二次根式的混合运算（含答案）八年级数学上册北师大版

2.3《二次根式》复习题--二次根式的混合运算【题型1二次根式的混合运算】1.计算：(1)(2)2.计算：(1)(2)3.计算：(1)(2)4.计算：(1)(2)【题型2二次根式的分母有理化】1.观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…(1)按照上述规律，第6个等式：______；第n个等式：______；(2)计算：的值．2.观察下列各式；第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；．(1)照此排列方式，请写出第n式；(2)的值是多少？3.阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化．还可以用以下方法化简：．(1)用不同的方法化简．(2)化简：．4.课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)化简：=；=；(2)在有关二次根式的计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中的二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们继续思考如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．请把式子和分别进行分母有理化；(3)计算：．5.阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化．还可以用以下方法化简：．(1)用不同的方法化简．(2)化简：．【题型3已知字母的值，化简求值】1.已知，．(1)直接写出，的值；(2)求代数式的值．2.已知，求下列代数式的值．(1)；(2)．3.已知：，．(1)求的值；(2)求的值．4.（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【题型4已知条件式，化简求值】1.若，求的值．2.已知：，，且，求的值．3.若x，y为实数，且，求的值．4.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下，，∴，∴，，∴，∴．请你根据上述分析过程，解决如下问题：(1)若，请将a进行分母有理化；(2)在（1）的条件下，求的值．【题型5比较二次根式的大小】1.比较与的大小可以采用下面的方法：；．显然，所以．仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：(1)猜想：与的大小关系；(2)尝试计算：．2.比较与的大小可以采用下面的方法：；．显然，所以．仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：(1)猜想：与的大小关系；(2)尝试计算：．3.阅读下列材料，并回答问题．；；；；…(1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”）(2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）；(3)计算：（提示：）．4.阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题：(1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________．(2)计算：；(3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）．5.像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．(1)化简：①______；②______．(2)计算：．(3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．【题型6二次根式的规律探究问题】1.探索下列等式规律，并解决下列问题：【规律发现】第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……【规律探索】（1）第5个等式：_______；（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______；【规律应用】（3）计算：2.观察下列等式：①；②；③；…(1)请写出第④个等式；(2)利用规律计算：．3.观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；．．．．．．按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第4个等式：________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：(3)计算：．4.细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题：，；，；，；…(1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律；(2)推算出的长；(3)求的值．【题型7二次根式的新定义运算】1.定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”．(1)关于的“美好数”是______；(2)化简：；(3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值．2.已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题：(1)如果，则；如果，则；(2)①如果，求b的值；②若，求m与n的关系．3.定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．(1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____．(2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．4.定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；(2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，；(3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数．参考答案【题型1二次根式的混合运算】1.（1）解：；（2）．2.（1）解：（2）解：3.（1）解：；（2）．4.（1）解：；（2）解：．【题型2二次根式的分母有理化】1.（1）解：∵第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…∴；；故答案为：；；（2）解：2.（1）解：第1式，第2式，第3式，第4式．第个式子为；（2），3.（1）解：方法一：；方法二：；（2）解：．4.（1）解：，，故答案为：，；（2）解：；；（3）解：原式=．5.（1）解：方法一：；方法二：；（2）解：．【题型3已知字母的值，化简求值】1.（1）解：∵，．∴；；（2）解：由（1）可得，．2.（1）解：，，；（2）解：，，，．3.（1）解：∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴．4.解：（1），，；（2），．【题型4已知条件式，化简求值】1.解：设，则，∴，∵，即，∴，∴，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．2.解：∵，，∴，∵，∴，∴，，，，．3.解：由题意知，解得：，则，∴原式．4.（1）解：；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴；【题型5比较二次根式的大小】1.（1）解：，．显然，所以．所以（2）解：2.（1）解：，．显然，所以．所以（2）解：3.（1）解：，根据材料可知，，，，，故答案为：，；（2）解：（3）解：4.（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得，故答案为：；．（2）解：；（3）解：∵∴故答案为：．5.（1）解：①，故答案为：；②，故答案为：；（2）解：．（3）解：，同理：，，，．【题型6二次根式的规律探究问题】1.解：（1）由题意可得：第5个等式：（2）由（1）归纳可得：；（3）．2.（1）解：第④个等式：．（2）解：．3.（1）解：由题意可得第4个等式为，故答案为：；（2）解：第个等式为，证明如下：左式，，左式，右式，成立；（3）解：原式．4.（1）解：由题意得：；（2）解：在中，，在中，，在中，，……∴；（3）解：．【题型7二次根式的新定义运算】1.（1）解：由“美好数”的新定义可得，则关于的“美好数”是，故答案为：；（2）解：；（3）解：关于的“美好数”，∴．2.（1）∵a、b互为倒数，，∴．∵a、b互为倒数，，∴．故答案为：；（2）①∵a、b互为倒数，，；②∵a、b互为倒数，，∴，即．3.（1）解：∵，∴与是关于的“实验数”；∵，∴与是关于的“实验数”，即；∵，∴，∴表示