2.3.2有理数乘法的运算律课件-北师大版数学七年级上册

2.3.2有理数乘法的运算律第二章

有理数及其运算【2025新教材】北师大版数学

七年级上册

授课教师：********班级：********时间：********2.3.2有理数乘法的运算律一、复习导入同学们，上节课我们学习了有理数的乘法法则。大家还记得吗？两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与\(0\)相乘都得\(0\)。比如\((-3)×5=-15\)，\((-2)×(-4)=8\)。那在进行有理数乘法运算时，有没有更简便的方法呢？这就需要我们学习有理数乘法的运算律了。今天，我们就一起来探究2.3.2有理数乘法的运算律。二、有理数乘法交换律（一）概念引入计算\(3×(-5)\)与\((-5)×3\)，根据有理数乘法法则，\(3×(-5)=-15\)，\((-5)×3=-15\)。让学生观察这两个式子的结果，发现它们是相等的。再列举几个例子，如\((-2)×4\)和\(4×(-2)\)，\(\frac{1}{2}×(-6)\)和\((-6)×\frac{1}{2}\)，通过计算得出每组式子左右两边结果都相同。由此总结出有理数乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为\(a×b=b×a\)，这里\(a\)，\(b\)可以是任意有理数

。（二）应用举例例题1：计算\((-8)×\frac{3}{4}×(-0.125)\)解：利用乘法交换律，将式子变形为\((-8)×(-0.125)×\frac{3}{4}\)。先计算\((-8)×(-0.125)=1\)，再计算\(1×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)。通过交换因数位置，使\((-8)\)与\((-0.125)\)先相乘得到\(1\)，简化了计算过程。三、有理数乘法结合律（一）概念引入计算\([2×(-3)]×(-4)\)与\(2×[(-3)×(-4)]\)。先算\([2×(-3)]×(-4)=(-6)×(-4)=24\)。再算\(2×[(-3)×(-4)]=2×12=24\)。观察发现这两个式子结果相等。多举几个例子，如\([(-5)×2]×(-3)\)和\((-5)×[2×(-3)]\)，\([\frac{1}{3}×(-6)]×4\)和\(\frac{1}{3}×[(-6)×4]\)，通过计算验证每组式子结果都相同。总结有理数乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为\((a×b)×c=a×(b×c)\)。（二）应用举例例题2：计算\((-0.25)×(-4)×(-8)×125\)解：利用乘法结合律，将式子变形为\([(-0.25)×(-4)]×[(-8)×125]\)。先算\((-0.25)×(-4)=1\)，\((-8)×125=-1000\)，再算\(1×(-1000)=-1000\)。通过合理结合因数，使计算更加简便快捷。四、有理数乘法分配律（一）概念引入从实际问题出发，假设有两个长方形，一个长方形的长为\(a\)，宽为\(b\)；另一个长方形的长为\(a\)，宽为\(c\)。将这两个长方形拼成一个大长方形，大长方形的宽为\((b+c)\)，长为\(a\)。方法一：分别计算两个小长方形的面积再相加，总面积为\(a×b+a×c\)。方法二：直接计算大长方形的面积为\(a×(b+c)\)。因为拼成前后的总面积不变，所以\(a×(b+c)=a×b+a×c\)。通过具体有理数例子验证，如计算\(2×(3+5)\)与\(2×3+2×5\)。\(2×(3+5)=2×8=16\)。\(2×3+2×5=6+10=16\)，结果相等。总结有理数乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为\(a×(b+c)=a×b+a×c\)，该运算律也适用于一个数与多个数的和相乘的情况，如\(a×(b+c+d)=a×b+a×c+a×d\)。（二）应用举例例题3：计算\((-12)×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})\)解：根据乘法分配律，将式子展开为\((-12)×\frac{1}{2}-(-12)×\frac{1}{3}+(-12)×\frac{1}{4}\)。分别计算：\((-12)×\frac{1}{2}=-6\)，\((-12)×\frac{1}{3}=-4\)，\((-12)×\frac{1}{4}=-3\)。所以原式\(=-6-(-4)+(-3)=-6+4-3=-5\)。五、综合应用与拓展（一）多种运算律结合使用例题4：计算\((-25)×\frac{3}{4}-(-25)×\frac{1}{2}+25×(-\frac{1}{4})\)解：首先观察式子，发现每一项都有因数\(25\)（或\(-25\)），利用乘法分配律的逆运算\(a×b+a×c=a×(b+c)\)，将式子变形为\(25×(-\frac{3}{4})+25×\frac{1}{2}+25×(-\frac{1}{4})\)，进一步变形为\(25×[(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}+(-\frac{1}{4})]\)。先算括号内\((-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}+(-\frac{1}{4})=(-\frac{3}{4}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)。再算\(25×(-\frac{1}{2})=-\frac{25}{2}\)。（二）易错点提醒在使用乘法分配律时，要注意将括号外的数与括号内的每一项都相乘，不能漏乘

。例如计算\(3×(2+4-5)\)，要计算\(3×2+3×4-3×5\)，不能只乘其中一项或两项。注意符号的处理，尤其是负因数参与运算时

。如\((-2)×(3-4+5)\)展开为\((-2)×3-(-2)×4+(-2)×5=-6+8-10\)，每一项的符号都要准确确定。六、课堂练习填空题\((-5)×6=6×\)______（根据乘法交换律）。\([(-2)×3]×(-4)=(-2)×\)______（根据乘法结合律）。\(3×(-2+5)=3×\)______\(+3×\)______（根据乘法分配律）。选择题计算\((-2)×3×(-5)\)，运用乘法运算律最简便的方法是（

）A.按顺序计算B.运用乘法交换律C.运用乘法结合律D.运用乘法交换律和结合律下列计算正确运用乘法分配律的是（

）A.\(2×(3+4)=2×3+4\)B.\((-2)×(3-4)=(-2)×3-(-2)×4\)C.\(3×(-2)×5=3×[(-2)×5]\)D.\(4×(-3)×(-2)=4×[(-3)×(-2)]\)解答题计算\((-125)×(-25)×(-8)×(-4)\)。计算\((-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(-60)\)。计算\(99\frac{17}{18}×(-18)\)。七、课堂小结回顾有理数乘法的交换律\(a×b=b×a\)、结合律\((a×b)×c=a×(b×c)\)和分配律\(a×(b+c)=a×b+a×c\)，以及它们的字母表达式。总结乘法运算律在简化有理数乘法运算中的作用，强调在实际计算中要根据式子的特点，灵活选择合适的运算律或多种运算律结合使用

。提醒学生在运用运算律时，要特别注意符号的处理和运算顺序，避免出现漏乘、符号错误等问题

。八、课后作业完成课本上对应本节内容的练习题，巩固有理数乘法运算律的应用

。思考：在有理数乘法运算中，除了本节课学习的运算律，是否还能通过其他方式对式子进行变形从而简化运算？尝试举例说明

。寻找生活中可以运用有理数乘法运算律解决的实际问题，记录下来并详细解答，下节课与同学分享

。这份课件围绕有理数乘法运算律展开教学，旨在让学生熟练运用运算律简化计算。如果你觉得内容的讲解方式、例题数量或练习难度需要调整，欢迎随时告诉我。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1．通过经历探索有理数的乘法运算律的过程，理解有理数乘法的运算律，提升观察、归纳、猜想、验证等能力。2．通过掌握有理数乘法的运算律，能合理运用有理数的运算律简化运算，提升应用能力。3．通过合作学习过程，提升合作能力和交流能力。重点难点有理数乘法法则是什么？旧知回顾两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0

问题导入问题1在小学里，我们都知道，数的乘法满足乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配律，3×5=5×3引入负数后，在有理数的乘法运算中，这三种运算律是否还能成立呢？(3×5)×2=3×(5×2)3×(5+2)=3×5+3×2问题2

我们知道两个有理数相乘，同号得正，异号得负，那么如果是超过两个有理数相乘呢？比如(-3)×5×(-2)，它的积的符号是什么呢?探索新知多个有理数相乘探究点1

解：(-4)×5×(-0.25)=[-(4×5)]×(-0.25)=

(-20)×(-0.25)=+(20×0.25)=5=-1解：问题1对例1(1)式子进行改编，得到下面一些式子，观察这些式子，判断它们的积的符号。式子积的符号负因数的个数4×5×(-0.25)×1(-4)×(-5)×0.25×1(-4)×(-5)×0.25×(-1)(-4)×(-5)×(-0.25)×(-1)(-4)×(-5)×(-0.25)×(-1)×0负1正2负3正404问题2几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号怎样确定？有一个因数为0时，积是多少？几个不等于零的数相乘，积的符号由___________决定。当负因数有______个时，积为负；当负因数有______个时，积为负。奇负偶正几个数相乘，如果其中有因数0，积等于________。负因数的个数奇数偶数0练一练【课本P52随堂练习第1题】1.计算：

解:=0解:

有理数乘法的运算律探究点2问题1下面有三组引入了负数的算式，请你计算它们的结果，验证乘法运算律的适用范围。①

5×(-6)=_____(-6)×5=_____②

[(-3)×5]×(-2)=_____(-3)×[5×(-2)]=_____③

5×[3+(-7)]=_____

5×3+5×(-7)=_____乘法的运算律在有理数范围内仍然成立。-30-303030-20-20请你用字母表示乘法的相关运算律。问题2乘法交换律：_________________;乘法结合律：_________________;乘法对加法的分配律：_____________________。(注意：这里a，b，c分别表示任一有理数。)a×b=b×a(a×b)×c=a×(b×c)a×(b+c)=a×b+a×c例2

计算：解：在应用乘法对加法的分配律时，括号外的因数与括号内各项相乘，各项应包含前面的符号。解：

问题3比较两种解法，说说它们有什么区别？练一练【课本P52随堂练习第2题】1.计算：例

计算：

=-14

=-1×15=-15

=-620+2=-618练一练【课本P56习题2.3第7题】1.请在下列括号里填写运算的依据：

(