新课预习-专题强化3空间向量与立体几何考点梳理（教师版）-新高二暑假衔接

专题强化3：空间向量与立体几何考点梳理【知识网络】【考点突破】一、空间向量的概念及运算A．－1 B． C． D．【答案】D故选：DA． B． C． D．【答案】C故选：C．【答案】B【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．故选：BA．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】直接由空间向量的夹角公式计算即可故选：B【答案】AB【分析】利用空间向量坐标的加法公式、向量模的坐标公式、向量的数量积公式依次计算各选项即可得出结果.故选：AB【答案】2【分析】题中几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，故答案为：2.二、利用空间向量证明位置关系【答案】(1)证明见解析；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，【答案】(1)证明见解析(2)存在；线段上靠近N的三等分点Q三、利用空间向量计算距离(1)求点到直线的距离；【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用点到直线距离公式求解.【详解】（1）如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，所以点到直线的距离为.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用线面平行的判定定理.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的距离公式求解.四、利用空间向量求空间角(1)求异面直线与所成角的余弦值；【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）如图，分别作，的中点，，连接，，(1)证明：PC⊥BC；(2)若PC＝3，求二面角P－AD－B的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【详解】（1）在平面图形中取中点，连接，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，【随堂演练】A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直【答案】C平面与平面的关系是平行或重合．故选：C．A． B． C． D．4【答案】A【详解】解法一：（几何法）解：如图，取的中点,连接,故点到直线的距离为.故选：A.解法二：（向量法）即点到直线的距离为.故选：A.【答案】D故选：D.【答案】A故选：A.【答案】B【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答.故选：BA． B．2 C． D．【答案】C∵O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，故选：CB．BD⊥平面ACC₁C．向量与的夹角是60°D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为【答案】C【分析】利用空间向量法，通过计算线段长度、向量夹角、线线角以及证明线面垂直等知识确定正确答案.由图可知与的夹角为钝角，也即与的夹角为钝角，C选项错误.设直线与直线所成角为，故选：C【答案】C【分析】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，∴AC＝2，则AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，即B与D之间距离为，故选：C．【答案】故答案为：.【答案】/故答案为：．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】解：（1）证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.【答案】证明见解析；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．建立如图所示的空间直角坐标系，【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．14．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求EF的长（2）证明：EF∥平面AA1D1D；（3）证明：EF⊥平面A1CD．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，代入长度公式求解；（2）求出的坐标表示，关键坐标关系判断EF∥AD1，再利用线面平行的判定定理证明；【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），∵E，F分别为AB，A1C的中点，∴E（2，1，0），F（1，1，1），又A